4.2平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示必備知識·自主學(xué)習(xí)1.平面向量的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對于平面內(nèi)的任意向量a,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y使得a=xi+yj,我們把實(shí)數(shù)對(x,y)叫作向量a的坐標(biāo),記作a=______.導(dǎo)思1.什么是平面向量的坐標(biāo)?2.如何用坐標(biāo)進(jìn)行平面向量的線性運(yùn)算?(x,y)2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算文字符號加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=____________減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=____________數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積若a=(x,y),λ∈R,則λa=__________重要結(jié)論一個向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)已知向量的起點(diǎn)A(x1,y1),終點(diǎn)B(x2,y2),則=____________(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)【思考】符號(x,y)表示什么?提示:符號(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重意義,它既可以表示一個固定的點(diǎn),又可以表示一個向量.為了加以區(qū)分,在敘述中常說點(diǎn)(x,y)或向量的坐標(biāo)為(x,y).3.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)當(dāng)a∥b時,有__________.(2)當(dāng)a∥b且b不平行于坐標(biāo)軸,即x2≠0,y2≠0時,有_______.即若兩個向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行,則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例;若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例,則它們平行.x1y2-x2y1=0【思考】向量平行的坐標(biāo)表示的依據(jù)是什么?提示:向量平行的坐標(biāo)表示是根據(jù)共線向量基本定理推出的,當(dāng)向量b=(x2,y2)的坐標(biāo)滿足x2y2≠0時,才有成立.對于任意兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a∥b

?x1y2=x2y1,可簡記為“縱橫交錯,積相等”.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同; (

)(2)兩個向量的終點(diǎn)不同,則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同; (

)(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān); (

)(4)向量(2,3)與向量(-4,-6)反向. (

)提示:(1)×.向量與向量互為相反向量,所以它們的坐標(biāo)不相同.(2)×.對于同一個向量,無論位置在哪里,坐標(biāo)都一樣.(3)×.根據(jù)兩向量差的運(yùn)算,兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序有關(guān).(4)√.因?yàn)?-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)與向量(-4,-6)反向.2.已知A(3,1),B(2,-1),則的坐標(biāo)是 (

)A.(-2,-1)

B.(2,1)C.(1,2) D.(-1,-2)【解析】選C.=(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2).3.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,則m等于 (

)A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2【解析】選C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.4.設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=______.

【解析】因?yàn)?b=2(-2,1)=(-4,2),所以a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).答案:(7,3)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一平面向量的坐標(biāo)表示(直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標(biāo)是 (

)

C.(-8,1)

D.(8,1)2.已知向量=(5,12),將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,則= (

)A.(-5,13) B.(-5,12)C.(-12,13) D.(-12,5)3.已知邊長為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量的坐標(biāo).【解析】1.選A.=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),所以

2.選D.向量=(5,12),將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-12,5),如圖所示,所以=(-12,5).3.如題圖,正三角形ABC的邊長為2,則頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),所以C(1,),,所以=(2,0),=(1,),【解題策略】求向量坐標(biāo)的方法1.向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo),只有當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).2.求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo),解題時常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,則向量的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)點(diǎn)A(x,y),則x=||·cos60°=4cos60°=2,y=||sin60°=4sin60°=6,即A(2,6).所以=(2,6).答案:(2,6)類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1向量坐標(biāo)運(yùn)算的直接應(yīng)用

【典例】若A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】先計(jì)算再進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.【解析】因?yàn)?(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).角度2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)

【典例】如圖,已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=150°,∠BOC=90°,設(shè)且|a|=2,|b|=1,|c|=3,試用a,b表示c.【思路導(dǎo)引】建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用條件確定各點(diǎn)的坐標(biāo),即得向量a,b,c的坐標(biāo),由待定系數(shù)法表示.【解析】如圖,以O(shè)為原點(diǎn),為x軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系.由三角函數(shù)的定義,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°),即又A(2,0),所以a=(2,0),設(shè)c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，則所以解得故c=-3a-3b.【解題策略】向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi),用坐標(biāo)表示平面向量.這里關(guān)鍵點(diǎn)有二:一是求點(diǎn)的坐標(biāo),它可以轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo);二是求向量的坐標(biāo),可以首先求出這個向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.【題組訓(xùn)練】1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量= (

)A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)

D.(-1,2)【解析】選D.2.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量c等于 (

)A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6)【解析】選D.因?yàn)?a,3b-2a,c對應(yīng)有向線段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).3.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若=(2,4),=(1,3),則

=________.

