新編物理基礎(chǔ)學(xué)下冊(cè)（9-17章）課后習(xí)題（每題都有）詳細(xì)答案王少杰，顧牡主編第九章9-1兩個(gè)小球都帶正電，總共帶有電荷,如果當(dāng)兩小球相距2.0m時(shí)，任一球受另一球的斥力為1.0N.試求總電荷在兩球上是如何分配的？分析：運(yùn)用庫(kù)侖定律求解。解：如圖所示，設(shè)兩小球分別帶電q1，q2則有題9-1解圖q1+q2=5.0×10-5C①題9-1解圖由題意，由庫(kù)侖定律得：②由①②聯(lián)立得：9-2兩根6.0×10-2m長(zhǎng)的絲線由一點(diǎn)掛下，每根絲線的下端都系著一個(gè)質(zhì)量為0.5×10-3kg的小球.當(dāng)這兩個(gè)小球都帶有等量的正電荷時(shí)，每根絲線都平衡在與沿垂線成60°角的位置上。求每一個(gè)小球的電量。分析：對(duì)小球進(jìn)行受力分析，運(yùn)用庫(kù)侖定律及小球平衡時(shí)所受力的相互關(guān)系求解。解：設(shè)兩小球帶電q1=q2=q，小球受力如圖所示題9-2解圖題9-2解圖②聯(lián)立①②得：③其中代入③式，即：q=1.01×10-7C9-3電場(chǎng)中某一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)定義為，若該點(diǎn)沒(méi)有試驗(yàn)電荷，那么該點(diǎn)是否存在場(chǎng)強(qiáng)？為什么？答：若該點(diǎn)沒(méi)有試驗(yàn)電荷，該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變.因?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，僅與場(chǎng)源電荷的分布及空間位置有關(guān)，與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)，從庫(kù)侖定律知道，試驗(yàn)電荷q0所受力與q0成正比，故是與q0無(wú)關(guān)的。9-4直角三角形ABC如題圖9-4所示，AB為斜邊，A點(diǎn)上有一點(diǎn)荷，B點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷，已知BC=0.04m，AC=0.03m，求C點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向(cos37°≈0.8,sin37°≈0.6).分析：運(yùn)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。解：如題圖9-4所示C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為題9-4題9-4解圖C方向?yàn)椋杭捶较蚺cBC邊成33.7°。9-5兩個(gè)點(diǎn)電荷的間距為0.1m，求距離它們都是0.1m處的電場(chǎng)強(qiáng)度。分析：運(yùn)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。題9-5解圖題9-5解圖，沿x、y軸分解：∴9-8兩個(gè)點(diǎn)電荷q1和q2相距為l，若（1）兩電荷同號(hào)；（2）兩電荷異號(hào)，求電荷連線上電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.分析：運(yùn)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。解：如圖所示建立坐標(biāo)系，取q1為坐標(biāo)原點(diǎn)，指向q2的方向?yàn)閤軸正方向.(1)兩電荷同號(hào).場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)只可能在q1、q2之間，設(shè)距q1為x的A點(diǎn).據(jù)題意：E1=E2即：∴(2)兩電荷異號(hào).場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在q1q2連線的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，即E1=E2解之得：9-9如題圖9-9所示，長(zhǎng)l=0.15m的細(xì)直棒AB上，均勻地分布著線密度的正電荷，試求：（1）在細(xì)棒的延長(zhǎng)線上，距棒近端d1=0.05m處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（2）在細(xì)線的垂直平分線上與細(xì)棒相距d2=0.05m的Q點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)；(3)在細(xì)棒的一側(cè)，與棒垂直距離為d2=0.05m，垂足距棒一端為d3=0.10m的S點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng).分析：將均勻帶電細(xì)棒分割成無(wú)數(shù)個(gè)電荷元，每個(gè)電荷元在考察點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)可用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式表示，然后利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理積分求解，便可求出帶電細(xì)棒在考察點(diǎn)產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)。注意：先電荷元的場(chǎng)強(qiáng)矢量分解后積分，并利用場(chǎng)強(qiáng)對(duì)稱(chēng)性。題9-題9-9解圖(1)題圖9-9題圖9-9解：(1)以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖（1）所示坐標(biāo)系，將細(xì)棒分成許多線元dy.其所帶電量為，其在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，則∴方向沿Y軸負(fù)方向(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系，將細(xì)棒分成許多線元dy.其所帶電量為。它在Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小為：dE在x、y軸的投影為：由圖可見(jiàn)：，∴由于對(duì)稱(chēng)性，dEy分量可抵消，則又∵θ1=π-θ2∴方向沿X軸正方向題9-9題9-9解圖(3)題9-9解圖(2)(3)在細(xì)棒一側(cè)的S點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。建立如圖（3）所示的坐標(biāo)系，分析如（2）則：其中：；。方向：與x軸的夾角：9-10無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，電荷線密度為λ,被折成直角的兩部分.試求如題圖9-10所示的P點(diǎn)和P′點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.分析：運(yùn)用均勻帶電細(xì)棒附近的場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。題圖9-10解：以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如題9-10解圖(1)所示坐標(biāo)系題圖9-10均勻帶電細(xì)棒的場(chǎng)強(qiáng)：在P點(diǎn)：，∴豎直棒在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：題9-10題9-10解圖(1)x水平棒在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：∴在P點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)：即：方向與x軸正方向成45°.同理以P′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖題9-10解圖(2)坐標(biāo)：在P′點(diǎn)：，∴豎直棒在P′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：題9-10題9-10解圖(2)x水平棒在P′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：∴在P′點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為：即：，方向與x軸成-135°.9-11無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電棒上的線電荷密度為,上的線電荷密度為，與平行,在與，垂直的平面上有一點(diǎn)P,它們之間的距離如題圖9-11所示,求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。分析：運(yùn)用無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒的場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。解：在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：題圖9-11在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為：題圖9-11方向如題9-11解圖所示。把寫(xiě)成分量形式為：∴在P點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為：題9-11解圖9-12一細(xì)棒被彎成半徑為R的半圓形,其上部均勻分布有電荷+Q,下部均勻分布電荷-Q.如題圖9-12所示,求圓心O點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題9-題9-12解圖題圖9-12題圖9-12分析：微分取電荷元，運(yùn)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理積分求解。將帶電半圓環(huán)分割成無(wú)數(shù)個(gè)電荷元，運(yùn)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式表示電荷元場(chǎng)強(qiáng)。將電荷元電場(chǎng)進(jìn)行矢量分解，再進(jìn)行對(duì)稱(chēng)性分析，然后積分求解。解：把圓環(huán)分成無(wú)限多線元，所帶電量為，產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為。則的大小為：把分解成dEx和dEy，則：由于+Q、-Q帶電量的對(duì)稱(chēng)性，x軸上的分量相互抵消，則：∴圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：題圖9-139-13兩平行無(wú)限大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為+б和-2б,如題圖9-13所示,求:(1)圖中三個(gè)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)，，的表達(dá)式；（2）若б=4.43×10-6C·m-2，那么，，，各多大？題圖9-13分析：首先確定場(chǎng)強(qiáng)正方向，然后利用無(wú)限大均勻帶電平板場(chǎng)強(qiáng)及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。解：（1）無(wú)限大均勻帶電平板周?chē)稽c(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為：∴在Ⅰ區(qū)域：Ⅱ區(qū)域：Ⅲ區(qū)域：（2）若σ=4.43×10-6C·m-2則9-14邊長(zhǎng)為a的立方盒子的六個(gè)面分別平行于xOy，yOz和xOz平面，盒子的一角在坐標(biāo)原點(diǎn)處，在此區(qū)域有勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng),求通過(guò)各面的電通量。分析：運(yùn)用電通量定義求解，注意對(duì)于閉合曲面，外法線方向?yàn)檎?。解：即平行于xOy平面的兩平面的電通量為0；平行于yOz平面的兩平面的電通量為±200a2N·m2·C-1；平行于xOz平面的兩平面的電通量為±300a2N·m2·C-1。題9-16題9-16解圖題9-15解圖9-15一均勻帶電半圓環(huán)，半徑為R，電量為+Q，求環(huán)心處的電勢(shì)。分析：微分取電荷元，運(yùn)用點(diǎn)電荷電勢(shì)公式及電勢(shì)疊加原理積分求解。將帶電半圓環(huán)分割成無(wú)數(shù)個(gè)電荷元，根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式表示電荷元的電勢(shì)，再利用電勢(shì)疊加原理求解。