高二數(shù)學(xué)瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)課件在這個(gè)故事中，我們可以提取到的關(guān)鍵詞有：平均速度(AverageVelocity)瞬時(shí)速度(InstantaneousVelocity)如何計(jì)算出平均速度？首先我們要搞明白為什么你沒有辦法在馬里布飛馳的時(shí)候算出你的速度，我們首先需要理解平均速度的定義：速度=

距離/時(shí)間相信大家對(duì)上面這個(gè)公式都是耳熟能詳?shù)模诔踔须A段就接觸到這個(gè)公式。這是最簡單計(jì)算速度的公式，讓我們把它放到圖表里：圖像中的縱坐標(biāo)（y-axis)代表的是距離的變化，橫坐標(biāo)（x-axis）代表的是時(shí)間的變化。若我們想求出汽車在某一段距離期間的平均速度，我們需要截取一段時(shí)間（分為t1和t2)和一段路程（分別為d1和d2）。距離=

d2-d1時(shí)間=

t2-t1然后根據(jù)上述的公式，你可以輕而易舉地算出速度為多少。而后你會(huì)同時(shí)發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式跟斜率的公式（SlopeFormula）長得十分的相似。

同為縱坐標(biāo)的改變量除以橫坐標(biāo)的改變量。所以求汽車在某一段區(qū)間內(nèi)的平均速度，其實(shí)也是就是在求位移函數(shù)（此處假設(shè)為直線）在這一段區(qū)間上的斜率。警告（Warning）：這樣就可以了嗎？當(dāng)然不是！

回顧剛剛講的故事，我們忽略了很重要的幾個(gè)點(diǎn)。首先，上面圖中的距離函數(shù)，被假設(shè)為一條直線。大家都知道，直線的斜率是處處相等的，如果平均速度=斜率，則這意味著汽車全程在做勻速直線運(yùn)動(dòng)。這是一個(gè)理想化的模型，在現(xiàn)實(shí)生活中無法實(shí)現(xiàn)。

事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中的汽車，速度時(shí)時(shí)刻刻都在變化。比如，你猛踩剎車，速度就會(huì)陡然下降；如果遇到大平原，你可能心情好一腳油門狂飆，速度也會(huì)瞬間暴增；如果遇到雨天或者雪天的特殊情況，則你要時(shí)時(shí)刻刻保持警惕，開車小心翼翼，這也就意味著速度幾乎每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)都在變化。所以反反復(fù)復(fù)地變換速度在現(xiàn)實(shí)生活中是必不可少的事情，汽車勻速直線運(yùn)動(dòng)在現(xiàn)實(shí)中幾乎是不存在的。

在速度時(shí)刻變化的前提下，我們就不能只看某一段區(qū)間上的平均速度了，很多時(shí)候我們會(huì)關(guān)心某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)處的瞬時(shí)速度。事實(shí)上，由于瞬時(shí)速度時(shí)時(shí)刻刻在變化，我們?nèi)〔煌膮^(qū)間段，平均速度也會(huì)相應(yīng)的不同，而絕不是勻速的。這個(gè)時(shí)候，位移函數(shù)的圖像就不會(huì)是一條直線。

什么是瞬時(shí)速度（InstantaneousVelocity/InstantaneousRateofChange)?如果繼續(xù)用到剛才故事中的例子去解釋的話，我們可以理解為因?yàn)槭艿浆F(xiàn)實(shí)情況的影響，速度不得不在每時(shí)每刻做出改變。我們遇到轉(zhuǎn)彎口必須減速慢行通過，否則會(huì)翻車；遇到前面老太太開得太慢你不耐煩的時(shí)候，你迅速超車——這些行為都導(dǎo)致瞬時(shí)速度的改變。上圖的位移函數(shù)是一條曲線，如同我們之前分析的，速度時(shí)刻改變，導(dǎo)致每個(gè)不同的區(qū)間上，平均速度也不同（斜率不同），所以位移函數(shù)絕不會(huì)是一條直線。你被警察開罰單了，所以你需要在圖上找到超速那段時(shí)間區(qū)間，觀察那段時(shí)期的速度變化去證明自己的清白。然后你找到了4s店幫你打印了一份位移-時(shí)刻表，當(dāng)你看到了圖象時(shí)你非常的詫異。

