第二十二講與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則：點(diǎn)P在圓外?____；點(diǎn)P在圓上?____；點(diǎn)P在圓內(nèi)?____.d>rd=rd<r2.確定圓的條件：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定_____圓.3.三角形的外心：三角形外接圓的圓心，三角形三邊的___________的交點(diǎn).一個(gè)垂直平分線二、直線與圓的位置關(guān)系1.三種位置關(guān)系：_____、_____、_____.2.切線的定義、性質(zhì)與判定：(1)定義：和圓有_____公共點(diǎn)的直線.(2)性質(zhì)：圓的切線_______過(guò)切點(diǎn)的直徑.相交相切相離唯一垂直于(3)判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且_____于這條半徑的直線是圓的切線.3.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)_____，這一點(diǎn)和圓心的連線_____兩條切線的夾角.垂直相等平分三、三角形的內(nèi)切圓1.定義：與三角形各邊都_____的圓.2.三角形的內(nèi)心：三角形_______的圓心，是三角形三條_________的交點(diǎn).相切內(nèi)切圓角平分線【自我診斷】(打“√”或“×”)1.☉O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm，則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi). ()2.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為3cm，最大距離為8cm，則該圓的半徑是2.5cm. ()√×3.如圖，AB是☉O的直徑，∠TAC=∠B，則可證明直線AT是☉O的切線. ()√4.O是△ABC的內(nèi)心，∠A=80°，則∠BOC=160°. ()×5.如圖，PA為☉O的切線，A為切點(diǎn)，割線PBC過(guò)圓心O，∠ACP=30°，OC=1cm，則PA的長(zhǎng)為cm. ()√考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【示范題1】(2016·上海中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點(diǎn)D在邊BC上，CD=3，☉A的半徑長(zhǎng)為3，☉D與☉A相交，且點(diǎn)B在☉D外，那么☉D的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是 (

)A.1<r<4 B.2<r<4C.1<r<8 D.2<r<8【思路點(diǎn)撥】連接AD，根據(jù)勾股定理得到AD=5，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r>5-3=2，由點(diǎn)B在☉D外，于是得到r<4，即可得到結(jié)論.【自主解答】選B.連接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵☉A的半徑長(zhǎng)為3，☉D與☉A相交，∴r>5-3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵點(diǎn)B在☉D外，∴r<4，∴☉D的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是2<r<4.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離d及圓的半徑r的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)點(diǎn)在圓外?d>r(2)點(diǎn)在圓上?d=r(3)點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r【跟蹤訓(xùn)練】(2017·棗莊中考)如圖，在網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)中選取9個(gè)格點(diǎn)(格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn))，如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為 (

)A.2<r<

B.<r≤3C.<r<5 D.5<r<

【解析】選B.給各點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖所示.AB=AC=AD=AE=AF=AG=AM=AN==5，∴<r≤3時(shí)，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi).考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系【示范題2】(2018·湘西中考)已知☉O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與☉O的位置關(guān)系為 (

)

A.相交 B.相切C.相離 D.無(wú)法確定【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線和圓相切.【自主解答】選B.因?yàn)閳A心到直線的距離等于半徑，所以直線l與☉O相切.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)用直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.(2)用圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)判斷.【跟蹤訓(xùn)練】(2017·衢州中考)如圖，在直角坐標(biāo)系中，☉A的圓心A的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，點(diǎn)P為直線y=-x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作☉A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值是________.

【解析】連接PA，PQ，AQ.設(shè)直線y=-x+3交x，y軸分別于N，M點(diǎn)，有PQ2=PA2-AQ2，PQ=又AQ=1，故當(dāng)AP有最小值時(shí)PQ最小.過(guò)A作AP′⊥MN，則有AP′最小=3，此時(shí)PQ最小=答案：2考點(diǎn)三切線的性質(zhì)與判定【考情分析】切線的性質(zhì)與判定是中考命題的熱點(diǎn)，兩者單獨(dú)考查或者綜合考查，常常結(jié)合直角三角形、勾股定理、相似三角形等進(jìn)行命題，呈現(xiàn)形式多樣化，有選擇題、填空題和解答題.命題角度1：切線的性質(zhì)【示范題3】(2018·瀘州中考)如圖，已知AB，CD是☉O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，☉O的弦DE交AB于點(diǎn)F，且DF=EF.(1)求證：CO2=OF·OP；(2)連接EB交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，若PC=4，PB=4，求GH的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】(1)證明△OFD∽△OCP，可得由OD=OC，可得結(jié)論；(2)作CM⊥OP于點(diǎn)M，連接EC，EO.設(shè)OC=OB=r.在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面積法求出CM，由四邊形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題.【自主解答】(1)∵PC是☉O的切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∵AB是直徑，EF=FD，∴AB⊥ED，∴∠OFD=∠OCP=90°，∵∠FOD=∠COP，∴△OFD∽△OCP，∴∵OD=OC，∴OC2=OF·OP.(2)如圖，作CM⊥OP于點(diǎn)M，連接EC，EO.設(shè)OC=OB=r.在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，∴(4)2+r2=(r+4)2，∴r=2，∵S△POC=PC·OC=OP·CM，∴CM=∵DC是直徑，∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，∴四邊形EFMC是矩形，∴EF=CM=，在Rt△OEF中，OF=∴EC=2OF=，∵EC∥OB，∴∵GH∥CM，∴∴GH=.命題角度2：切線的判定【示范題4】(2018·金華、麗水中考)如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求證：AD是☉O的切線.(2)若BC=8，tanB=，求☉O的半徑.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OD，由OD=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠1=∠3，求出∠4為90°，即可得證.(2)設(shè)圓的半徑為r，利用銳角三角函數(shù)定義及勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.【自主解答】(1)連接OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°-(∠2+∠3)=90°，∴OD⊥AD，則AD為圓O的切線.(2)設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，根據(jù)勾股定理得：AB=∴OA=4-r，在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，∴CD=ACtan∠1=2，根據(jù)勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即(4-r)2=r2+20，解得：r=.命題角度3：切線長(zhǎng)定理【示范題5】(2018·宿遷中考)如圖，AB，AC分別是☉O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作☉O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC，AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)求證：PC是☉O的切線.(2)若∠ABC=60°，AB=10，求線段CF的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】(1)連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得.(2)先證△OBC是等邊三角形得∠COB=60°，再由(1)中所證切線可得∠OCF=90°，結(jié)合半徑OC=5可得答案.【自主解答】(1)連接OC，∵OD⊥AC，OD經(jīng)過(guò)圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP∵PA是☉O的切線，∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是☉O的切線.(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由(1)知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】(1)若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí)，連接過(guò)這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡(jiǎn)述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直.(2)若未知直線與圓的交點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑，可簡(jiǎn)述為：無(wú)切點(diǎn)，作垂線，證相等.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2018·重慶中考B卷)如圖，△ABC中，∠A=30°，點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，☉O恰好與AC相切于點(diǎn)D，連接BD，若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長(zhǎng)是 (