解：把半圓環(huán)無(wú)窮分割，取線元，其帶電量為，則其在圓心O的電勢(shì)為：∴整個(gè)半圓環(huán)在環(huán)心O點(diǎn)處的電勢(shì)為：9-16一面電荷密度為б的無(wú)限大均勻帶電平面，若以該平面處為電勢(shì)零點(diǎn)，求帶電平面周?chē)碾妱?shì)分布。分析：利用無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式及電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求解。解：無(wú)限大平面周?chē)膱?chǎng)強(qiáng)分布為：取該平面電勢(shì)為零，則周?chē)我稽c(diǎn)P的電勢(shì)為：9-17如題圖9-17所示，已知a=8×10-2m，b=6×10-2m,q1=3×10-8C,q2=－3×10-8C，D為q1,q2連線中點(diǎn)，求：（1）D點(diǎn)和B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì);(2)A點(diǎn)和C點(diǎn)的電勢(shì)；（3）將電量為2×10-9C的點(diǎn)電荷q0由A點(diǎn)移到C點(diǎn)，電場(chǎng)力所作的功；（4）將q0由B點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力所作的功。題圖9-17題9-17題圖9-17題9-17解圖分析：由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)的公式及疊加原理求場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。靜電力是保守力，保守力做功等于從初位置到末位置勢(shì)能增量的負(fù)值。解：（1）建立如圖題9-17解圖所示坐標(biāo)系：，方向如圖示。，方向如圖示?！?；方向平行于x軸.同理，UB=0.（2）（3）（4）∴9-18設(shè)在均勻電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)與半徑為R的半球面的軸相平行，試計(jì)算通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量？分析：如圖所示，由高斯定理可知，穿過(guò)圓平面S1的電力線必通過(guò)半球面。解：在圓平面S1上：所以通過(guò)此半球面的電通量為：題9-19題9-19解圖題9-題9-18解圖9-19兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無(wú)限大同軸圓柱面，半徑分別為R1和R2（R2>R1）.單位長(zhǎng)度上的電量為λ,求離軸線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度：(1)；(2)；(3)分析：由于場(chǎng)為柱對(duì)稱(chēng)的，做同軸圓柱面，運(yùn)用高斯定理求解。解：（1）在時(shí)，作如圖所示同軸圓柱面為高斯面.由于場(chǎng)為柱對(duì)稱(chēng)的，所以通過(guò)側(cè)面的電通量為，通過(guò)上下底面的電通量為零.據(jù)高斯定理，因?yàn)榇烁咚姑鏇](méi)有包圍電荷，所以有：（2）對(duì)，類(lèi)似（1）作高斯面，有：題9-20解圖題9-20解圖（3）對(duì)，作類(lèi)似高斯面，有：故得：E=0。9-20靜電場(chǎng)中a點(diǎn)的電勢(shì)為300V，b點(diǎn)電勢(shì)為-10V.如把5×10-8C的電荷從b點(diǎn)移到a點(diǎn),試求電場(chǎng)力作的功？分析：電場(chǎng)力作功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值。解：依題意可以有如圖的示意圖：把正電荷由a點(diǎn)移到b點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力作功反之，當(dāng)正電荷從b點(diǎn)移到a點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力作功：負(fù)功表示當(dāng)正電荷向低電勢(shì)向高電勢(shì)移動(dòng)時(shí)，它要克服電場(chǎng)力作功，從而增加了它的電勢(shì)能。9-21在半徑為R1和R2的兩個(gè)同心球面上分別均勻帶電q1和q2,求在,,三個(gè)區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布。分析：由于場(chǎng)為球?qū)ΨQ(chēng)的，做同心球面，利用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。再利用電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系求電勢(shì)。注意：積分路徑上的場(chǎng)強(qiáng)是分段函數(shù)。題9-21題9-21解圖電勢(shì)的分布：第十章10-1如題圖10-1所示，三塊平行的金屬板A，B和C，面積均為200cm2,A與B相距4mm，A與C相距2mm，B和C兩板均接地，若A板所帶電量Q=3.0×10-7C，忽略邊緣效應(yīng),求：（1）B和C上的感應(yīng)電荷？（2）A板的電勢(shì)（設(shè)地面電勢(shì)為零）。題題10-1解圖題圖10-1題圖10-1分析：當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，根據(jù)靜電平衡條件和電荷守恒定律，可以求得導(dǎo)體的電荷分布，又因?yàn)锽、C兩板都接地，所以有。解：（1）設(shè)B、C板上的電荷分別為、。因3塊導(dǎo)體板靠的較近，可將6個(gè)導(dǎo)體面視為6個(gè)無(wú)限大帶電平面。導(dǎo)體表面電荷分布均勻，且其間的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于導(dǎo)體表面。作如圖中虛線所示的圓柱形高斯面。因?qū)w達(dá)到靜電平衡后，內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零，故由高斯定理得：即①又因?yàn)椋憾?∴于是：兩邊乘以面積S可得：即：②聯(lián)立①②求得:(2)10-2如題圖10-2所示，平行板電容器充電后，A和B極板上的面電荷密度分別為+б和－б，設(shè)P為兩極板間任意一點(diǎn)，略去邊緣效應(yīng)，求：（1）A,B板上的電荷分別在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EA,EB;（2）A,B板上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)E；(3)拿走B板后P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)E′。分析：運(yùn)用無(wú)限大均勻帶電平板在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求解。解：（1）A、B兩板可視為無(wú)限大平板.所以A、B板上的電何在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為:題圖10-2,方向?yàn)椋捍怪庇贏板由A指向B板題圖10-2，方向與相同.(2)，方向于相同(3)拿走B板后：，方向垂直A板指向無(wú)限遠(yuǎn)處.10-3電量為q的點(diǎn)電荷處導(dǎo)體球殼的中心，球殼的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，求場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布。分析：由場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，利用高斯定理求出各區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)分布。再應(yīng)用電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系求電勢(shì)，注意積分要分段進(jìn)行。解：由靜電感應(yīng)在球殼的內(nèi)表面上感應(yīng)出的電量，外表面上感應(yīng)出q的電量.題10-3題10-3解圖即：，,,綜上可知:10-4半徑為R1的導(dǎo)體球，帶有電量q；球外有內(nèi)、外半徑分別為R2，R3的同心導(dǎo)體球殼，球殼帶有電量Q。（1）求導(dǎo)體球和球殼的電勢(shì)U1，U2；（2）若球殼接地，求U1，U2；（3）若導(dǎo)體球接地（設(shè)球殼離地面很遠(yuǎn)），求U1，U2。分析：由場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，利用高斯定理求出各區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)分布；再由電勢(shì)定義求電勢(shì)。接地導(dǎo)體電勢(shì)為零，電荷重新分布達(dá)到新的靜電平衡，電勢(shì)分布發(fā)生變化。解:如圖題10-4解圖（a）所示,當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí),q分布在導(dǎo)體球的表面上.由于靜電感應(yīng)在外球殼的內(nèi)表面上感應(yīng)出電量.外表面上感應(yīng)出電量，則球殼外表面上共帶電荷.由于場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性.由高斯定理求得各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布為：題10-4解圖（題10-4解圖（a）E的方向均沿經(jīng)向向外.取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則由電勢(shì)的定義可得：內(nèi)球體內(nèi)任一場(chǎng)點(diǎn)p1的電勢(shì)為外球殼體內(nèi)任一場(chǎng)點(diǎn)p2的電勢(shì)為:題10-4解圖（b）（2）若外球殼接地.球殼外表面的電荷為零，等量異號(hào)電荷分布在球體表面和球殼內(nèi)表面上,此時(shí)電場(chǎng)只分布在的空間，如圖題10-4解圖（b）所示.由于外球殼則內(nèi)球體內(nèi)任一點(diǎn)P1的電勢(shì)U1為:題10-4解圖（b）(3)當(dāng)內(nèi)球接地時(shí)，內(nèi)球的電勢(shì)，但無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)也為零，這就要求外球殼所帶電量在內(nèi)外表面上重新分配，使球殼外的電場(chǎng)沿著經(jīng)向指向無(wú)限遠(yuǎn)處，球殼內(nèi)的電場(chǎng)經(jīng)向指向球心處；因此，內(nèi)球必然帶負(fù)電荷。因?yàn)閮?nèi)球接地，隨著它上面正電荷的減少，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也相應(yīng)減少；當(dāng)內(nèi)球上正電荷全部消失時(shí)，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷全部消失完；但就球殼而言，仍帶有電量+Q。由于靜電感應(yīng)，在內(nèi)球和大地這一導(dǎo)體，系統(tǒng)中便會(huì)感應(yīng)出等量的負(fù)電荷-Q,此負(fù)電荷（-Q）的一部分（設(shè)為-q′）均勻分布在內(nèi)球表面上。球殼內(nèi)表面上將出現(xiàn)等量的正電荷(+q′)與之平衡.因此，在達(dá)到靜電平衡后，內(nèi)球帶電荷-q′，球殼內(nèi)表面帶電量+q′，外表面上帶電量（Q-q′），如圖所示.由高斯定理可知各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布為:題10-4解圖（c）題10-4解圖（c）球殼上任一場(chǎng)點(diǎn)P2相對(duì)于無(wú)限遠(yuǎn)處和相對(duì)于接地內(nèi)球的電勢(shì)，應(yīng)用電勢(shì)定義分別計(jì)算，可得:聯(lián)立上述兩式，求得：將代入U(xiǎn)2的表達(dá)式中可得:，，10-5三個(gè)半徑分別為R1，R2，R3（R1<R2<R3）的導(dǎo)體同心薄球殼，所帶電量依次為q1，q2，q3.求：（1）各球殼的電勢(shì)；（2）外球殼接地時(shí)，各球殼的電勢(shì)。分析：根據(jù)靜電平衡條件先確定球的電荷分布情況，再根據(jù)電荷分布的球?qū)ΨQ(chēng)性，利用高斯定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度分布，進(jìn)而利用電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求出電勢(shì)分布。