第3章雙變量模型：假設(shè)檢驗(yàn)

本章主要講授如下內(nèi)容：3.1經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型3.2OLS估計(jì)量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差3.3OLS估計(jì)量的性質(zhì)3.4OLS估計(jì)量的抽樣分布或概率分布3.5假設(shè)檢驗(yàn)3.6擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：判定系數(shù)r23.7預(yù)測(cè)

3.1經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型

經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型有如下假定：1．回歸模型是參數(shù)線(xiàn)性的，但不一定是變量線(xiàn)性的。2．解釋變量與擾動(dòng)誤差項(xiàng)不相關(guān)，即cov(Xi，ui)=0。3．給定Xi，擾動(dòng)項(xiàng)的期望或均值為0，即E(u|Xi)=0。如圖3-1所示。

4．ui的方差為常數(shù)（或同方差），即var(ui)=σ2。如圖3-2所示。

5．無(wú)自相關(guān)假定，即cov(ui,uj)=0,i≠j。如圖3-3所示。

6．回歸模型是正確設(shè)定的。3.2OLS估計(jì)量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

3.3OLS估計(jì)量的性質(zhì)

1．高斯—馬爾柯夫定理如果滿(mǎn)足經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型的基本假定，則在所有線(xiàn)性估計(jì)量中，OLS估計(jì)量具有最小方差性。即OLS估計(jì)量是最優(yōu)線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量（BLUE）。

2．OLS估計(jì)量的性質(zhì)（1）b1和b2是線(xiàn)性估計(jì)量，即它們是隨機(jī)變量Y的線(xiàn)性函數(shù)。

證明：

（這里，）

其中，。

同樣可得：

其中，。

（2）b1和b2是無(wú)偏估計(jì)量，即E(b1)=B1，E(b2)=B2。①對(duì)于b2，證明

易知，，

所以

故得

②對(duì)于b1，證明

易知，，。

所以

故得

（3）b1和b2是有效估計(jì)量，即在所有線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量中最小二乘估計(jì)量b1和b2具有最小方差。①b1和b2方差求解

②證明：假設(shè)是用其他方法得到的關(guān)于B2的線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量，，。

由無(wú)偏性，可得：

比較等式兩邊，得：

而且有：

故：

同理，可證得：

（4）誤差方差的OLS估計(jì)量是無(wú)偏的，即。證明：前面已經(jīng)提及，現(xiàn)在要證明：對(duì)于模型，其離差形式為：根據(jù)樣本回歸函數(shù)，其離差形式為：所以

故有：

因?yàn)?/p>

所以

從而

3.蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)：實(shí)踐中的OLS估計(jì)量的情況(1)假設(shè)給定下列信息:Yi=B1+B2Xi+ui=1.5+2.0Xi+ui這里,ui~N(0,4)(2)再假定給出Xi十個(gè)值:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.(3)使用任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)軟包，可以產(chǎn)生ui

的遵從均值為0和方差為4的正態(tài)分布的10個(gè)隨機(jī)值。(4)利用前面的方程，即Yi=B1+B2Xi+ui=1.5+2.0Xi+ui可以獲得Y的10個(gè)值。(5)利用前面所產(chǎn)生的10個(gè)值，將Yi

對(duì)X進(jìn)行回歸，并得到b1和b2的值。(6)重復(fù)上述過(guò)程21次，我們將得到如表3-2所示的結(jié)果（即Table3-2）。結(jié)論：

假如反復(fù)利用最小二乘法求解參數(shù)的估計(jì)值，所估計(jì)出的參數(shù)的平均值將等于其真值。也就是說(shuō)，OLS估計(jì)量是無(wú)偏的。

例題

例題1對(duì)一元線(xiàn)性回歸模型

試證明

證明：

例題2

假設(shè)有人做了如下的回歸其中，yi，xi分別為Yi，Xi關(guān)于各自均值的離差。問(wèn)b1和b2將分別取何值？

解：記，，則易知

于是

可見(jiàn)，在離差形式下，沒(méi)有截距項(xiàng)，只有斜率項(xiàng)。

例題3令bYX和bXY分別為Y對(duì)X回歸、X對(duì)Y的回歸中的斜率，證明：

bYX

bXY=r2其中，r為X與Y之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)。

證：容易知道，在上述兩個(gè)回歸中，斜率項(xiàng)分別為

于是

例題4

對(duì)于過(guò)原點(diǎn)的回歸模型，，試證明：

證明：模型的參數(shù)b2的OLS估計(jì)量為：

可得

故

3.4OLS估計(jì)量的抽樣分布或概率分布

1．隨機(jī)誤差項(xiàng)的分布在總體回歸函數(shù)中，誤差項(xiàng)服從均值為0，方差為的正態(tài)分布。即

2．估計(jì)量b1和b2的分布

3.5假設(shè)檢驗(yàn)

1．假設(shè)檢驗(yàn)的含義

首先假定解釋變量X對(duì)被解釋變量Y沒(méi)有影響，即

如果零假設(shè)為真，則沒(méi)有必要把X納入模型。

2．置信區(qū)間檢驗(yàn)為了確定估計(jì)的b2對(duì)真實(shí)的B2的“靠近”程度，可設(shè)法找出兩個(gè)正數(shù)δ和α（其中0<α<1），以使得區(qū)間（b2-δ,b2+δ）包含真實(shí)B2的概率為1-α。用符號(hào)表示為

這樣的區(qū)間如果存在，就稱(chēng)為B2的置信區(qū)間。其中，1-α稱(chēng)為置信系數(shù)或置信概率，α稱(chēng)為顯著性水平，b2-δ和b2+δ分別稱(chēng)為下置信限和上置信限。

一般地，在服從正態(tài)分布的假定下，已知

但由于是未知的，只能用