當(dāng)你看到了你的行車數(shù)據(jù)的時(shí)候，你發(fā)現(xiàn)你自己根本無從下手也不知道該從哪一階段去獲取重要的信息去證明自己沒有超速?？粗灰?guī)則的運(yùn)動(dòng)圖，你的大腦一片空白，你基本上要放棄這場(chǎng)官司。

就在你失望準(zhǔn)備乖乖交罰款的時(shí)候，突然你的朋友蔡樂唯老師給你打了通電話，然后你將事情的來龍去脈全部告訴了他。他得知了你的情況后，幫你分析了問題，找到了一個(gè)很好的解決方案。那就是利用求導(dǎo)(Differentiation)去計(jì)算每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的瞬時(shí)速度，這樣你就可以向警察證明，在他們指控你超速的那段區(qū)間(Interval)你沒有超速。

老師有話說運(yùn)用斜率公式去求速度是非常正確的做法，但是需要進(jìn)行一些適度的調(diào)整跟優(yōu)化才能使它看上去更合理。1?我們也需要使用斜率公式去計(jì)算瞬時(shí)速度。比方說，我們想知道，我們?cè)趚時(shí)刻（P點(diǎn)處）的瞬時(shí)速度——首先我們?nèi)×撕芸拷黀點(diǎn)的一個(gè)時(shí)刻區(qū)間——即P到Q，如圖所示，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的直線為本區(qū)間上的割線（Secantline）。首先我們求出割線PQ的斜率，即汽車在這段區(qū)間上的平均速度。2?現(xiàn)在我們求得了PQ之間的平均速度，但如何通過它來得到P點(diǎn)處的瞬時(shí)速度呢？我們就要借助極限的知識(shí)幫助我們完成這樣的目標(biāo)——我們把點(diǎn)P當(dāng)作支點(diǎn)，點(diǎn)Q作為可移動(dòng)的點(diǎn)。點(diǎn)P對(duì)應(yīng)x時(shí)刻，則可移動(dòng)的點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)時(shí)刻x+，如果我們將盡可能縮小，讓它趨于0，則Q點(diǎn)就會(huì)無限接近P點(diǎn)（越來越往里擠向P點(diǎn)靠近），那原來的PQ區(qū)間，就最后縮短到只剩P一個(gè)點(diǎn)。而大家會(huì)在圖像上看到，原來的割線PQ由于Q向P無限靠近，已經(jīng)變成了P點(diǎn)處的切線(TangentLine)。將盡可能縮小，讓它趨于0，在數(shù)學(xué)上表示為：Let

=dx

dx就是x的微分，即趨于0的，就是dx。

這時(shí)候，原來區(qū)間上平均速度的公式：在趨于0的情況下，就演變?yōu)檫@樣一個(gè)極限：如上，你將獲得一個(gè)非常完整的求導(dǎo)公式。由于趨于0，區(qū)間PQ也不復(fù)存在了，只剩下P點(diǎn)，因此這個(gè)公式實(shí)際就是汽車在P點(diǎn)處的瞬時(shí)速度，也是位移-時(shí)刻函數(shù)圖像在P點(diǎn)處切線的斜率，也即函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)。3?現(xiàn)在我們已經(jīng)求得點(diǎn)P處（時(shí)刻x）的瞬時(shí)速度了，如果想知道其他任意時(shí)刻處的瞬時(shí)速度，只需要求位移-時(shí)刻函數(shù)在那一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，這樣我們就可以看到所有時(shí)刻處的瞬時(shí)速度值，即速度-時(shí)刻函數(shù)就是位移-時(shí)刻函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。