對(duì)于電荷球?qū)ΨQ(chēng)分布的帶電體，也可直接利用電勢(shì)疊加原理求得電勢(shì)分布。接地導(dǎo)體時(shí)電勢(shì)為零，電荷重新分布達(dá)到新的靜電平衡，新的電荷分布引起電場(chǎng)和電勢(shì)分布發(fā)生變化。解：(1)如圖題10-5解圖(a)所示，半徑為R1的導(dǎo)體球殼外表面上均勻的分布電量q1，由于靜電感應(yīng)，半徑為R2的球殼內(nèi)表面上感應(yīng)出-q1的電量.外表面上感應(yīng)出+q1的電量.因此，半徑為R2的球殼外表面上的電量為q1+q2，同理，半徑為R3的球殼內(nèi)表面上感應(yīng)出-(q1+q2)的電量.外表面上感應(yīng)出+(q1+q2)的電量.所以R3的球殼外表面上的電量為(q1+q2+q3)。(方法一)由于場(chǎng)的分布具有對(duì)稱(chēng)性,可用高斯定理求得各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分別為，題10-5解圖(a)，題10-5解圖(a)，，E的方向均沿徑向向外.取無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn).（方法二）可把各球殼上的電勢(shì)視為由電量為q1,半徑為R1；電量為q2，半徑為R2；電量為q3，半徑為R3的三個(gè)同心帶電球殼分別在各點(diǎn)所共同產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加.由于在半徑為R1的球殼外表面上的P點(diǎn)由三個(gè)帶電球殼電勢(shì)的疊加.故有同理:由于外球殼接地,球殼外表面的電荷為零，內(nèi)表面的電量為-(q1+q2)(方法一)用高斯定理求得各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分別為：題10-5解圖（b），題10-5解圖（b），，，∴（方法二）可把U1,視為帶電量為q1，半徑為R1；帶電量為q2，半徑為R2，帶電量為-(q1+q2)，半徑為R3的同心帶電球面在半徑為R1的球殼外表面上的電勢(shì)的疊加.∴把U2視為帶電量為q1+q2,半徑為R2.帶電量為-(q1+q2)，半徑為R3的同心球面在半徑為R2的球殼外表面上的電勢(shì)的疊加∴因?yàn)橥馇驓そ拥?，所以?0-6一球形電容器，由兩個(gè)同心的導(dǎo)體球殼所組成，內(nèi)球殼半徑為a，外球殼半徑為b，求電容器的電容。分析：設(shè)球殼內(nèi)外表帶電量，由于電荷分布具有對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)用高斯定理確定場(chǎng)強(qiáng)的分布。由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系確定電容器兩極板間電勢(shì)差，再由電容定義式求電容。解：設(shè)內(nèi)球殼外表面帶電量為+Q.則外球殼內(nèi)表面帶電量為-Q,兩球面間的場(chǎng)強(qiáng)分布具有對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)用高斯定理，求得兩球面間的場(chǎng)強(qiáng)大小為：，據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的關(guān)系：于是有：10-7一平行板電容器兩極板的面積均為S，相距為d，其間還有一厚度為t,面積也為S的平行放置著的金屬板，如題圖10-7所示，略去邊緣效應(yīng).(1)求電容C.（2）金屬板離兩極板的遠(yuǎn)近對(duì)電容C有無(wú)影響？（3）在t=0和t=d時(shí)的C為多少？分析：由于金屬板的兩個(gè)表面在電容器中構(gòu)成新電容器的兩個(gè)板板，所以AC間的電容器可看作AB、BC兩電容器的串聯(lián).題10-7解圖解：（1）題10-7解圖∴AC間的電容為:(2)由上述推導(dǎo)可知，金屬板離兩極板遠(yuǎn)近對(duì)C無(wú)影響當(dāng)t=0時(shí):當(dāng)t=d時(shí):C=∞10-8平行板電容器的兩極板間距d=2.00mm,電勢(shì)差U=400V，其間充滿相對(duì)電容率的均勻玻璃片,略去邊緣效應(yīng),求：（1）極板上的面電荷密度；(2)玻璃界面上的極化面電荷密度。分析：根據(jù)電容的定義式及平行板電容器公式求解自由電荷面密度。再利用極化面電荷密度和自由電荷面密度關(guān)系求解。解：（1）據(jù)電容的定義式：即:∴(2)10-9如題圖10-9所示，一平行板電容器中有兩層厚度分別為d1，d2的電介質(zhì)，其相對(duì)電容率分別為，，極板的面積為S，所帶面電荷密度為+б0和-б0.求：（1）兩層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)E1,E2;（2）該電容器的電容。分析：此電容器可視為上下兩電容器串聯(lián)而成。題10-9題10-9解圖當(dāng)充滿相對(duì)電容率為的介質(zhì)時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)分別為：，方向?yàn)榇怪睒O板向下。，方向?yàn)榇怪睒O板向下。(2)該電容可以看成是的串聯(lián)。∴10-10一無(wú)限長(zhǎng)的圓柱形導(dǎo)體，半徑為R，沿軸線單位長(zhǎng)度上所帶電荷為，將此圓柱放在無(wú)限大的均勻電介質(zhì)中，電介質(zhì)的相對(duì)電容率為，求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布規(guī)律；（2）電勢(shì)U的分布規(guī)律（設(shè)圓柱形導(dǎo)體的電勢(shì)為U0）分析：介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用。先利用介質(zhì)中高斯定理求D、E的空間分布，然后再由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系確定空間電勢(shì)分布。解：由于電荷分布呈對(duì)稱(chēng)性，故D、E分布亦呈對(duì)稱(chēng)性，方向沿徑向.以r為半徑作一同軸圓柱形柱面，圓柱長(zhǎng)為。如圖中虛線所示，則通過(guò)此面的D通量為:由高斯定理可知:題10-10題10-10解圖由可知:（2）據(jù)電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系可知：取圓柱面附近某點(diǎn)B處電勢(shì)為零.,則：當(dāng)r≤R時(shí),當(dāng)r≥R時(shí),綜上可知電勢(shì)分布為：10-11設(shè)有兩個(gè)同心的薄導(dǎo)體球殼A與B，其半徑分別為R1=10cm,R2=20cm，所帶電量分別為.球殼間有兩層電介質(zhì)球殼，內(nèi)層的相對(duì)電容率，外層的，它們分界面的半徑，球殼B外的電介質(zhì)為空氣，求：（1）A球的電勢(shì)UA，B球的電勢(shì)UB；（2）兩球殼的電勢(shì)差；（3）離球心30cm處的場(chǎng)強(qiáng)；（4）由球殼A與B組成的電容器的電容分析：介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用。先由介質(zhì)中高斯定理求D、E的空間分布，然后由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系求電勢(shì)、電勢(shì)差，再根據(jù)電容定義式求電容。解：（1）由于電荷分布呈球?qū)ΨQ(chēng)性.∴D、E分布亦呈球?qū)ΨQ(chēng)性.方向沿徑向.由高斯定理可得:ABAB題10-11解圖又由于∴由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系可知:(2)(3)∴(4)由靜電感應(yīng)，達(dá)到靜電平衡時(shí)，半徑為R2的導(dǎo)體球殼內(nèi)表面上分布有-q1的電量.∴10-12如題圖10-12所示，平行板電容器極板面積為S，相距為d，電勢(shì)差為U，極板間放著一厚度為t，相對(duì)電容率為的電介質(zhì)板，略去邊緣效應(yīng)，求：（1）介質(zhì)中的電位移D，場(chǎng)強(qiáng)E；（2）極板上的電量q；（3）極板與介質(zhì)間的場(chǎng)強(qiáng)E；（4）電容C。分析：介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用。由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系和D、E之間的關(guān)系，可得出空氣、介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)，由高斯定理可求出介質(zhì)中的電位移D，進(jìn)而求出電量及電容。解：（1）設(shè)介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)為、介質(zhì)外的場(chǎng)強(qiáng)為，則有：題10-12解圖題10-12解圖(2)作一柱形高斯面S，如圖中虛所示，有即：∴∴(3)極板與介質(zhì)間的場(chǎng)強(qiáng)：(4)10-13一平行板電容器，極板間距d=5.00mm，極板面積S=100cm2,用電動(dòng)勢(shì)E=300V的電源給電容器充電.（1）若兩板間為真空，求此電容器的電容，極板上的面電荷密度，兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)；（2）該電容器充電后，與電源斷開(kāi)，再在兩板間插入厚度d=5.00mm的玻璃片（相對(duì)電容率）,求其電容C，兩板間的場(chǎng)強(qiáng)以及電勢(shì)差ΔU；（3）該電容器充電后，仍與電源相接，在兩極板間插入與（2）相同的玻璃片，求其電容，兩板間的場(chǎng)強(qiáng)以及兩板上的電荷量。分析：電容器充電后，斷開(kāi)電源，電容器存儲(chǔ)的電量不變。而充電后，電容器仍與電源相接，則電容器兩極板間電壓不變。插入介質(zhì)后電容器的電容增大。解：（1）兩極板間為真空，則有：又∵∴（2）插入介質(zhì)后（3）充電后，仍與電源相接，則不變.∵∴10-14一圓柱形電容器由半徑為R1的導(dǎo)線和與它同軸的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，圓筒長(zhǎng)為l，內(nèi)半徑為R2，導(dǎo)線與圓筒間充滿相對(duì)電容率為的電介質(zhì)，設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上導(dǎo)線的電量為，圓筒的電量為，略去邊緣效應(yīng)，求：（1）電介質(zhì)中電位移D，場(chǎng)強(qiáng)E；（2）兩極板的電勢(shì)差。分析：介質(zhì)中的高斯定理的應(yīng)用。根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理求出D、E，再由電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系求電勢(shì)差。解：（1）電荷分布具有對(duì)稱(chēng)性,即D、E的分布變量呈對(duì)稱(chēng)性方向沿徑向向外.作如圖所示的圓柱形高斯面，由高斯定理可知：(R1<R<R2)即∴(R1<r<R2)題10-14解圖(R1<r<R2)題10-14解圖D、E的方向均沿徑向向外.(2)10-15如題圖10-15所示，每個(gè)電容器的電容C均為3μF，現(xiàn)將a,b兩端加上U=450V的電壓，求：（1）各個(gè)電容器上的電量；（2）整個(gè)電容器組所貯存的電能；（3）如果在電容器中，充入相對(duì)電容率的電介質(zhì)，各個(gè)電容器上的電量。題10-15解圖題圖10-15題10-15解圖題圖10-15分析：畫(huà)出等效電路，利用電容器的串、并聯(lián)特點(diǎn)求解。解：（1）畫(huà)出該電路的等效圖如圖示而而且∴即各電容器的電量為：；(2)(3)在中充入的電介質(zhì)后，其電容為，則有：∴∴∴第十一章11-1電源中的非靜電力與靜電力有什么不同？答：在電路中，電源中非靜電力的作用是，迫使正電荷經(jīng)過(guò)電源內(nèi)部由低電位的電源負(fù)極移動(dòng)到高電位的電源正極，使兩極間維持一電位差。而靜電場(chǎng)的作用是在外電路中把正電荷由高電位的地方移動(dòng)到低電位的地方，起到推動(dòng)電流的作用；在電源內(nèi)部正好相反，靜電場(chǎng)起的是抵制電流的作用。電源中存在的電場(chǎng)有兩種：1、非靜電起源的場(chǎng)；2、穩(wěn)恒場(chǎng)。把這兩種場(chǎng)與靜電場(chǎng)比較，靜電場(chǎng)由靜止電荷所激發(fā)，它不隨時(shí)間的變化而變化。非靜電場(chǎng)不由靜止電荷產(chǎn)生，它的大小決定于單位正電荷所受的非靜電力，。當(dāng)然電源種類(lèi)不同，的起因也不同。11-2靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)相同處和不同處？為什么恒定電場(chǎng)中仍可應(yīng)用電勢(shì)概念？