2021年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)農(nóng)試題

一、選擇題:1~8小題，每題4分，共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求

的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴曲線y=3xcos3x在點(diǎn)(肛-3%)處的法線方程為()

(A)3x+y=0

(B)3x-y-6%=0

(C)x+3y+8〃=0

(D)x-3y-10^=0

【答案】①).

【分析】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用一一求法線方程.

【解析】y=3cos3x—9xsin3x,故刃“5=-3,所以所求法線方程為

y+3乃=g(x-?),即1—3丁-10%=0.應(yīng)選(D)

X

⑵曲線y=-----------()

(e，—l)(x+2)

(A)有水平漸近線y=0和鉛直漸近線x=0及x=-2

(B)有水平漸近線y=0及y=—1和鉛直漸近線x=-2

(C)僅有水平漸近線y=0及y=—1,無(wú)鉛直漸近線

(D)無(wú)水平漸近線，僅有鉛直漸近線x=-2

【答案】(B).

【分析】此題考查曲線的漸近線.

【解析】因?yàn)閘imy=lim----------=lim|—1-----|=0,

x

XT+OO…8?_])(X+2)x^^ex+2)

rrX「「1X'1

limy-lim----------=lim-V--------=-1

XT-C-X-?-00-1)(x4-2).V->-Q0^e-1X+2)

所以y=0及y=—1為曲線的水平漸近線.

XX1X

又lim-----------=lim-------=一，lim------------=8,故x=-2為曲線的鉛直漸

—o(e*一1)(%+2)io+2)2—-2(e'-l)(x+2)

近線，但x=()不是.

綜上知，曲線有水平漸近線y=0及y=-l和鉛直漸近線x=—2.應(yīng)選(B).

(3)函數(shù)/(幻=1，"cos”就在閉區(qū)間［0,乃］上的最小值和最大值依次為()

(A)/(0),/⑺

(B)/(?)，/(|)

(0/(0),/(1)

(D)嗎),/⑺

【答案】(C).

【解析】這題看的是函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，所以直接求導(dǎo)即可。f(x)=e-'cosx,那么可知

7TTT

當(dāng)0<x<3時(shí)，/'(X)>0故函數(shù)在［0,—］上單調(diào)遞增；當(dāng)一<x〈乃時(shí)，/'(x)<0故函數(shù)在

乃］上單調(diào)遞減，那么可知函數(shù)在尤=告處取得最大值。最小值為min{/(0),/0r)},由于

乃兀江燈

/(0)=0,/(")=J2e"cosudu+e~ucosudu=e~gJ，cosudu+e~,Jcosudu

~2~l

=e~--e^>0(0<<;<^<?］<7r)故可知在九=0處取最小值/(0).

(4)設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，記/=「J(x)公，￡>=］(%,切可<2,3?,那么

\\f(^fQy)dxdy=(〕

2,

⑴丁

2/

叱/

3r

(D)1/2

2

【答案】(B)

【解析】如/”。/《卜日〃3日辦

令3y=f得：jj〃3y)⑥==

令方=〃得：公=2j]j⑺點(diǎn)=2/

7

所以原式=W/2

3

'1-10

01-]

(5)設(shè)矩陣A=假設(shè)線性方程組4X=用無(wú)解，那么()

001

100

(A)a=l,bH-6

(B)bw-6

(C)a=l,b=_6

(D)awl,b=-6

(6)設(shè)A,6為5階非零矩陣，且AB=O()

(A)假設(shè)“A)=1那么"5)=4

(B)假設(shè)r(A)=2那么r(B)=3

(C)假設(shè)r(A)=3那么"5)=2

(D)假設(shè)r(4)=4那么"5)=1

(7)設(shè)A8為兩個(gè)隨機(jī)事件，且AuB,0<p(A)<l,那么()

(A)P(AB)=1-P(B)

(B)P(AB)=1-P(B)

(C)P(B|A)=P(B)

(D)P(B|A)=P(B)

【答案】(B)

【解析】A.P(而)=P(Nu5)=l一P(A8)=1—P(A)

B.P(AB)=i-P(A^JB)=1-P(B)

PG鉆)=P(A)=]

C.

P⑻A)=P(A)一麗一

P(M)P(5)-P(A)

D.P(B\A)=—乎罟”⑶

P(力l-P⑷

所以，答案選B.

(8)設(shè)心(")表示自由度為n的t分布的a分位數(shù)，那么()

(A)((〃)f]_a(〃)=l

(B"a(”)G_a(〃)=2

(C)/a(n)+Z,_a(n)=l

(D)%(〃)+f1_a(〃)=O

【答案】(D)

【解析】設(shè)Xsta(〃),P[X>%(〃)]=a，那么P[X<-ta(n)]=a,P[X>-%(〃)]=1-a,

P[X>tt_a(n)]=1-a,/.-ta(n)=tx_a(n),故%(〃)+￡%(/)=°?

所以答案選D.

二、填空題：9~答題紙指定位置上.

(9)lim+(l-cosx)—

1。Inx

「mxsinx

limWl-cosx)ljm_sinA_.vlimJSJLL.舞萬(wàn)

[解析】原式=e，#mxueET-c05*=e*MT-cosx=e2

X

(10)函數(shù)f(%)的第二類間斷點(diǎn)為x=

Vl+sinx-1

X

【解析】lim=oo.(Z：=±1,±2,…)

XTknVl+sinx-1

(11)假設(shè)連續(xù)函數(shù)/(X)滿足J：f3dt=e3'那么/(e)=

【解析】對(duì)J：f(t)dt=e3*兩邊求導(dǎo)，得/(/)?/=3e3x,令x=1,得/(e)=3??2.

