第2節(jié)一元二次不等式及其解法考綱展示1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程,會解一元二次不等式.2.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)備選例題積累必備知識知識梳理1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像{x|x<x1或x>x2}R{x|x1<x<x2}2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解過程用程序框圖表示為3.分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系(x-a)(x-b)>0基礎(chǔ)自測1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0,且Δ=b2-4ac≤0.(

)×√××C2.(教材改編題)不等式x2+2x-3>0的解集為(

)A.{x|-3<x<1} B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-3或x>1} D.{x|x<-1或x>3}解析:根據(jù)題意,方程x2+2x-3=0有兩個根,即-3和1,則x2+2x-3>0的解集為{x|x<-3或x>1}.故選C.C答案:-145.已知不等式x2-2x+k2-1>0對一切實數(shù)x恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為

.

考點一一元二次不等式的解法提升關(guān)鍵能力角度一不含參的不等式的解法[例1]解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;[例1]解下列不等式:(2)0<x2-x-2≤4;[例1]解下列不等式:反思歸納(1)解一元二次不等式的一般步驟一化:把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.二判:計算對應(yīng)方程的判別式.三求:求出對應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根.四寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.答案:(1)(1,2)答案:(2)(-1,0)∪(1,+∞)角度二含參的不等式的解法[例2]解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).反思歸納解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時,討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.提醒:(1)當(dāng)不等式中二次項的系數(shù)含有參數(shù)時,不要忘記討論其等于0的情況.(2)含參數(shù)討論問題最后要綜上所述.[對點訓(xùn)練2]解關(guān)于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).解:原不等式可化為ax2+(a-2)x-2≥0.①當(dāng)a=0時,原不等式可化為x+1≤0,解得x≤-1.考點二一元二次不等式恒成立問題角度一在R上的恒成立問題[例3](2021·云南玉溪高三三模)對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|-2<a<2} D.{a|-2<a≤2}反思歸納一元二次不等式恒成立問題的求解策略[對點訓(xùn)練3]設(shè)a為常數(shù),對于?x∈R,ax2+ax+1>0,則a的取值范圍是(

)A.(0,4) B.[0,4)C.(0,+∞) D.(-∞,4)角度二在給定區(qū)間上的恒成立問題[例4]設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.反思歸納一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)f(x)的值域為[m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.角度三給定參數(shù)范圍的恒成立問題[例5]若mx2-mx-1<0對于m∈[1,2]恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.反思歸納一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x范圍的方法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元,誰是參數(shù).一般情況下,知道誰的范圍,就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.[對點訓(xùn)練5](2021·江西宜春高三三模)對任意a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,則實數(shù)x的取值范圍是(

)A.1<x<3 B.x<1或x>3C.1<x<2 D.x<1或x>2考點三一元二次不等式的實際應(yīng)用(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求最大利潤.反思歸納求解不等式應(yīng)用題的四個步驟(1)閱讀理解,認真審題,把握問題中的關(guān)鍵量,找準(zhǔn)不等關(guān)系.(2)引進數(shù)學(xué)符號,將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言,用不等式表示不等關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解不等式,得出數(shù)學(xué)結(jié)論,要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實際意義.(4)回歸實際問題,將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果.[對點訓(xùn)練6]某汽車制造廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x,同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;解:(1)由題意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).[對點訓(xùn)練6]某汽車制造廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x,同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x,已