答：穩(wěn)恒電場(chǎng)與靜電場(chǎng)有相同之處，即是它們都不隨時(shí)間的變化而變化，基本規(guī)律相同，并且都是位場(chǎng)。但穩(wěn)恒電場(chǎng)由分布不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生，電荷本身卻在移動(dòng)。正因?yàn)榻⒎€(wěn)恒電場(chǎng)的電荷分布不隨時(shí)間變化，因此靜電場(chǎng)的兩條基本定理，即高斯定理和環(huán)路定理仍然適用，所以仍可引入電勢(shì)的概念。11-3一根銅導(dǎo)線表面涂以銀層，當(dāng)兩端加上電壓后，在銅線和銀層中，電場(chǎng)強(qiáng)度是否相同？電流密度是否相同？電流強(qiáng)度是否相同？為什么？答：此題涉及知識(shí)點(diǎn)：電流強(qiáng)度，電流密度概念，電場(chǎng)強(qiáng)度概念，歐姆定律的微分形式。設(shè)銅線材料橫截面均勻，銀層的材料和厚度也均勻。由于加在兩者上的電壓相同，兩者的長(zhǎng)度又相等，故銅線和銀層的場(chǎng)強(qiáng)相同。由于銅線和銀層的電導(dǎo)率不同，根據(jù)知，它們中的電流密度不相同。電流強(qiáng)度，銅線和銀層的不同但相差不太大，而它們的橫截面積一般相差較大，所以通過(guò)兩者的電流強(qiáng)度，一般說(shuō)來(lái)是不相同的。11-4一束質(zhì)子發(fā)生側(cè)向偏轉(zhuǎn)，造成這個(gè)偏轉(zhuǎn)的原因可否是：（1）電場(chǎng)？（2）磁場(chǎng)？（3）若是電場(chǎng)和磁場(chǎng)在起作用，如何判斷是哪一種場(chǎng)？答：造成這個(gè)偏轉(zhuǎn)的原因可以是電場(chǎng)或磁場(chǎng)?？梢愿淖冑|(zhì)子的運(yùn)動(dòng)方向，通過(guò)質(zhì)子觀察運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)判斷是電場(chǎng)還是磁場(chǎng)在起作用。11-5三個(gè)粒子，當(dāng)它們通過(guò)磁場(chǎng)時(shí)沿著如題圖11－5所示的路徑運(yùn)動(dòng)，對(duì)每個(gè)粒子可作出什么判斷？答：根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力規(guī)律，通過(guò)觀察運(yùn)動(dòng)軌跡的不同可以判斷三種粒子是否帶電和帶電種類(lèi)。11-6一長(zhǎng)直載流導(dǎo)線如題11-6圖所示，沿Oy軸正向放置，在原點(diǎn)O處取一電流元，求該電流元在（a，0，0），（0，a，0），（a，a，0），（a，a，a）各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：根據(jù)畢奧-薩伐爾定律求解。題11-5圖原點(diǎn)O處的電流元在（a，0，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：在（0，a，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：題11-6圖題11-6圖在（a，a，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：在（a，a，a）點(diǎn)產(chǎn)生的為11-7用兩根彼此平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線將半徑為R的均勻?qū)w圓環(huán)聯(lián)到電源上，如題11-7圖所示，b點(diǎn)為切點(diǎn)，求O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律分別求出載流直導(dǎo)線L1和L2以及導(dǎo)體圓環(huán)上并聯(lián)的大圓弧和小圓弧在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再利用磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和疊加求解。解：先看導(dǎo)體圓環(huán)，由于和并聯(lián)，設(shè)大圓弧有電流，小圓弧有電流，必有：由于圓環(huán)材料相同，電阻率相同，截面積S相同，實(shí)際電阻與圓環(huán)弧的弧長(zhǎng)和有關(guān)，即：題11-7圖則在O點(diǎn)產(chǎn)生的的大小為題11-7圖而在O點(diǎn)產(chǎn)生的的大小為和方向相反，大小相等.即。直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的。直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的，方向垂直紙面向外。則O點(diǎn)總的磁感強(qiáng)度大小為11-8一載有電流的長(zhǎng)導(dǎo)線彎折成如題11-8圖所示的形狀，CD為1/4圓弧，半徑為R，圓心O在AC，EF的延長(zhǎng)線上.求O點(diǎn)處磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。分析：O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為各段載流導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生磁感強(qiáng)度的矢量和。解：因?yàn)镺點(diǎn)在AC和EF的延長(zhǎng)線上，故AC和EF段對(duì)O點(diǎn)的磁場(chǎng)沒(méi)有貢獻(xiàn)。CD段：DE段：O點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度為題圖11-題圖11-9方同垂直紙面向外.題11-8圖題11-8圖11-9一無(wú)限長(zhǎng)薄電流板均勻通有電流，電流板寬為，求在電流板同一平面內(nèi)距板邊為的P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分無(wú)限長(zhǎng)薄電流板，對(duì)微分電流應(yīng)用無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求解。并將再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。注意利用場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性。解：在電流板上距P點(diǎn)x處取寬為并平行于電流的無(wú)限長(zhǎng)窄條，狹條中的電流為在P點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為：方向垂直紙面向里。整個(gè)電流板上各窄條電流在P點(diǎn)處產(chǎn)生的方向相同，故11-10在半徑的“無(wú)限長(zhǎng)”半圓柱形金屬薄片中，有電流自下而上地通過(guò)，如題11-10圖所示。試求圓柱軸線上一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分半圓柱形金屬薄片，對(duì)微分電流應(yīng)用無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求解。并將場(chǎng)強(qiáng)矢量分解后再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。注意利用場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性。題11-10圖解11-10圖解：無(wú)限長(zhǎng)載流半圓形金屬薄片可看成由許多寬為的無(wú)限長(zhǎng)電流窄條所組成，每根導(dǎo)線上的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為，方向按右手螺旋法則確定，如解11-10圖所示。題11-10圖解11-10圖，由于各電流窄條產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向各不相同，P點(diǎn)的總磁場(chǎng)應(yīng)化矢量積分為標(biāo)量積分，即11-11在半徑為R及r的兩圓周之間，有一總匝數(shù)為N的均勻密繞平面線圈（如題11-11圖）通有電流，求線圈中心（即兩圓圓心）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分密繞平面線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于載流螺旋線繞得很密，可以將它看成由許多同心的圓電流所組成，在沿徑向r到R范圍內(nèi)，單位長(zhǎng)度的線圈匝數(shù)為任取半徑，寬為d的電流環(huán)，該電流環(huán)共有電流為題11-11圖該電流環(huán)在線圈中心產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為題11-11圖圓心處總磁感強(qiáng)度大小方向垂直紙面向外。11-12如題11-12圖所示，在頂角為的圓錐臺(tái)上密繞以線圈，共N匝，通以電流，繞有線圈部分的上下底半徑分別為和.求圓錐頂O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.分析：微分密繞線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：只要將題11-11中的均勻密繞平面線圈沿通過(guò)中心的軸垂直上提，便與本題條件相一致，故解題思路也相似。如解11-12圖建立坐標(biāo)，取半徑為，寬為d的電流環(huán)的密繞線圈，其含有匝數(shù)為，通電流為因?yàn)?，。半徑為的一小匝電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的大小為所有電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向均沿x軸，所以其磁感強(qiáng)度大小為題11-12圖解11-12圖11-13半徑為R的木球上繞有細(xì)導(dǎo)線，所繞線圈很緊密，相鄰的線圈彼此平行地靠著，以單層蓋住半個(gè)球面共有N匝，如題11-13圖所示。設(shè)導(dǎo)線中通有電流，求在球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：考慮線圈沿圓弧均勻分布，微分密繞線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解11-13圖解：建立如解11-13圖所示坐標(biāo)，軸垂直線圈平面，考慮線圈沿圓弧均勻分布，故在內(nèi)含有線圈的匝數(shù)為解11-13圖線圈中通電流時(shí)，中心O點(diǎn)處磁感強(qiáng)度為題11-13圖題11-13圖因?yàn)閷?duì)整個(gè)半球積分求得O點(diǎn)總磁感強(qiáng)度為11-14一個(gè)塑料圓盤(pán)，半徑為R，帶電量q均勻分布于表面，圓盤(pán)繞通過(guò)圓心垂直盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為.試證明（1）在圓盤(pán)中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（2）圓盤(pán)的磁偶極矩為分析：均勻帶電圓盤(pán)以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)相當(dāng)于圓電流，微分帶電圓盤(pán)，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：（1）在圓盤(pán)上取一個(gè)半徑為、寬為的細(xì)圓環(huán)，其所帶電量為題11－15圖圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)后相當(dāng)于圓電流題11－15圖若干個(gè)圓電流在圓心產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為（2）細(xì)圓環(huán)的磁矩為轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)的總磁矩為，方向沿軸向。11-15已知一均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T，方向沿x軸正方向，如題11-15圖所示。試求（1）通過(guò)圖中abcd面的磁通量；（2）通過(guò)圖中befc面的磁通量；（3）通過(guò)圖中aefd面的磁通量。分析：應(yīng)用磁通量概念求解。解：（1）取各面由內(nèi)向外為法線正方向。則（2）（3）11-16如題11-16圖所示，在長(zhǎng)直導(dǎo)線AB內(nèi)通有電流，有一與之共面的等邊三角形CDE，其高為，平行于直導(dǎo)線的一邊CE到直導(dǎo)線的距離為。求穿過(guò)此三角形線圈的磁通量。分析：由于磁場(chǎng)不均勻，將三角形面積進(jìn)行微分，應(yīng)用磁通量概念求出穿過(guò)面元的磁通量，然后利用積分求出穿過(guò)三角形線圈的磁通量。