§12-1引言§12-2梁的撓曲線近似微分方程§12-3計算梁位移的積分法§12-4計算梁位移的疊加法§12-5簡單靜不定梁§12-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計第

十二章彎曲變形主要介紹：彎曲變形基本方程、計算梁位移的方法、

簡單靜不定梁分析、梁的剛度條件與設(shè)計§12-1引言一、工程實例齒輪軸：變形過大時，會使齒輪嚙合不良，

軸與軸承產(chǎn)生非均勻磨損，產(chǎn)生噪

聲，降低壽命。

加工工件：變形過大時，影響加工精度。吊車橫梁：變形過大時，工作中出現(xiàn)爬坡現(xiàn)

象，使小車行駛困難，產(chǎn)生振動。軋鋼機(jī)軋輥：變形過大時，鋼板厚度不均。利用變形：汽車板彈簧：要求彈性好，變形大，緩沖減振效果好；車床割刀：切割中碰到硬點時，利用刀桿的變形使吃刀深度減

小，“自動”讓刀，起緩沖作用。二、研究彎曲變形的目的1.解決彎曲剛度問題2.解決彎曲靜不定問題此外可用于確定構(gòu)件臨界轉(zhuǎn)速，解決振動問題。FB三、彎曲變形的特點變彎后的梁軸稱為撓曲軸，又稱為撓曲線；對稱彎曲時，撓曲線為位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的平面曲線；對細(xì)長梁，剪力對彎曲變形的影響一般可忽略不計，因而

彎曲變形后梁橫截面仍保持為平面，并與撓曲線正交。Fq撓曲軸小變形下，撓曲線為平坦曲線，水平位移不計，曲線連續(xù)、

光滑、單值；AB四、彎曲變形的表示和度量取坐標(biāo)系：Oxw

得撓曲線方程：w=w(x)橫截面形心在垂直于梁軸線方向上的位移稱為撓度。Fq撓曲軸1.撓度w(線位移)xwAwC撓度w規(guī)定：w向上為正，向下為負(fù)。CB如C截面撓度：wCA截面撓度：wA=0B截面撓度：wB單位：mm、cm、mw=w(x)橫截面相對原來位置所轉(zhuǎn)過的角度稱為轉(zhuǎn)角。Fq撓曲軸2.轉(zhuǎn)角q(角位移)xwAwC撓度w規(guī)定：逆時針時q為正，順時針時q為負(fù)。CB如C截面轉(zhuǎn)角：qCA截面轉(zhuǎn)角：qA=0B截面轉(zhuǎn)角：qB單位：弧度(rad)qC轉(zhuǎn)角q轉(zhuǎn)角一般隨橫截面位置變化，可用函數(shù)表示：q=q

(x)稱為轉(zhuǎn)角方程由幾何關(guān)系得：q=q'Fq撓曲軸xwAwC撓度w∴CB由小變形條件：q'≈

tanq'

qC轉(zhuǎn)角q五、撓度與轉(zhuǎn)角之間的微分關(guān)系q'由微分知識：即梁任一截面的轉(zhuǎn)角q近似等于撓曲線上該點切線的斜率；或梁任一截面的轉(zhuǎn)角q近似等于該截面的撓度對x的一階導(dǎo)數(shù)?！?2-2梁撓曲線的近似微分方程由前純彎曲得：推廣到橫力彎曲，得：(M=Const，r=Const)(略去剪力對彎曲變形的影響。)由微分學(xué)中曲線w=w(x)上任一點的曲率公式，得：∵小變形：q≤

1ow'

=q=tanq=0.017w'2≤0.00289∴1+w'2

1上式化簡為(b)代入(a)，得梁撓曲線的近似微分方程：(略去了剪力對彎曲變形的影

響，并略去(dw/dx)3/2項。)由此近似微分方程所求得解在一般工程問題中已足夠精確。符號規(guī)定：選取圖示坐標(biāo)時wxM>0M<0w">0wxw"<0當(dāng)M為正時，撓曲線下凹，w"也為正；當(dāng)M為負(fù)時，撓曲線上凸，w"也為負(fù)?！鄵锨€的近似微分方程為：§12-3計算梁位移的積分法撓曲線的近似微分方程：對等截面梁，EIz為常量，∴可用積分法求梁的變形：∴梁的轉(zhuǎn)角方程：梁的撓曲線方程：方程中積分常數(shù)C、D由邊界條件或連續(xù)性條件確定。邊界條件：梁上某些點的已知變形。如：固定端：qA=0，wA

=0連續(xù)性條件：撓曲線為一條光滑連續(xù)曲線，其上任意點由唯一

確定的撓度和轉(zhuǎn)角。C截面處：qC+=qC–

AABlClF鉸支座：wA

=0，wB

=0彎曲變形對稱點：qC=0ABaCbFwC+=wC–例1圖示懸臂梁，已知F、l，EIz為常數(shù)。

試求：qB，wBxABlF解：(1)彎矩方程M(x)

