高三一輪復習學案組編：審核：姓名：學號：日期：第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【考綱下載】1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3．理解必要條件、充分條件與充要條件的含義．【知識梳理】1．命題在數(shù)學中，可以判斷真假的用文字或符號表達的語句叫作命題．其中判斷為真的語句叫作真命題，判斷為假的語句叫作假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充分條件、必要條件與充要條件前提：條件為p，結(jié)論為q.定義：(1)若p?q，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，稱p是q的充要條件，q也是p的充要條件．(3)若p?/q，且q?/p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【牛刀小試】1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是()A．“若x＜y，則x2＜y2”B．“若x＞y，則x2＞yC．“若x≤y，則x2≤y2”D．“若x≥y，則x2≥y3．命題“如果b2－4ac＞0，則方程ax2＋bx＋c＝0(aA．0B．1C．24．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)5．下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)＞b＋1B．a(chǎn)＞b－1C．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)3＞【熱點題型】考點一、四種命題的關(guān)系[例1](1)命題“若x＞1，則x＞0”的否命題是()A．若x＞1，則x≤0B．若x≤1，則x＞0C．若x≤1，則x≤0D．若x＜1，則x＜0(2)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)【互動探究】試寫出本例(2)中命題的逆命題和否命題，并判斷其真假性．1．命題p：“若a≥b，則a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命題是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，則a≤b2．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題B．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題．考點二、命題的真假判斷[例2](1)下列命題是真命題的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x＜y，則x2＜y2(2)(2014·濟南模擬)在空間中，給出下列四個命題：①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；②若平面外兩點到平面的距離相等，則過這兩點的直線必平行于該平面；③兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影必為相交直線；④兩個相互垂直的平面，一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④給出下列命題：①函數(shù)y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函數(shù)；②已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列；③若函數(shù)f(x)的定義域是R，且滿足f(x)＋f(x＋2)＝3，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；④過兩條異面直線外一點能作且只能作出一條直線和這兩條異面直線同時相交．其中所有正確的命題有________(填正確命題的序號)．考點三、充要條件[例3](1)(北京高考)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2012·四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|（3）隨堂練習：1．“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根”，其否命題是(A．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋cB．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋cC．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋cD．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋c2．f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)＝f(x)＋g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．(延安模擬)與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是()A．若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠acB．若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠acC．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列D．若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列4．設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．(南昌模擬)下列選項中正確的是()A．若x＞0且x≠1，則lnx＋eq\f(1,lnx)≥2B．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件C．命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定為“所有素數(shù)都是偶數(shù)”D．若命題p為真命題，則其否命題為假命題6．已知p：eq\r(2x－1)≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．答案：1．(福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A當a＝3時，A＝{1,3}，A?B；反之，當A?B時，a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要條件．2．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是()A．“若x＜y，則x2＜y2”B．“若x＞y，則x2＞yC．“若x≤y，則x2≤y2”D．“若x≥y，則x2≥y解析：選C根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”3．(教材習題改編)命題“如果b2－4ac＞0，則方程ax2＋bx＋c＝0(aA．0B．1C．2解析：選D原命題為真，則它的逆否命題為真，逆命題為“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實根，則b2－4ac＞0”4．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是()A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)解析：選B原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是B選項．5．下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)＞b＋1B．a(chǎn)＞b－1C．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)3＞解析：選A由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.考點一四種命題的關(guān)系[例1](1)命題“若x＞1，則x＞0”的否命題是()A．若x＞1，則x≤0B．若x≤1，則x＞0C．若x≤1，則x≤0D．若x＜1，則x＜0(2)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)[自主解答](1)因為“x＞1”的否定為“x≤1”，“x＞0”的否定為“x≤0”，所以命題“若x＞1，則x＞0”的否命題為：“若x≤1，則x≤0”．(2)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”．[答案](1)C(2)C【互動探究】試寫出本例(2)中命題的逆命題和否命題，并判斷其真假性．解：逆命題：若x＋y是偶數(shù)，則x，y都是偶數(shù)．是假命題．否命題：若x，y不都是偶數(shù)，則x＋y不是偶數(shù)．是假命題．【方法規(guī)律】判斷四種命題間關(guān)系的方法(1)由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命題．(2)原命題和逆否命題、逆命題和否命題有相同的真假性，解題時注意靈活應用．1．命題p：“若a≥b，則a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命題是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，則a≤b解析：選C“且”的否定是“或”，根據(jù)逆否命題的定義知，逆否命題為“若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜b”．2．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題B．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題解析：選AA中逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”是真命題；B中否命題為“若x≤1，則x2≤1”是假命題；C中否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”是假命題；D中原命題是假命題，從而其逆否命題也為假命題．