題11-16圖解11-16圖解：建立如解11-16圖所示坐標(biāo)，取距電流AB為遠(yuǎn)處的寬為且與AB平行的狹條為面積元題11-16圖解11-16圖則通過(guò)等邊三角形的磁通量為11-17一根很長(zhǎng)的銅導(dǎo)線，載有電流10A，在導(dǎo)線內(nèi)部，通過(guò)中心線作一平面S，如題圖11-17所示。試計(jì)算通過(guò)導(dǎo)線內(nèi)1m長(zhǎng)的S平面的磁通量。分析：先求出磁場(chǎng)的分布，由于磁場(chǎng)沿徑向不均勻，將平面S無(wú)窮分割，應(yīng)用磁通量概念求出穿過(guò)面元的磁通量，再利用積分求總磁通量。解：與銅導(dǎo)線軸線相距為r的P點(diǎn)處其磁感強(qiáng)度為題11-17圖（rR，R為導(dǎo)線半徑）。題11-17圖于是通過(guò)單位長(zhǎng)銅導(dǎo)線內(nèi)平面S的磁通量為11-18如題11-18圖所示的空心柱形導(dǎo)體，柱的內(nèi)外半徑分別為和，導(dǎo)體內(nèi)載有電流，設(shè)電流均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上。求證導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)（）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B由下式給出：分析：應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。注意環(huán)路中電流的計(jì)算，應(yīng)該是先求出載流導(dǎo)體內(nèi)電流密度，再求出穿過(guò)環(huán)路的電流。證明：載流導(dǎo)體內(nèi)電流密度為由對(duì)稱(chēng)性可知，取以軸為圓心，為半徑的圓周為積分回路，則由安培環(huán)路定理得:從而有:題11-19圖如果實(shí)心圓柱，此時(shí)。題11-19圖題11-18圖題11-18圖11-19有一根很長(zhǎng)的同軸電纜，由兩個(gè)同軸圓筒狀導(dǎo)體組成，這兩個(gè)圓筒狀導(dǎo)體的尺寸如題11-19圖所示。在這兩導(dǎo)體中，有大小相等而方向相反的電流流過(guò)。（1）求內(nèi)圓筒導(dǎo)體內(nèi)各點(diǎn)（）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；（2）求兩導(dǎo)體之間（）的B；（3）求外圓筒導(dǎo)體內(nèi)（）的B；（4）求電纜外（）各點(diǎn)的B。分析：應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。求外圓筒導(dǎo)體內(nèi)（）的B時(shí)，注意環(huán)路中電流的計(jì)算，應(yīng)該是先求出外圓導(dǎo)體內(nèi)電流密度，再結(jié)合內(nèi)圓筒的電流，求出穿過(guò)環(huán)路的電流。解：在電纜的橫截面，以截面的軸為圓心，將不同的半徑作圓弧并取其為安培積分回路，然后，應(yīng)用安培環(huán)路定理求解，可得離軸不同距離處的磁場(chǎng)分布。(1)當(dāng)時(shí)，，得B=0；(2)當(dāng)時(shí)，同理可得(3)當(dāng)時(shí)，有得(4)當(dāng)時(shí)，B=0。11-20題11-20圖中所示為一根外半徑為的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體管，管中空心部分半徑為，并與圓柱不同軸.兩軸間距離?，F(xiàn)有電流密度為的電流沿導(dǎo)體管流動(dòng)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。分析：此題屬于非對(duì)稱(chēng)分布磁場(chǎng)的問(wèn)題，因而不能直接應(yīng)用安培環(huán)路定理一次性求解，但可用補(bǔ)償法求解。即將無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱形導(dǎo)體管看作是由半徑為的實(shí)心載流圓柱體和一根與圓柱軸平行并相距的半徑為的反向載流圓柱體疊加而成（它們的場(chǎng)都可以分別直接應(yīng)用安培環(huán)路定理求解）。則空間任一點(diǎn)的場(chǎng)就可視作該兩個(gè)載流導(dǎo)體產(chǎn)生場(chǎng)的矢量疊加。注意補(bǔ)償電流的計(jì)算時(shí)，應(yīng)該是先求出原來(lái)導(dǎo)體內(nèi)電流密度，按照此電流密度進(jìn)行補(bǔ)償。解：如解11-20圖所示，設(shè)半徑為的載流圓柱其電流垂直紙面向外，電流密度為題11-20圖題11-20圖解11-20圖它在空腔中P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)為，其方向如解11-20圖所示，由安培環(huán)路定理可得；式中為從O點(diǎn)引向P點(diǎn)的矢徑。同理可求得半徑為的反向載流的小圓柱在P點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)，方向如解11-21圖，即；式中為從O點(diǎn)引向P點(diǎn)的矢徑。則式中為從指向的矢量。由于，所以得的方向垂直，而大小為,空腔內(nèi)的磁場(chǎng)為均勻磁場(chǎng)。11-21一電子在的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑，某時(shí)刻電子在A點(diǎn)，速度向上，如題11-21圖所示。（1）試畫(huà)出電子運(yùn)動(dòng)的軌道；（2）求電子速度的大?。唬?）求電子動(dòng)能。分析：應(yīng)用運(yùn)動(dòng)電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中所受洛倫茲力公式并結(jié)合牛頓第二定律求解。解：（1）由洛倫茲力公式：得電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為由A點(diǎn)出發(fā)剛開(kāi)始向右轉(zhuǎn)彎半徑為r的圓形軌道。（2）由：得：（3）題11-22圖題11-22圖題11-21圖題11-21圖11-22把2.0keV的一個(gè)正電子射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)內(nèi)（題11-22圖），其速度矢量與成89角，路徑成螺旋線，其軸在的方向.試求這螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期、螺距p和半徑。分析：應(yīng)用洛倫茲力分析帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)求解。注意分析在的方向和垂直的運(yùn)動(dòng)不同特點(diǎn)。解：帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)與成=89時(shí)，其軌跡為螺旋線。則11-23在霍耳效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，寬1.0cm，長(zhǎng)4.0cm，厚的導(dǎo)體，沿長(zhǎng)度方向載有3.0A的電流，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.5T的磁場(chǎng)垂直地通過(guò)該薄導(dǎo)體時(shí)，產(chǎn)生的橫向霍耳電壓（在寬度兩端），試由這些數(shù)據(jù)求（1）載流子的漂移速度；（2）每立方厘米的載流子數(shù)目；（3）假設(shè)載流子是電子，試就一給定的電流和磁場(chǎng)方向在圖上畫(huà)出霍耳電壓的極性。分析：帶電粒子在均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。利用霍耳效應(yīng)相關(guān)公式求解。解：（1）載流子的漂移速度（2）每立方厘米的載流子數(shù)目因?yàn)殡娏髅芏龋核暂d流子密度（3）略11-24某瞬間a點(diǎn)有一質(zhì)子A以沿題11-24圖中所示方向運(yùn)動(dòng)。相距遠(yuǎn)處的b點(diǎn)有另一質(zhì)子B以沿圖示方向運(yùn)動(dòng)。在同一平面內(nèi)，求質(zhì)子B所受的洛倫茲力的大小和方向。分析：當(dāng)考察兩運(yùn)動(dòng)電荷的相互作用時(shí)，可從運(yùn)動(dòng)電荷B在運(yùn)動(dòng)電荷A形成的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)著手，求得所受磁力的大小和方向。解：質(zhì)子A以運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)a點(diǎn)的瞬間在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為，方向垂直紙面向外。質(zhì)子B以運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)過(guò)b的同一瞬間受洛倫茲力為方向垂直和組成的平面。11-25如題11-25圖所示，在長(zhǎng)直導(dǎo)線旁有一矩形線圈，導(dǎo)線中通有電流，線圈中通有電流。求矩形線圈上受到的合力是多少？已知。分析：應(yīng)用安培力公式求解載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中所受的安培力。上下兩邊受力大小相等，方向相反，互相抵消。左右兩邊在不同大小的均勻磁場(chǎng)中。注意利用右手定則來(lái)判斷安培力方向。解：根據(jù)安培力公式:可知矩形線圈上下兩邊受力大小相等，方向相反，互相抵消，左右兩邊受力大小不等，方向相反，且左邊受力較大。矩形線圈受合力為題11-26圖題11-25圖題11-26圖題11-25圖題11-24圖題11-24圖11-26在長(zhǎng)直電流旁有一等腰梯形載流線框ABCD，通有電流，已知BC，AD邊的傾斜角為。如題11-26圖所示，AB邊與平行，AB距為，梯形高b，上、下底分別為c，d長(zhǎng)。試求此梯形線框所受的作用力的大小和方向。分析：本題求載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中所受安培力，BC和AD兩邊受力的大小隨位置改變而改變，方向也不在同一直線上，通常采用力的正交分解再合成的辦法求解。解：由安培力公式得,方向向左。,方向向右。而B(niǎo)C和AD各電流元受力的大小隨位置在改變，方向也不相同。同理得分別將和分解成與AB平行與垂直的分量；顯然，二者平行于AB的分量大小相等方向相反而互相抵消，而垂直于AB的分量其方向與相同。故整個(gè)梯形載流線圈受力11-27載有電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線AB旁有一同平面的導(dǎo)線ab，ab長(zhǎng)為9cm，通以電流。求當(dāng)ab垂直AB，a與垂足O點(diǎn)的距離為1cm時(shí)，導(dǎo)線ab所受的力，以及對(duì)O點(diǎn)的力矩的大小。分析：本題中各電流元受安培力方向相同，而大小隨位置變化（B隨位置變化）而變化，故需通過(guò)積分求解合力。各電流元受磁力矩方向也相同,大小也隨位置變化而變化，導(dǎo)線對(duì)O點(diǎn)的磁力矩也需通過(guò)積分求解。O1cm題11-27圖baBO1cm題11-27圖baBA對(duì)O點(diǎn)力矩為11-28截面積為S，密度為的銅導(dǎo)線，被彎成正方形的三邊，可以繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如題11-28圖所示。導(dǎo)線放在方向?yàn)樨Q直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線中的電流為時(shí)，導(dǎo)線離開(kāi)原來(lái)的豎直位置偏轉(zhuǎn)一角度為而平衡，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。如。磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？分析：載流線框繞轉(zhuǎn)動(dòng)，由于沒(méi)有平動(dòng)只有轉(zhuǎn)動(dòng)，僅需考慮線框?qū)S力矩的平衡，而不需考慮力的平衡。即。磁力矩可用閉合線框受到磁力矩求解。解：設(shè)正方形各邊長(zhǎng)度為，質(zhì)量為，平衡時(shí)重力對(duì)軸的力矩載流線框受到磁力矩既可用整個(gè)線框受到磁力矩，也可用各導(dǎo)線段受力對(duì)軸的合力矩（因?yàn)榇藭r(shí)以一條邊為轉(zhuǎn)軸），即，其大小為題11-28圖題11-28圖平衡時(shí)有，即11-29與水平成角的斜面上放一木制圓柱，圓柱的質(zhì)量為0.25kg，半徑為R，長(zhǎng)為0.1m.在這圓柱上，順著圓柱纏繞10匝的導(dǎo)線，而這個(gè)圓柱體的軸線位于導(dǎo)線回路的平面內(nèi)，如題11-29圖所示.斜面處于均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為0.5T，其方向沿豎直朝上.