中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,0]B(3,OXC(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點M是線段BC上的點(不與B,C重合)，過M作MNliy軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m,

請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使YNC的面積最大？若存在，求m的值；若不

存在，說明理由.

2.如圖，拋物線打ax2-米-2(a#0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點

坐標為(4,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)試探究SBC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求AMBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標.

平行四邊形類

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A(3,01B(0,-3),點P是直線AB上

的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,設(shè)點P的橫坐標為t.

(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.

(2)若點P在第四象限，連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求AABM的面積.

(3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出

點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板,其頂點為A(0,1),B(2,0),0(0,0),將此三

角板繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AA'B'。.

(1)一拋物線經(jīng)過點A；B\B,求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P,使四邊形PB'A'B的面積是AA'B'O面積4

倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形PB'A'B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB'A'B的兩條性質(zhì).

5.如圖，拋物線y=x2-2x+c的頂點A在直線I:y=x-5±.

(1)求拋物線頂點A的坐標；

(2)設(shè)拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C、D(C點在D點的左側(cè))，試判斷^ABD的形狀;

(3)在直線I上是否存在一點P,使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

周長類

6.如圖，RtMBO的兩直角邊OA、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，0為坐標原點，A、B兩

點的坐標分別為(-3,01(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,且頂點在直線x=±.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把SB。沿x軸向右平移得到9CE,點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是

菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD,已知對稱軸上存在一點P使得WBD的周長最小，求出P點的坐標；

(4)在(21(3)的條件下，若點M是線段0B上的一個動點(點M與點0、B不重合)，過點M作II

BD交x軸于點N,連接PM、PN,設(shè)0M的長為t,WMN的面積為S,求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理

由.

等腰三角形類

7.如圖，點A在x軸上，0A=4,將線段0A繞點0順時針旋轉(zhuǎn)120。至0B的位置.

(1)求點B的坐標;

(2)求經(jīng)過點A、0、B的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、0、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,

求點P的坐標；若不存在,說明理由.

8.在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A(0,

2),點C(-1,0),如圖所示：拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B.

(1)求點B的坐標;

(2)求拋物線的解析式；

(3在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使AACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，

求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

9.在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A(0,2),

點C(1,0),如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點B.

(1)求點B的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使AACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在,

求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

綜合類

10.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B(5,0),另一個交點為A,且與y軸交

于點C(0,5).

(1)求直線BC與拋物線的解析式；

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MNUy軸交直線BC于點N,求MN的最

大值；

(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作

平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為Si,SBN的面積為S2,且SI=6S2,求點P的坐標.

11.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的圖象過點C(0,1),頂點為Q(2,3),點D在x軸正半軸上，

且OD=OC.

(1)求直線CD的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點E,求證：4EQ-^CDO;

(4)在(3)的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段0D上的動點，問：在P點和F點移動

過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線與x軸交于A(1,01B(-3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3),設(shè)拋物線的頂點

為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.

(2)試判斷△BCD的形狀，并說明理由.

(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點

P的坐標；若不存在，請說明理由.

對應(yīng)練習(xí)

13.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線I與拋物線交于點C,其中A

點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使ABCD的周長最??？若存在,求出點D的坐標，若不

存在，請說明理由；

(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求&ACE的最大面積及E點的坐標.

14.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,若已知A點的坐標

為A(-2,0).

(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；

(2)求點C的坐標,連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

(3)試判斷AAOC與ACOB是否相似?并說明理由；

(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使AACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；

若不存在，請說明理由.

15.如圖，在坐標系xOy中，AABC是等腰直角三角形/BAC=90°,A(1,0),B(0,2),拋物線y=x?+bx

-2的圖象過C點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移該拋物線的對稱軸所在直線I.當(dāng)I移動到何處時，恰好將AABC的面積分為相等的兩部分？

(3)點P是拋物線上一動點，是否存在點P,使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若

不存在，說明理由.

中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,B(3,OXC(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點M是線段BC上的點(不與B,C重合)，過M作MNliy軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m,

請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使^BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不

存在，說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

分析：

(1)已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，

可得到M、N點的坐標,N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長.

(3)設(shè)MN交x軸于D,那么ABNC的面積可表示為SBNC=S，MNC+S“MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,

MN的表達式在(2)中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于SABNC、m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)即可判斷出ABNC是否具有最大值.

解答：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),則：

a(0+1)(0-3)=3,a=-1;

.?拋物線的解析式:y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3.

(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,貝(］有:

(3k+b=0

Ib=3

解得［—I；

lb=3

故直線BC的解析式：y=-x+3.

已知點M的橫坐標為m,MNliy,則M(m,-m+3\N(m,-m2+2m+3);

.,.故MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3).

(3)如圖；

■/SABNC=S-MNC+S/.MNB=MN(OD+DB)=MN,OB,

，S.BNC=(-m2+3m>3=-(m-)2+(0<m<3);

8

上當(dāng)01=時，ABNC的面積最大，最大值為名.

8

-2(a盧0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點

(1)求拋物線的解析式；

(2)試探究“ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求AMBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.

分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可.

(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明AABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心

的位置，由此確定圓心坐標.

(3)AMBC的面積可由S/BC=BCxh表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC

的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M.

解答：

解：(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中，得：

0=16a-x4-2,即：a=;

.?拋物線的解析式為：y=x2-x-2.

(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A(C(0,-2);

.-.OA=1,0C=2,0B=4,

即：0C2=0A?0B,又:OC±AB,

“OAOAOCB,得：zOCA=zOBC;

.-.zACB=zOCA+zOCB=zOBC+zOCB=90°,

.“ABC為直角三角形，AB為AABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為:(,0).