(12)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換積分次序，f(x,y)dy=—

【解析】有題意知，積分區(qū)域?yàn)椤?{(x,y)|lWxW2,2—x?ywj2x-x2b交換積分次序,

得

r21?《2x—x~pl廣1+Jl-.

f(x,y)dx.

(13)設(shè)3階矩陣4=(1,4,%)，B=(a,+?3,?1+2?2,a2-2a3),假設(shè)|川=一1,那么

忸|=——

"110、

【解析】5=(?)+a3,a,+2a2,a2-2a3)=(al,a2,a3)021=AC,

J0-2,

110

|C|=021=一3,所以慟=閡。=一以(_3)=3。

10-2

2

(14)某運(yùn)發(fā)動(dòng)每次投籃投中的概率為他連續(xù)投籃直到投中兩次為止，假設(shè)各次投籃的結(jié)果相

對(duì)獨(dú)立，那么他投籃總次數(shù)為4的概率為一.

4

【答案】—

27

【解析】所求概率p=P(前3次投籃命中1次，第4次投籃命中}

=燃)卡恥捺.

管翊紙指定位置上.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(此題總分值10分)

xe~x,x<0,

設(shè)函數(shù)=./、求r*).

sin卜irr7x),x>0,

【解析】x<Q時(shí)f'(x)="*(1一x)；X〉0時(shí)/'(X)=cos(sin2x)sin2x；

，，仆/⑴一/⑼X"”

￡(())=lrim—■L^-L=lrim-----=1;

XT(rXXT。-X

f；(0)=limd°)=limsm(sin-x)=0；/，(())不存在.

XT。+xx->(rx

(16)(此題總分值10分)

設(shè)函數(shù)z=(x,y),由方程/+3丁+23=22確定，求三.

5丫(3.2)

【解析】當(dāng)x=3,y=2時(shí)，z=l

對(duì)等式兩同時(shí)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，可得

6y+3z?—=0,那么可以解得：一=-4

dydy

再次對(duì)等式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),可得：

6+6z(空)2+3z2會(huì)=0,解得會(huì)=-34.

6ydydy

(17)(此題總分值10分)

設(shè)。是由曲線y=4-V和直線y=x+2所圍成的平面圖形，求。的面積S及。繞X軸旋

轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V。

【解析】聯(lián)立《I;小

x——2、x=\

或<

y=0。=3

所以

5=j'(4-x2-x-2XZr

V-'^4-x2dx--32-3

5

(x83一|1o

I53J|-2

153萬(wàn)，、108

=------9兀=---n.

55

(18)(此題總分值10分)

計(jì)算二重積分“卜―14力，其中區(qū)域。由直線x-y=0,x+3y—4=0及x軸圍成。

D

【解析】D[:0<y<x,0<x<l;D2:l<x<4-3y,0<y<l.

jj|x-l|6taZy

D

=jj(1一xjdxdy-v^(x-l)小dy

=￡時(shí)；(1-皿+￡力廣,(x-皿

135

=—I—=-,

623

(19)(此題總分值10分)

設(shè)函數(shù)y=/(x)是微分方程xy'+y^x\nx滿足條件咒口=一；的解，求y=的極

值。

【解析】個(gè)'+y=xlnx的通解為

y=eJx[\\nxedx+C]=-[-x2(.2\nx-])+C],

Jx4

由初始條件求出C=0.從而，y=；x(21nx-l),y'=glnx+；.

11I_1

令y'=0,解得尤=e2,又＜=一,由y"（e2）＞0知x=e2是極小值點(diǎn)，

2x

-11」

所以y=f（x）的極小值為y（e2）=-萬(wàn)62.

（20）（此題總分值11分）

7

向量組《=（1,-1,0,5）',%=（2,0,1,4）7,a3=（3,1,2,3）1a4=（4,2,3,?）-其中〃是

參數(shù)，求該向量組的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。

'1234、

,、0123

【解析】000

a-2

、0000＞

：34、

、023

⑴當(dāng)。=2時(shí)，0

I00

0I00,

%,4,%,%的秩為2,4,%是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組

?3=+2a2,%——2%+3a2

（II）當(dāng)a，2時(shí)，4,。2，%，%的秩為3，且%,%,%是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，

<z3=-a]+2a2

（21）（此題總分值11分）

‘201、'100、

矩陣A=313相似于A=010

<40與<00"

⑴求。、（的值,

?？谇罂赡婢仃?^使^一^2二？

【解析】由A和A相似，知療（A）="（A）,同=囚，故3+a=2+b,2a—4=8，

解得a=5,b=6

由A和A的特征值相同知A的特征值為4=4=1,4=6

4=4=1對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為：解（E-A）x=O得到々=（0,1,0），%=（—1,0,1）

4=6對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為：

解（6E-A）x=0,得到2=。,3,盯

‘0-11、

令尸=（7，%，〃3）=103

I。1“

‘100、

那么p-MP=010.

、006,

（22）（此題總分值11分）

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）的概率分布為

X01

2]_

0

88

1a

4

]_

2h

4

且雙丫）=；。

⑴求常數(shù)a,b

（ID求x與y的相關(guān)系數(shù)。

-x2+—X2+Q+Z7=1

【解析】⑴由4，解得〃=_L,a=_L；

0”3A1288

E(Y)=W+b=7

、o2