如果繞線的平面與斜面平行，問(wèn)通過(guò)回路的電流至少要有多大，圓柱體才不致沿斜面向下滾動(dòng)？題11-29圖分析：本題屬力電綜合題。一方面，圓柱體受重力矩作用要沿斜面向下滾動(dòng)；另一方面，處于圓柱體軸線平面內(nèi)的載流線圈（線圈不產(chǎn)生重力矩）要受磁力矩作用而阻止圓柱體向下滾動(dòng)。當(dāng)時(shí)，圓柱體保持平衡不再滾動(dòng)。題11-29圖解：假設(shè)摩擦力足夠大，圓柱體只有滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)。圓柱體繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)受到的重力矩。線圈受到的磁力矩.當(dāng)時(shí)圓柱不下滾.得11-30一個(gè)繞有N匝的圓線圈，半徑為，載有電流。試問(wèn)：為了把這個(gè)線圈在外磁場(chǎng)中由θ等于零的位置，旋轉(zhuǎn)到θ等于90°的位置，需對(duì)線圈作多少功？θ是線圈的面法線與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的夾角。假設(shè)分析：此題為磁力作功公式的應(yīng)用。解：磁力作功為所以：外力需對(duì)線圈作多少功11-31一半圓形閉合線圈半徑通過(guò)電流放在均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與線圈面平行，如題11-31圖所示，求（1）線圈所受力矩的大小和方向；（2）若此線圈受力矩的作用轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場(chǎng)垂直的位置，則力矩作功多少？分析：閉合線圈所受的磁力矩可以運(yùn)用磁力矩與磁矩關(guān)系表達(dá)式求出。運(yùn)用磁力做功表達(dá)式求出磁力矩做功。解：（1）線圈受磁力矩，題11-31圖所以題11-31圖（2）此時(shí)磁力作功第十二章12－1圖示為三種不同的磁介質(zhì)的B~H關(guān)系曲線，其中虛線表示的是B=μ0H的關(guān)系．說(shuō)明a、b、c各代表哪一類(lèi)磁介質(zhì)的B~H關(guān)系曲線？答：因?yàn)轫槾刨|(zhì)＞1，抗磁質(zhì)＜1，鐵磁質(zhì)>1，B=μ0H。所以a代表鐵磁質(zhì)的B~H關(guān)系曲線．b代表順磁質(zhì)的B~H關(guān)系曲線．c代表抗磁質(zhì)的B~H關(guān)系曲線．HHabcBO題圖12－112－2螺繞環(huán)中心周長(zhǎng)，環(huán)上線圈匝數(shù)N=200匝，線圈中通有電流。（1）求管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）若管內(nèi)充滿相對(duì)磁導(dǎo)率的磁性物質(zhì)，則管內(nèi)的和是多少？（3）磁性物質(zhì)內(nèi)由導(dǎo)線中電流產(chǎn)生的和由磁化電流產(chǎn)生的各是多少？分析：電流對(duì)稱(chēng)分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。且,。解：（1）管內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度（2）管內(nèi)充滿磁介質(zhì)后（3）磁介質(zhì)內(nèi)由導(dǎo)線中電流產(chǎn)生的則12－3一鐵制的螺繞環(huán)，其平均圓周長(zhǎng)為30cm，截面積為1cm2，在環(huán)上均勻繞以300匝導(dǎo)線，當(dāng)線圈內(nèi)的電流為0.032A時(shí)，環(huán)內(nèi)的磁通量為.試計(jì)算（1）環(huán)內(nèi)的磁通量密度；（2）環(huán)圓截面中心的磁場(chǎng)強(qiáng)度；（3）磁化面電流；（4）環(huán)內(nèi)材料的磁導(dǎo)率、相對(duì)磁導(dǎo)率及磁化率；（5）環(huán)芯內(nèi)的磁化強(qiáng)度.分析：可應(yīng)用介質(zhì)中安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)強(qiáng)度。由磁場(chǎng)強(qiáng)度定義式和求解磁化面電流和磁化強(qiáng)度。由和相對(duì)磁導(dǎo)率及磁化率定義求解解：（1）環(huán)內(nèi)磁通密度。（2）電流對(duì)稱(chēng)分布，可應(yīng)用介質(zhì)中安培環(huán)路定理求解，取以螺繞環(huán)中心同心的圓?。ㄔ诼堇@環(huán)截面內(nèi)）為積分路徑，則有即，。（3）由磁場(chǎng)強(qiáng)度定義和，得磁化面電流線密度(由比較得)。而磁化面電流：（4）（5）12－4在螺繞環(huán)的導(dǎo)線內(nèi)通有電流20A，環(huán)上所繞線圈共400匝，環(huán)的平均周長(zhǎng)是40cm，利用沖擊電流計(jì)測(cè)得環(huán)內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度是1.0T。計(jì)算環(huán)的截面中心處的（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）磁化強(qiáng)度；（3）相對(duì)磁導(dǎo)率。分析：運(yùn)用介質(zhì)中安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)強(qiáng)度；磁場(chǎng)強(qiáng)度定義求解磁化強(qiáng)度。由求磁化面電流。解：（1）由介質(zhì)中安培環(huán)路定理可求得（2）磁化強(qiáng)度大小為（3）磁化面電流相對(duì)磁導(dǎo)率。12－5如題12-5圖所示，一同軸長(zhǎng)電纜由兩導(dǎo)體組成，內(nèi)層是半徑為的圓柱形導(dǎo)體，外層是內(nèi)、外半徑分別為和的圓筒，兩導(dǎo)體上電流等值反向，均勻分布在橫截面上，導(dǎo)體磁導(dǎo)率均為，兩導(dǎo)體中間充滿不導(dǎo)電的磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，求各區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。分析：應(yīng)用介質(zhì)中安培環(huán)路定理求解。解：由于電流對(duì)稱(chēng)分布，場(chǎng)也對(duì)稱(chēng)分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。如圖以軸線上一點(diǎn)為圓心，r為半徑作一安培環(huán)路，環(huán)路所在平面垂直于電流方向，且與導(dǎo)體中電流方向成右手螺旋關(guān)系。（1）當(dāng)時(shí)，由,得：（2）當(dāng)時(shí)，由,得（3）當(dāng)時(shí)，由,得：（4）當(dāng)時(shí)，題12-5圖題12-5圖第十三章習(xí)題圖13-1題圖13-213-1如題圖13-1所示，兩條平行長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)矩形導(dǎo)線框共面，且導(dǎo)線框的一個(gè)邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行，到兩長(zhǎng)直導(dǎo)線的距離分別為r1，r2。已知兩導(dǎo)線中電流都為，其中I0和為常數(shù)，t為時(shí)間。導(dǎo)線框長(zhǎng)為a寬為b，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。題圖13-1題圖13-2分析：當(dāng)導(dǎo)線中電流I隨時(shí)間變化時(shí)，穿過(guò)矩形線圈的磁通量也將隨時(shí)間發(fā)生變化，用法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其中磁通量，B為兩導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加。解：無(wú)限長(zhǎng)直電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在矩形導(dǎo)線框的左邊框上，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?。取回路的繞行正方向?yàn)轫槙r(shí)針。由場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可得x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小通過(guò)微分面積的磁通量為通過(guò)矩形線圈的磁通量為感生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)轫槙r(shí)針；時(shí)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針。13-2如題圖13-2所示，有一半徑為r=10cm的多匝圓形線圈，匝數(shù)N=100，置于均勻磁場(chǎng)中（B=0.5T）。圓形線圈可繞通過(guò)圓心的軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=600rev/min。求圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，(1)線圈中的瞬時(shí)電流值（線圈的電阻為R=100，不計(jì)自感）；(2)感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。應(yīng)用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求出感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：(1)圓形線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度rad/s。設(shè)t=0時(shí)圓形線圈處在圖示位置，取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈防@行的正方向。則t時(shí)刻通過(guò)該回路的全磁通電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)電流將圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，，代入已知數(shù)值得：(2)感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為的方向與均勻外磁場(chǎng)的方向垂直。題圖13-3題圖13-413-3均勻磁場(chǎng)被限制在半徑R=10cm的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如題圖13-3所示。設(shè)磁場(chǎng)以的勻速率增加，已知，，求等腰梯形回路abcd感生電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。題圖13-3題圖13-4分析：求整個(gè)回路中的電動(dòng)勢(shì)，采用法拉第電磁感應(yīng)定律，本題的關(guān)鍵是確定回路的磁通量。解：設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榈妊菪位芈防@行的正方向.則t時(shí)刻通過(guò)該回路的磁通量，其中S為等腰梯形abcd中存在磁場(chǎng)部分的面積，其值為電動(dòng)勢(shì)代入已知數(shù)值“–”說(shuō)明，電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針，即沿adcba繞向。用楞次定律也可直接判斷電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針繞向。13-4如題圖13-4所示，有一根長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有直流電流I，近旁有一個(gè)兩條對(duì)邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度v沿垂直于導(dǎo)線的方向離開(kāi)導(dǎo)線.設(shè)t=0時(shí)，線圈位于圖示位置,求：(1)在任意時(shí)刻t通過(guò)矩形線圈的磁通量；(2)在圖示位置時(shí)矩形線圈中的電動(dòng)勢(shì)。分析：線圈運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)線圈的磁通量改變，線圈中有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，求出t時(shí)刻穿過(guò)線圈的磁通量，再由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：(1)設(shè)線圈回路的繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針。