考點二命題的真假判斷[例2](1)下列命題是真命題的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x＜y，則x2＜y2(2)(2014·濟南模擬)在空間中，給出下列四個命題：①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；②若平面外兩點到平面的距離相等，則過這兩點的直線必平行于該平面；③兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影必為相交直線；④兩個相互垂直的平面，一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[自主解答](1)取x＝－1排除B；取x＝y(tǒng)＝－1排除C；取x＝－2，y＝－1排除D，故選A.(2)對于①，由線面垂直的判定可知①正確；對于②，若點在平面的兩側(cè)，則過這兩點的直線可能與該平面相交，故②錯誤；對于③，兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影可以為一條直線，故③錯誤；對于④，兩個相互垂直的平面，一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條與交線垂直的直線，故④正確．綜上可知，選D.[答案](1)A(2)D【方法規(guī)律】命題的真假判斷方法(1)給出一個命題，要判斷它是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可．(2)由于原命題與其逆否命題為等價命題，有時可以利用這種等價性間接地證明命題的真假．給出下列命題：①函數(shù)y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函數(shù)；②已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列；③若函數(shù)f(x)的定義域是R，且滿足f(x)＋f(x＋2)＝3，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；④過兩條異面直線外一點能作且只能作出一條直線和這兩條異面直線同時相交．其中所有正確的命題有________(填正確命題的序號)．解析：①當k＝eq\f(1,2)時，y＝sin(x＋kπ)就是偶函數(shù)，故①錯；②當a＝1時，Sn＝0，則an的各項都為零，不是等比數(shù)列，故②錯；③由f(x)＋f(x＋2)＝3，則f(x＋2)＋f(x＋4)＝3，相減得f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，③正確；④過兩條異面直線外一點，有時沒有一條直線能與兩條異面直線都相交，故④錯．綜上所述，正確的命題只有③.答案：③高頻考點考點三充要條件1．充分條件、必要條件是每年高考的必考內(nèi)容，多以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于容易題．2．高考對充要條件的考查主要有以下三個命題角度：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件；(3)與命題的真假性相交匯命題．[例3](1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2012·四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|(3)給出下列命題：①“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；②“a＝2”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件；③“m＝3”是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要條件；④設(shè)a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，則“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分條件．其中真命題的序號是________．[自主解答](1)當φ＝π時，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，則曲線y＝－sin2x過坐標原點，所以“φ＝π”?“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”；當φ＝2π時，y＝sin(2x＋2π)＝sin2x，則曲線y＝sin2x過坐標原點，所以“φ＝π”?/“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”，所以“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的充分而不必要條件．(2)eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分別是與a，b同方向的單位向量，由eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，得a與b的方向相同．而a∥b時，a與b的方向還可能相反．故選C.(3)對于①，當數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，易知數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，但當數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列時，數(shù)列{an}未必是等比數(shù)列，如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列，而相應的數(shù)列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列，因此①正確；對于②，當a≤2時，函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，因此②不正確；對于③，當m＝3時，相應的兩條直線互相垂直，反之，這兩條直線垂直時，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正確；對于④，由題意得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(3)，若B＝60°，則sinA＝eq\f(1,2)，注意到b＞a，故A＝30°，反之，當A＝30°時，有sinB＝eq\f(\r(3),2)，由于b＞a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正確．綜上所述，真命題的序號是①④.[答案](1)A(2)C(3)①④4、4、1．“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋cA．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋cB．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋cC．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋cD．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋c解析：選C由原命題與否命題的關(guān)系可知，“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根”的否命題是“若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋2．f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)＝f(x)＋g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：選B因為f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，可推出h(x)為偶函數(shù)，反之，則不成立．3．(2014·延安模擬)與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是()A．若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠acB．若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠acC．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列D．若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列6、解析：選D因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”．6、4．設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”的充要條件是p：0＜a＜1.因為g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是2－a＞0，即a＜2.又因為a＞0且a≠1，所以“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是q：0＜a＜2且a≠1.顯然p?q，但q?/p，所以p是q的充分不必要條件，即“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件．5．(2014·南昌模擬)下列選項中正確的是()A．若x＞0且x≠1，則lnx＋eq\f(1,lnx)≥2B．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件C．命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定為“所有素數(shù)都是偶數(shù)”D．若命題p為真命題，則其否命題為假命題解析：選B當0＜x＜1時，lnx＜0，此時lnx＋eq\f(1,lnx)≤－2，A錯；當|an＋1|＞an時，{an}不一定是遞增數(shù)列，但若{an}是遞增數(shù)列，則必有an＜an＋1≤|an＋1|，B對；全稱命題的否定為特稱命題，C錯；若命題p為真命題，其否命題可能為真命題，也可能為假命題，D錯．6．已知p：eq\r(2x－1)≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\