)A.2 B. C. D.

【解析】選B.連接OD.∵OD是☉O的半徑，AC是☉O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，∴OD⊥AC.在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥CB，∴即∴CD=.2.(2018·宜昌中考)如圖，直線AB是☉O的切線，C為切點(diǎn)，OD∥AB交☉O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在☉O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數(shù)為 (

)A.30° B.35° C.40° D.45°【解析】選D.∵AB為☉O的切線，∴OC⊥AB，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠DOC+∠OCB=180°，∴∠DOC=90°，∴∠E=∠DOC，即∠E=45°.3.(2018·鄂州中考)如圖，PA，PB是☉O的切線，切點(diǎn)為A，B，AC是☉O的直徑，OP與AB交于點(diǎn)D，連接BC，下列結(jié)論：①∠APB=2∠BAC；②OP∥BC；③若tanC=3，則OP=5BC；④AC2=4OD·OP.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 (

)A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【解析】選A.連接OB，∵PA，PB是☉O的切線，∴AP=BP，又∵OA=OB，∴OP是AB的垂直平分線，∴∠APO+∠PAB=90°，∠APO=∠BPO，∴∠APB=2∠APO.∵PA是☉O的切線，∴∠PAC=90°，∴∠PAB+∠BAC=90°，∴∠APB=2∠BAC，故①正確；∵AC是直徑，∴∠ABC=90°，∴∠ADO=∠ABC=90°，∴OP∥BC，故②正確；∵∠APO=∠BAC，∠PAO=∠ABC，∴△OPA∽△CAB，∴∵tanC=3，設(shè)BC=a，則AB=3a，AC=a，∴∴OP=5a，即OP=5BC，故③正確；∵∠OAP=∠ODA，∠AOP=∠AOD，∴△AOD∽△POA，∴∴OA2=OD·OP，∵AC=2OA，∴AC2=4OD·OP，故④正確.4.(2018·宜賓中考)如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC=CD，CE⊥AD于點(diǎn)E.(1)求證：直線EC為圓O的切線.(2)設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值.【解析】(1)∵CE⊥AD于點(diǎn)E，∴∠DEC=90°，∵BC=CD，∴C是BD的中點(diǎn)，又∵O是AB的中點(diǎn)，∴OC是△BDA的中位線，∴OC∥AD∴∠OCE=∠CED=90°∴OC⊥CE，又∵點(diǎn)C在圓上，∴CE是圓O的切線.(2)連接AC，∵AB是直徑，點(diǎn)F在圓上，∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA.∵∠EPF=∠EPA，∴△PEF∽△PAE.∴PE2=PF·PA，∵∠FBC=∠PCF=∠CAF，又∵∠CPF=∠CPA，∴△PCF∽△PAC.∴PC2=PF·PA.∴PE=PC.在直角△PEF中，sin∠PEF=考點(diǎn)四三角形的外接圓或內(nèi)切圓【示范題6】(2018·溫州中考)如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在圓上.(1)求證：AE=AB.(2)若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】(1)由折疊得出∠AED=∠ACD，AE=AC，結(jié)合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，從而得出AB=AC，據(jù)此得證.(2)作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根據(jù)∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB=據(jù)此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案.【自主解答】(1)由題意得△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC.∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1.∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別(1)圓心不同：外心是三角形外接圓的圓心，內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心.(2)交點(diǎn)不同：外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn).(3)距離不同：外心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2018·大慶中考)在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑為________.

【解析】根據(jù)內(nèi)