=–F(l–x)=–Fl+Fx(2)近似微分方程并積分積分：(3)確定積分常數(shù)xw由邊界條件：x=0qA=0∴C=0x=0wA

=0∴D=0ABxlF(4)轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程(5)確定qB，wBxwB截面：x=l∴(順時針)(向下)梁的撓曲線如圖示。例2圖示簡支梁，已知F、l、a、b，EIz為常數(shù)。

試求：撓曲線方程，C點撓度wC及梁最大撓度x1解：(1)約束力，彎矩方程AC段：0≤

x1

≤a

FABCablx2xwFAFBSMB(F)=0SFy=0CB段：a≤

x2

≤l

取坐標(biāo)系：x1(2)近似微分方程并積分FABCablx2xwAC段：CB段：AC段：CB段：x1(3)確定積分常數(shù)由連續(xù)性條件：q1C=q2C

∴C1=C2

∴D1=D2w1C=w2CFABCablx2xw由邊界條件：C截面：x1=x2=aAC段：CB段：支座A：x1=0wA=0支座B：x2=l

wB=0∴D1=D2=0=C1∴x1(4)轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程FABCablx2xwAC段：CB段：(5)C點撓度wCC截面：x1=a∴(向下)x1FABCablx2xwAC段：(5)確定最大撓度wmax若a>b，wmax在AC段中?！嘣?向下)令即：處有|w|max將代入w1得：若F在梁中點，a=b=l/2，則x1=l/2時：(向下)積分法求梁變形步驟：(1)求約束力，列彎矩方程；(2)列近似微分方程并積分；(3)由邊界條件或連續(xù)性條件確定積分常數(shù)，建立轉(zhuǎn)角方程、

撓曲線方程；(4)由轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程求梁變形。注意：(1)分段正確：載荷變化時分，EIz不同時分；(2)所列彎矩方程正確；(3)正確利用邊界條件或連續(xù)性條件確定積分常數(shù)；(4)注意q、w的方向。優(yōu)點：可求得梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，確定整個梁的變形。缺點：求解較繁。各簡單載荷下梁的轉(zhuǎn)角q、撓度w見附錄D(P350)?！?2-4計算梁位移的疊加法M(x)=M1(x)+M2(x)疊加原理：梁在同時受幾個載荷作用下產(chǎn)生的彎矩，等于各載

荷分別單獨作用時所產(chǎn)生彎矩的代數(shù)和。一、疊加法設(shè)梁上載荷：F1、F2F1單獨作用：M1(x)F2單獨作用：M2(x)F1、F2同時作用：M(x)則有：M(x)=M1(x)+M2(x)梁彎矩M(x)與載Me、F、q成線性關(guān)系，可適用疊加原理：撓曲線微分方程為線性微分方程：疊加原理：梁在同時受幾個載荷作用下產(chǎn)生的變形(轉(zhuǎn)角q、撓

度w)，等于各載荷分別單獨作用時所產(chǎn)生變形的

代數(shù)和。由此求得轉(zhuǎn)角q、撓度w也與載荷成線性關(guān)系，因此可應(yīng)用疊加原理求梁的變形。設(shè)梁上載荷：F1、F2F1單獨作用：F2單獨作用：F1、F2同時作用：(a)+(b)：設(shè)梁上載荷：F1、F2F1單獨作用：F2單獨作用：F1、F2同時作用：(a)+(b)：即：與(c)比較，有：即為疊加原理。w=w1+w2可推廣到多個載荷的情況。應(yīng)用疊加原理可將較復(fù)雜的載荷分解成簡單的單獨載荷，分別求得其變形后再疊加起來就可求得總變形。工程實際中有時不需求梁得撓曲線，只需求某些截面的撓度或轉(zhuǎn)角，此時用疊加法較為簡捷。如：圖示懸臂梁，已知q

、F、Meq：疊加法是實用而便利的方法。求：wA、qAABlqFMeF：Me：∴ABlqABlFABlMeABlMeFABlqABl為便于計算，將幾種簡單受力情況下的變形公式匯集在附錄D中(P350)供查閱使用。如：圖示懸臂梁情況如：圖示簡支梁情況ABlMeABlFl/2l/2qABlABlBCl例3圖示懸臂梁，已知F、l、EI。求wC、qC。解：將梁在B處切開：分為二懸臂梁AB、BC。由懸臂梁AB部分：F由懸臂梁BC部分：lABClFF無載荷作用，不產(chǎn)生變形。但隨B截面的轉(zhuǎn)角而產(chǎn)生剛體轉(zhuǎn)動，使C截面產(chǎn)生向下的位移：∴二、逐段分析求和法(逐段剛化法)例4圖示外伸梁，已知F、l、EI。求wC、qC。解：將梁在B處切開：ABlMFBaC分為一懸臂梁BC和簡支梁AB。簡支梁B處受力：F、M=Fa

由懸臂梁BC部分：F由簡支梁AB部分：BC部分產(chǎn)生剛體轉(zhuǎn)動：ABlaCFFABlaCFABlMBaCF由懸臂梁BC部分：由簡支梁AB部分：BC部分產(chǎn)生剛體轉(zhuǎn)動：ABlaCFF∴