由于載流長(zhǎng)直導(dǎo)線激發(fā)磁場(chǎng)為非均勻分布，。因此，必須由積分求得t時(shí)刻通過(guò)回路的磁通量。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在直導(dǎo)線的位置，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?，則在任意時(shí)刻t通過(guò)矩形線圈的磁通量為（2）在圖示位置時(shí)矩形圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)的方向沿順時(shí)針繞向。13-5如題圖13-5所示為水平面內(nèi)的兩條平行長(zhǎng)直裸導(dǎo)線LM與,其間距離為,其左端與電動(dòng)勢(shì)為的電源連接.勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于圖面向里，一段直裸導(dǎo)線ab橫嵌在平行導(dǎo)線間（并可保持在導(dǎo)線上做無(wú)摩擦地滑動(dòng)）,電路接通，由于磁場(chǎng)力的作用，ab從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)起來(lái)。求:(1)ab達(dá)到的最大速度;(2)ab到最大速度時(shí)通過(guò)電源的電流I。分析：本題是包含電磁感應(yīng)、磁場(chǎng)對(duì)電流的作用和全電路歐姆定律的綜合性問(wèn)題。當(dāng)接通電源后，ab中產(chǎn)生電流。該通電導(dǎo)線受安培力的作用而向右加速運(yùn)動(dòng)，由于ab向右運(yùn)動(dòng)使穿過(guò)回路的磁通量逐漸增加，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使回路中電流減小，當(dāng)回路中電流為零時(shí)，直導(dǎo)線ab不受安培力作用，此時(shí)ab達(dá)到最大速度。解：（1）電路接通，由于磁場(chǎng)力的作用,ab從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)起來(lái)。設(shè)ab運(yùn)動(dòng)的速度為v,則此時(shí)直導(dǎo)線ab所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，方向由b指向a.由全電路歐姆定理可得此時(shí)電路中的電流為ab達(dá)到的最大速度時(shí)，直導(dǎo)線ab不受到磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)。所以ab達(dá)到的最大速度為（2）ab達(dá)到的最大速度時(shí)，直導(dǎo)線ab不受到磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)通過(guò)電路的電流i=0。所以通過(guò)電源的電流也等于零。題圖13-5題圖13-613-6如題圖13-6所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬細(xì)桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，O1O2在離細(xì)桿a端L/5處。若已知均勻磁場(chǎng)平行于O1O2軸。求ab兩端間的電勢(shì)差Ua-Ub.分析：由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式先求出每段的電動(dòng)勢(shì)，再將ab的電動(dòng)勢(shì)看成是oa和ob二者電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，ab兩端的電勢(shì)差大小即為ab間的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小。求每段的電動(dòng)勢(shì)時(shí)，由于各處的運(yùn)動(dòng)速度不同，因此要將各段微分成線元，先由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式計(jì)算線元的兩端的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，再積分計(jì)算整段的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。解：設(shè)金屬細(xì)桿ab與豎直軸O1O2交于點(diǎn)O,將ab兩端間的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)看成ao與ob兩段動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的串聯(lián)。取ob方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在銅棒上取極小的一段線元，方向?yàn)閛b方向。線元運(yùn)動(dòng)的速度大小為。由于互相垂直。所以?xún)啥说膭?dòng)生電動(dòng)勢(shì)ob的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由b指向O。同理oa的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由a指向O。所以ab兩端間的的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由a指向了b；a端帶負(fù)電，b端帶正電。ab兩端間的電勢(shì)差b端電勢(shì)高于a端。題圖13-7題圖13-813-7如題圖13-7所示，導(dǎo)線L以角速度ω繞其端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)線L與電流I在共同的平面內(nèi)，O點(diǎn)到長(zhǎng)直電流I的距離為a,且a>L,求導(dǎo)線L在與水平方向成θ題圖13-7題圖13-8分析：載流長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)，導(dǎo)線L繞O旋轉(zhuǎn)切割磁力線。由于切割是不均勻的磁場(chǎng)，而且導(dǎo)體各處的運(yùn)動(dòng)速度不同，所以要微分運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線，先由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式計(jì)算線元的兩端的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，再積分計(jì)算整段的總動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。解：取OP方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在導(dǎo)線OP上某處取極小的一段線元,方向?yàn)镺P方向。線元運(yùn)動(dòng)的速度大小為。由于互相垂直。所以?xún)啥说膭?dòng)生電動(dòng)勢(shì)將載流長(zhǎng)直導(dǎo)線在該處激發(fā)磁場(chǎng)代入，積分得導(dǎo)線L在與水平方向線成θ角時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由P指向O。13-8如題圖13-8所示半徑為r的長(zhǎng)直密繞空心螺線管，單位長(zhǎng)度的繞線匝數(shù)為n,所加交變電流為I=I0sinωt。今在管的垂直平面上放置一半徑為2r,電阻為R的導(dǎo)線環(huán)，其圓心恰好在螺線管軸線上。（1）計(jì)算導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場(chǎng)E的值且說(shuō)明其方向；(2)計(jì)算導(dǎo)線上的感應(yīng)電流；(3)計(jì)算導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)M。分析：電流變化，螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)也變化，由磁場(chǎng)的柱對(duì)稱(chēng)性可知，由變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，感生電場(chǎng)線是一系列的同心圓。根據(jù)感生電場(chǎng)的環(huán)路定理，可求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度。由法拉第電磁感應(yīng)定律及歐姆定律求感應(yīng)電流，由互感系數(shù)定義式求互感系數(shù)。解：（1）以半徑為2r的導(dǎo)線環(huán)為閉合回路L，取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，自上向下看為逆時(shí)針?lè)较?。由于長(zhǎng)直螺線管只在管內(nèi)產(chǎn)生均勻磁場(chǎng)，導(dǎo)線環(huán)上某點(diǎn)渦旋電場(chǎng)E方向沿導(dǎo)線環(huán)的切向。所以由規(guī)律可得導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場(chǎng)E的值為若cosωt>0,E電場(chǎng)線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相反，自上向下看為順時(shí)針?lè)较?；若cosωt<0,E電場(chǎng)線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相同，自上向下看為逆時(shí)針?lè)较颉?2)導(dǎo)線上的感應(yīng)電流(3)導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)為13-9電子感應(yīng)加速器中的磁場(chǎng)在直徑為0.50m的圓柱形區(qū)域內(nèi)是勻強(qiáng)的，若磁場(chǎng)的變化率為1.0×10-2T/S。試計(jì)算離開(kāi)中心距離為0.10m、0.50m、1.0m處各點(diǎn)的感生電場(chǎng)。分析：由磁場(chǎng)的柱對(duì)稱(chēng)性可知，變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)分布也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，即感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一系列以圓柱體中心為軸的同心圓。根據(jù)可求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度。解：以圓柱形的區(qū)域的中心到各點(diǎn)的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，為順時(shí)針?lè)较?。由于回路上各點(diǎn)處的感生電場(chǎng)E沿L的切線方向。所以由規(guī)律可得得式中“-”說(shuō)明：若，E的實(shí)際方向與假定方向相反，否則為一致。r=0.10m時(shí),r<R,r=0.50m時(shí),r>R,r=1.10m時(shí),r>R,13-10如題圖13-10所示，一個(gè)限定在半徑為R的圓柱體內(nèi)的均勻磁場(chǎng)B以10-2T/s的恒定變化率減小。電子在磁場(chǎng)中A、O、C各點(diǎn)處時(shí)，它所獲得的瞬時(shí)加速度（大小、方向）各為若干？設(shè)r=5.0cm。分析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，由感生電場(chǎng)的環(huán)路定理求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度，由感生電場(chǎng)力及牛頓第二定律求出瞬時(shí)加速度。題圖13-10題圖13-11解：以圓柱形區(qū)域的中心到各點(diǎn)的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，由于回路上各點(diǎn)處的感生電場(chǎng)E沿L的切線方向。所以由規(guī)律可得題圖13-10題圖13-11(r<R)得。由于圓柱體內(nèi)的均勻磁場(chǎng)B以10-2T/s的恒定變化率減小.所以，E的實(shí)際方向與假定方向一致，為順時(shí)針?lè)较虻那芯€方向。電子受到的電場(chǎng)力為,其方向?yàn)槟鏁r(shí)針的切線方向。瞬時(shí)加速度的大小為：由于rA=0.05m,所以A處的瞬時(shí)加速度的大小為：，方向?yàn)樗较蛴遥挥捎趓C=0.05m,所以C處的瞬時(shí)加速度的大小為：，方向?yàn)樗较蜃?；由于rO=0,所以O(shè)處的瞬時(shí)加速度：13-11真空中的矩形截面的螺線環(huán)的總匝數(shù)為N，其它尺寸如題圖13-11所示，求它的自感系數(shù)。