【解析】

答案:(-3,-5)類型三向量平行的坐標(biāo)表示(數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理)

角度1向量平行的判斷

【典例】下列向量組中,能作為基的是 (

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=

【思路導(dǎo)引】能作為基的向量不共線.【解析】選B.根據(jù)選項(xiàng)中各個向量的坐標(biāo),可判定A,C,D中的兩向量對應(yīng)坐標(biāo)是成比例的,所以共線,不能作為基,對于B,由于,所以e1,e2不共線,可以作為基.角度2由向量共線求參數(shù)

【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向?【思路導(dǎo)引】由向量a,b的坐標(biāo),求出ka+b與a-3b的坐標(biāo),由向量共線的條件列方程(組),求k的值.從而進(jìn)一步判定向量是同向還是反向.【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).方法一:當(dāng)ka+b與a-3b平行時,存在唯一實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a-3b),則(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以解得k=λ=-.此時ka+b=-a+b=-(a-3b),所以ka+b與a-3b反向.方法二:因?yàn)閗a+b與a-3b平行,所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此時ka+b=,所以當(dāng)k=-時,ka+b與a-3b平行,并且反向.角度3由向量共線求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例】設(shè)梯形ABCD的其中3個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且AB∥DC,AB=2CD,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】將AB∥DC,AB=2CD轉(zhuǎn)化為【解析】因?yàn)锳B∥DC,AB=2CD,所以設(shè)C(x,y),則=(x,y)-(2,1)=(x-2,y-1).而=(3,4)-(-1,2)=(4,2),所以(4,2)=2(x-2,y-1),即解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2).【解題策略】由向量共線求參數(shù)的值的方法對于a∥b的充要條件,常有兩種表達(dá)方式:(1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R);(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的,而且有前提條件b≠0,而第(2)種坐標(biāo)形式則無b≠0限制.【題組訓(xùn)練】1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a與b共線,則x等于 (

)A.-3

B.-4

C.2

D.0【解析】選A.a=(1,2),b=(2,1-x),若a與b共線,則1-x=2×2,解得x=-3.2.已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (

)A.

B.

C.(3,2)

D.(1,3)【解析】選A.=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).設(shè)D(x,y),=(x,y)-(0,2)=(x,y-2).又因?yàn)?所以4=2x且3=2(y-2),解得x=2,y=,所以D.3.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則與向量同方向的單位向量為________.

【解析】因?yàn)?(4,-1)-(1,3)=(3,-4),所以與同方向的單位向量為答案:

1.已知=(-2,4),則下面說法正確的是 (

)A.A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)B.B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B點(diǎn)是原點(diǎn)時,A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)A點(diǎn)是原點(diǎn)時,B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)【解析】選D.由任一向量的坐標(biāo)的定義可知,當(dāng)A點(diǎn)是原點(diǎn)時,B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4).課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.下列各組向量共線的是 (

)A.a1=(-2,3),b1=(4,6)B.a2=(2,3),b2=(3,2)C.a3=(1,2),b3=(7,14)D.a4=(-3,2),b4=(6,4)【解析】選C.因?yàn)?所以a3∥b3,向量a3與b3共線.3.設(shè)向量a,b滿足a=(1,-1),|b|=|a|,且b與a的方向相反,則b的坐標(biāo)為________.

【解析】因?yàn)橄蛄縜與b的方向相反,且|b|=|a|,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1).答案:(-1,1)4.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),2a-b與c平行,則實(shí)數(shù)k=________.

【解析】因?yàn)閍=(,1),b=(0,-1),所以2a-b=2(,1)-(0,-1)=(2,3).又因?yàn)閏=(k,),2a-b與c平行,所以2×-3k=0,解得k=2.答案:2十九平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示【基礎(chǔ)通關(guān)——水平一】(15分鐘30分)1.已知向量=(2,4),=(0,2),則= (

)A.(-2,-2)

B.(2,2)C.(1,1) D.(-1,-1)【解析】選D.課時素養(yǎng)評價2.已知點(diǎn)A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,則實(shí)數(shù)λ的值為(

)

【解析】選C.根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),可得=(3,1),因?yàn)閍∥,所以2×1-3λ=0,解得λ=.3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),則=________.

【解析】因?yàn)锳(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以

=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案:(-4,9)4.已知A(1,2),B(4,5),若,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)P(x,y),則=(x-1,y-2),=(4-x,5-y),又,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4).答案:(3,4)5.已知M(1,5),N(5,17),點(diǎn)P在直線MN上,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則=(x-1,y-5