3.1.1函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)

進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型01

能用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)（重點(diǎn)、難點(diǎn)）02了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一一些簡單函數(shù)的定義域和值域（重點(diǎn)）03

04函數(shù)的概念01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge函數(shù)的概念

在初中我們已經(jīng)接觸過函數(shù)的概念，知道函數(shù)是刻畫變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具．例如，正方形的周長l與邊長x的對(duì)應(yīng)關(guān)系是l=4x,而且對(duì)于每一個(gè)確定的x都有唯一的l與之對(duì)應(yīng)，所以l是x的函數(shù)．

這個(gè)函數(shù)與正比例函數(shù)

相同嗎?

又如，你能用已有的函數(shù)知識(shí)判斷

與，是否相同嗎?

要解決這些問題，就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念．02新

知

探

索NewKnowledgeexplore問題1

某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)．（1）這段時(shí)間內(nèi)列車行進(jìn)的路程S（單位：km)，與運(yùn)行時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系如何表示？這是一個(gè)函數(shù)嗎？為什么?（2）如果有人說：“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km．”你認(rèn)為這個(gè)說法正確嗎？

這里，t和S是兩個(gè)變量，而且對(duì)于t的每一個(gè)確定的值，S都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以S是t的函數(shù)．

根據(jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350km/h運(yùn)行半小時(shí)后的情況，所以上述說法不正確．

顯然，其原因是沒有關(guān)注到t的變化范圍．問題1

某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)．（3)你認(rèn)為如何表述S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系才是更為精確的？

列車行進(jìn)的路程S與運(yùn)行時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是S=350t①，其中t的變化范圍是數(shù)集A1={t|0≤t≤0.5},S的變化范圍是數(shù)集B1={S|0≤S≤175},

對(duì)于數(shù)集A1中的任意時(shí)刻t,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系①在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對(duì)應(yīng).問題2

某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么：（1）你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人的每周所得？一個(gè)工人的工資W是他工作天數(shù)的d的函數(shù)嗎？

d的變化范圍是數(shù)集A2={1，2，3，4，5，6}，

W的變化范圍是數(shù)集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}，

對(duì)于數(shù)集A2中的任一個(gè)工作天數(shù)d，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系②，在數(shù)集B2中都有唯一確定的工資W與它對(duì)應(yīng).

顯然，工資W一周工作天數(shù)d的函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是：W=350d②

問題1和2中函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同（對(duì)應(yīng)關(guān)系以解析式給出），你認(rèn)為它們是同一函數(shù)嗎？為什么？

不是同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶煌?

S=350t，

t∈{t|0≤t≤0.5}；

W=350d，d∈{1,2,3,4,5,6}.問題3

圖中是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）變化圖.(1)如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？(2)你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？如果是你能仿照前面的方法描述I與t的對(duì)

應(yīng)關(guān)系嗎？問題3

圖中是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）變化圖.

t的變化范圍是數(shù)集A3={t|0≤t≤24}，AQI的值I都在數(shù)集B3={I|0<I<150}中，對(duì)于數(shù)集A3中的任一時(shí)刻t，按照?qǐng)D中曲線所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對(duì)應(yīng)，因此，這里的I是t的函數(shù).對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖像形式給出問題4

國際上常用恩格爾系數(shù)r(r=食物支出金額/總支出金額)反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高，表中是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高.(1)你認(rèn)為按表中給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么?(2)如果是，你能仿照前面的方法給出精確刻畫嗎？(3)如果我們引入集合B4={r|0≤r≤1}，將對(duì)應(yīng)關(guān)系表示為對(duì)于任何任意一個(gè)年

份y都有B4中唯一確定的r與之對(duì)應(yīng)，你認(rèn)為有道理嗎？問題4

國際上常用恩格爾系數(shù)r(r=食物支出金額/總支出金額)反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高，表中是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高.對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖像形式給出

y的取值范圍A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}根據(jù)恩格爾系數(shù)r的定義可知，r的取值范圍是數(shù)集B4={r|0<r≤1}

對(duì)于數(shù)集A4中的任意一個(gè)年份y，根據(jù)表中所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r，與之相對(duì)應(yīng)，所以r是y的函數(shù).歸納

上述問題1至問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)的本質(zhì)特征嗎？問題情境自變量的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)值所在的集合函數(shù)值的集合問題1A1={t|0≤t≤0.5}S=350tB1={S|0≤S≤150}B1問題2A2={1,2,3,4,5,6}W=350dB2={350，700，1050，1400，1750，2100}B2問題3A3={t|0≤t≤24}圖1B3={I|0<I<150}C3(C3?B3)問題4A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}表1B4={r|0<r≤1}C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.35150.3353,0.33870.2989,0.2930.2857}

共同特征:(1)都包含兩個(gè)非空數(shù)集用A,B來表示;(2)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系;(3)盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但他們都有如下的特征：對(duì)于數(shù)集A中的任意，一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對(duì)應(yīng).

函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．

記作：y＝f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

顯然，值域是集合B的子集．

可見，構(gòu)成函數(shù)的要素為：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．對(duì)函數(shù)概念的五點(diǎn)說明(1)對(duì)數(shù)集的要求：集合A，B為非空數(shù)集；(2)任意性和唯一性：集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性；

（允許一對(duì)一或者多對(duì)一，不能一對(duì)多）(3)符號(hào)“f”：它表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣；(4)一個(gè)區(qū)別：f(x)是一個(gè)符號(hào)，不表示f與x的乘積，

而f(a)表示函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x取a時(shí)的一個(gè)函數(shù)值；(5)函數(shù)三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三要素，三者缺一不可．

如果讓你用函數(shù)的定義重新認(rèn)識(shí)一次函數(shù)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)，那么你會(huì)怎樣表述這些函數(shù)？

一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的定義域是R,值域也是R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)x，對(duì)應(yīng)到R中唯一確定的數(shù)ax+b．

二次函數(shù)

的定義域是R,記值域?yàn)锽，當(dāng)a>0時(shí)，值域;當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)椋畬?duì)應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)x，對(duì)應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)

．

反比例函數(shù)

的定義域是

,記值域?yàn)?/p>

．【練習(xí)】2016年11月2日8時(shí)至次日八時(shí)，北京的溫度走勢(shì)如圖所示.（1）求對(duì)應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域；（2）根據(jù)圖像，求這一天中12時(shí)所對(duì)應(yīng)的溫度．【解析】（1）設(shè)從今日八點(diǎn)起24小時(shí)內(nèi)經(jīng)過時(shí)間t的溫度為y。C，

則定義域?yàn)閧t|0≤t≤24}，值域?yàn)閧y|2≤y≤12}；(2）由圖知12時(shí)的溫度約為9.30C．【練習(xí)】集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如圖所示，f：A→B是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，那么定義值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？【解析】由圖知A中的任意一個(gè)數(shù)，B中都有唯一確定數(shù)，與之對(duì)應(yīng)，

所以f：A→B是從A到B的函數(shù)，

定義域A={1，2，3，4，5}，

值域C={2，3，4，5}．值域是集合B嗎？03歸納總結(jié)SumUp函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

顯然，值域是集合B的子集．可見，構(gòu)成函數(shù)的要素為：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．對(duì)函數(shù)概念的五點(diǎn)說明(1)對(duì)數(shù)集的要求：集合A，B為非空數(shù)集；(2)任意性和唯一性：集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性；