分析：自感系數(shù)一般可由計(jì)算，可見(jiàn)計(jì)算自感系數(shù)關(guān)鍵是確定穿過(guò)自感線圈的磁通量。假設(shè)螺線管通有電流，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，再求出磁通量、磁通鏈，即可求出自感系數(shù)。解：設(shè)螺繞管通有電流I，由安培環(huán)路定理可得管內(nèi)距軸線r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為,通過(guò)某一截面的磁通量螺繞管的磁通鏈自感系數(shù)：13-12設(shè)一同軸電纜由半徑分別為1和的兩個(gè)同軸薄壁長(zhǎng)直圓筒組成，電流由內(nèi)筒流入，由外筒流出，如題圖13-12所示。兩筒間介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率，求同軸電纜題圖13-12題圖13-13(1)題圖13-12題圖13-13分析：先求磁場(chǎng)、磁通量，由自感系數(shù)定義式求自感系數(shù)，再由自感磁能表達(dá)式求磁能。解：（1）電流由內(nèi)筒流入，由外筒流出時(shí)，在內(nèi)外筒之間產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B=（見(jiàn)11-19）。通過(guò)內(nèi)外筒之間單位長(zhǎng)度截面的磁通量為（2）單位長(zhǎng)度內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能13-13一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通以電流I=I0sint，和直導(dǎo)線在同一平面內(nèi)有一矩形線框，其短邊與直導(dǎo)線平行，線框的尺寸及位置如題圖13-13所示，且b/c=3。求：(1)直導(dǎo)線和線框的互感系數(shù)；(2)線框中的互感電動(dòng)勢(shì)。分析：互感系數(shù)由計(jì)算，計(jì)算互感系數(shù)關(guān)鍵是確定穿過(guò)互感線圈的磁通量。解：(1)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)。取矩形線框的正法線方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?，通過(guò)矩形線框的磁通量為∴（2）線框中的互感電動(dòng)勢(shì)為正時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的方向沿順時(shí)針繞向；為負(fù)時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的方向沿逆時(shí)針繞向。13-14一圓環(huán)，環(huán)管橫截面的半徑為a，中心線的半徑為R()。有兩個(gè)彼此絕緣的導(dǎo)線圈都均勻地密繞在環(huán)上，一個(gè)N1匝，另一個(gè)N2匝，求：（1）兩線圈的自感L1和L2；（2）兩線圈的互感M；（3）M與L1和L2的關(guān)系。分析：由于，環(huán)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度可視為均勻。設(shè)兩個(gè)線圈通有電流、，求出穿過(guò)螺線管線圈的磁通鏈數(shù)，進(jìn)而求出自感、互感系數(shù)。解：（1）設(shè)N1匝螺繞管線圈中通有電流I1，由于中心線的半徑環(huán)管橫截面的半徑a，所以螺繞管內(nèi)的磁場(chǎng)，通過(guò)螺繞管線圈的磁通鏈數(shù)為N1匝螺繞管線圈自感系數(shù)：同理，N2匝螺繞管線圈自感系數(shù)：（2）N1匝螺繞管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1，通過(guò)N2匝螺繞管線圈的磁通鏈數(shù)為兩線圈的互感（3）M與L1和L2的關(guān)系13-15一圓柱體長(zhǎng)直導(dǎo)線，均勻地通有電流I，證明導(dǎo)線內(nèi)部單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為（設(shè)導(dǎo)體的相對(duì)磁導(dǎo)率）。分析：均勻通有電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其內(nèi)部和外部均存在磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)分布呈軸對(duì)稱(chēng)性。據(jù)題意，只需求得單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能，因此根據(jù)磁能密度公式，求得體元內(nèi)的磁能，然后對(duì)圓柱內(nèi)部的磁能進(jìn)行積分即可。解：設(shè)圓柱形導(dǎo)體的半徑為R.由安培環(huán)路定律可得長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)的磁場(chǎng)r<R導(dǎo)線內(nèi)的磁能密度。在導(dǎo)線內(nèi)取單位長(zhǎng)度的同軸薄圓柱筒體元其磁能為單位長(zhǎng)度導(dǎo)體柱內(nèi)儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為13-16平行板電容器的電容為C=20.0μF，兩板上的電壓變化率為dU/dt=1.50×105V/s，則該平行板電容器中的位移電流為多少。分析：根據(jù)平行板電容器的性質(zhì)，平行板間為均勻電場(chǎng)，電位移D均勻分布，由平行板電容器場(chǎng)強(qiáng)與電壓關(guān)系式，求出電位移通量與電壓的關(guān)系，并求出位移電流。解：設(shè)平行板電容器的極板面積S、間距d，其間電位移通量為對(duì)平行板電容器，其電容為，代入上式得。位移電流為13-17一平行板電容器，極板是半徑為R的兩圓形金屬板，極板間為空氣，此電容器與交變電源相接，極板上電量隨時(shí)間變化的關(guān)系為q=q0sinωt(ω為常量)，忽略邊緣效應(yīng)，求：（1）電容器極板間位移電流及位移電流密度；（2）極板間離中心軸線距離為r(r<R)處的b點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H的大??；（3）當(dāng)時(shí)，b點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度（即電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度之和）。分析：根據(jù)電流的連續(xù)性，電容器極板間位移電流等于傳導(dǎo)電流求解位移電流。忽略邊緣效應(yīng)，極板間位移電流均勻分布求解位移電流密度。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理求出磁場(chǎng)強(qiáng)度極板間的磁場(chǎng)強(qiáng)度。由極板間電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度可求得電磁場(chǎng)能量密度。解：（1）電容器極板間位移電流?；蛴呻娏鬟B續(xù)性得：位移電流密度（2）以中心軸線為圓心，過(guò)b點(diǎn)作一半徑為r(r<R)的圓為回路，由全電流安培環(huán)路定理，有。解得(3)時(shí)，b點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度13-18由一個(gè)電容C=4.0μF的電容器和一個(gè)自感為L(zhǎng)=10mH的線圈組成的LC電路，當(dāng)電容器上電荷的最大值Q=6.0×10－5C時(shí)開(kāi)始作無(wú)阻尼自由振蕩。試求（1）電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的最大值；（2）當(dāng)電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量相等時(shí)，電容器上的電荷量。分析：由電容器儲(chǔ)能，自感磁能，求電場(chǎng)能量，磁場(chǎng)能量。解：（1）由初始條件可知，電磁振蕩的初相位.所以電容器上的電量振蕩表達(dá)式為自感線圈上的電流振蕩表達(dá)式為系統(tǒng)固有振動(dòng)角頻率由于電場(chǎng)能量為，所以電場(chǎng)能量的最大值為由于磁場(chǎng)能量為，所以磁場(chǎng)能量最大值為電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的最大值相同，都與系統(tǒng)總能量相等。(2)電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量相等時(shí)，。解得所以電容器上的電荷量為13-19一個(gè)沿負(fù)z方向傳播的平面電磁波，其電場(chǎng)強(qiáng)度沿x方向，傳播速度為c。在空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為試求在同一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式，并用圖表示電場(chǎng)強(qiáng)度和傳播速度之間相互關(guān)系。分析：根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的定量關(guān)系可得該點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。題13-19解圖解：由于平面電磁波沿負(fù)z方向傳播，某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的振動(dòng)方向沿x軸正方向，根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和傳播方向三者滿足右旋關(guān)系，則該點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的振動(dòng)方向沿負(fù)y軸方向。由此，根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的定量關(guān)系式可得該點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度表示式為題13-19解圖用坡印廷矢量S的方向表示電磁波的傳播方向。電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和電磁波的傳播方向（坡印廷矢量）三者滿足關(guān)系。第十四章14-1.如題圖14－1所示，一束平行光線以入射角射入折射率為，置于空氣中的透明圓柱棒的端面．試求光線在圓柱棒內(nèi)發(fā)生全反射時(shí)，折射率應(yīng)滿足的條件．分析：一次折射，一次反射；利用端面折射角與內(nèi)側(cè)面入射角互余及全反射條件即可求解。解：設(shè)光線在圓柱棒端面的折射角為，在內(nèi)側(cè)面的入射角為，根據(jù)折射定律，有光線在界面上發(fā)生全反射的條件為發(fā)生全反射時(shí)，必須滿足14-2.遠(yuǎn)處有一物點(diǎn)發(fā)出的平行光束，投射到一個(gè)空氣中的實(shí)心玻璃球上．設(shè)玻璃的折射率為，球的半徑為．求像的位置．分析：利用逐步成像法，對(duì)玻璃球的前后兩個(gè)球面逐一成像，即可求得最后像的位置．用高斯成像公式時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)球面的頂點(diǎn)位置是不同的．．解：或用對(duì)玻璃球前表面所成的像，對(duì)后表面而言是物，所以或用像在球的右側(cè)，離球的右邊2cm處．14-3.如題圖14－3所示的一凹球面鏡，曲率半徑為40cm，一小物體放在離鏡面頂點(diǎn)10cm處．試作圖表示像的位置、虛實(shí)和正倒，并計(jì)算出像的位置和垂軸放大率．分析：利用凹面鏡的半徑可確定焦距，以知物距，由球面鏡的物像公式和橫向放大率公式可求解。解：像的位置如圖所示，為正立、放大的虛像．14-4.高為的物體，在焦距的薄透鏡左側(cè)，置于的位置。試用作圖法表示像的位置，實(shí)、虛，放大還是縮小，正立還是倒立．并用文字指明．分析：，利用過(guò)凸透鏡光心的光線方向不變，平行主光軸的入射光線折射后過(guò)像方焦點(diǎn)畫(huà)圖。解：成像光線如題14-4解圖所示，所成之像是：放大、正立的虛像．14-5．高為的物體，在焦距的薄透鏡左側(cè)，放置在的位置，試用作圖法表示像的位置，實(shí)、虛，放大還是縮小，正立還是倒立。并用文字指明．分析：，利用過(guò)凹透鏡光心的光線方向不變，平行主光軸的入射光線折射后的反向延長(zhǎng)線過(guò)像方焦點(diǎn)。解：成像光線如題14-5解圖所示．所成之像是：縮小、正立的虛像．14-6.一豎立玻璃板的折射率為1.5，厚度為10cm，觀察者在玻璃板后10cm處，沿板的法線方向觀察置于同一法線上10cm處的一個(gè)小物體時(shí)，它距離觀察者有多遠(yuǎn)？分析：兩次平面折射。