(3)已求得:B(4,01C(0,-2),可得直線BC的解析式為：y=x-2;

設(shè)直線IHBC,則該直線的解析式可表示為：y=x+b,當(dāng)直線I與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=x2-x-2,即：x2-2x-2-b=0,且八=0;

.-.4-4x(-2-b)=0,gpb=-4;

J.直線I:y=x-4.

所以點M即直線I和拋物線的唯一交點，有：

xX2

y=~22_rx=2

,，解得：x-z即M(2,-3).

忌x-4尸一3

21

過M點作MNJ_x軸于N,

S，.BMC=S梯形OCMN+SAMNB-SAOCB=X2X(2+3)+x2x3-x2x4=4.

平行四邊形類

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A(3,B(0,-3),點P是直線AB上

的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,設(shè)點P的橫坐標為t.

(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.

(2)若點P在第四象限，連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求MBM的面積.

(3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出

點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法，?待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，?待定系數(shù)法求二次

函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.

專題：壓軸題；存在型.

分析：

(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A(3,0)B(0,-3)分別代入y=x2+mx+gy=kx+b,

得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)點P的坐標是(t,t-3),則M(t,t2-2t-3),用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，

即PM=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當(dāng)t=-——/時，PM最長為一°L9—■=，再利用三角形的面積公式利用S，ABM=S，BPM+S4ApM

2X(-1)4X(-1)

計算即可；

(3)由PMIIOB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四

邊形然后討論:當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時只有所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3,

(t2-2t-3)-(t-3)=3;當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t2-3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿

足條件的t的值.

解答：

解：(1)把A(3,0)B(0,-3)代入y=x2+mx+n，得

10=9+3"n解得J"-2,所以拋物線的解析式是y=x2-2x-3.

1-3=nn=-3

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,-3)代入y=kx+b,得]°=3k+b,解得”=1

[-3=b[b=-3

所以直線AB的解析式是y=x-3;

(2)設(shè)點P的坐標是(t,t-3),則M(t,t2-2t-3),

因為p在第四象限，

所以PM=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,

09

當(dāng)t="——金「一=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為一z-—.

2X(-1)4X(-1)

貝！JSaABM=SsBPM+S4ApM=工X&X3=&-

248

(3)存在，理由如下：

,/PMllOB,

.?.當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時只有，所以不可能有PM=3.

②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3,(t2-2t-3)-(13)=3,解得匕=生畫，12=三且(舍去),

_22

所以P點的橫坐標是生②；

2_

③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3,t2-3t=3,解得ti=生②(舍去)，t2=三②，所以P點的橫坐標

22

是21返

2._

所以P點的橫坐標是生②或三②.

22

4.如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0,1),B(2,0),0(0,0),將此三

角板繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AA'B'。.

(1)一拋物線經(jīng)過點A;B\B,求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P,使四邊形PB'A'B的面積是AA'B'O面積4

倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形PB'A'B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB'A'B的兩條性質(zhì).

專題：壓軸題.

分析：

(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A'(-1,0),B,(0,2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)利用S四腳PBAB=S-BOA，+SWBQ+S4POB,再假設(shè)四邊形PB'A'B的面積是SBO面積的4倍,得出一

元二次方程，得出P點坐標即可；

(3)利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB'A'B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可.

解答：

解：(1)M'B'O是由△ABO繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

又A(0,1),B(2,0),0(0,0),

.?.A1(-1,0),B'(0,2).

方法一：

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c(awO),

,?拋物線經(jīng)過點A；B;B,

0=a-b+c'a=-1

.J2=c，解得：b=l，，滿足條件的拋物線的解析式為y=-x2+x+2.

,0=4a+2b+c,c=2

方法二:?.A'(-1,0),B-(0,2),B(2,0),

設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+l)(x-2)

將B'(0,2)代入得出：2=a(0+1)(0-2),

解得：a=-1,

故滿足條件的拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2;

(2)/P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，

設(shè)P(x,y),則x>O,y>O,P點坐標滿足y=-x2+x+2.

連接PB,PO,PB',

-"S四邊形PB‘A'B=S，B'OA'+SWB'O+S,\POB,

=xlx2+x2xx+x2xy,

=x+(-x2+x+2)+1,

-x2+2x+3.

?.?A'O=1,B'0=2，二AA'B'O面積為：xlx2=l,

假設(shè)四邊形PB'A'B的面積是AABO面積的4倍，則

4=-x2+2x+3,

即x2-2x+l=0,

解得：Xi=X2=l,

此時y=-12+1+2=2，即P(1,2).

.?存在點P(1,2),使四邊形PB'A'B的面積是△ABO面積的4倍.

(3)四邊形PB'A'B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可.

①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等；

③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等.....................(10分)

或用符號表示：

①NB'A'B=NPBA'或NA'B'P=NBPB';②PA'=B'B;③B'PllA'B;④B'A'=PB..................................(10

分)

5.如圖，拋物線y=x2-2x+c的頂點A在直線I:y=x-5±.

(1)求拋物線頂點A的坐標；

(2)設(shè)拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C、D(C點在D點的左側(cè))，試判斷^ABD的形狀;

(3)在直線I上是否存在一點P,使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；分類討論.

分析：

(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線I的解析式中即可求

出點A的坐標.

(2)由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標.則AB、AD、BD三邊的長可得，然后

根據(jù)邊長確定三角形的形狀.

(3)若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況

討論，即①AD幺PB、②AB4：PD,然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列方程求出P點的坐標.

解答：

解：(1)..頂點A的橫坐標為x=-二=1,且頂點A在y=x-5上，

2

.?.當(dāng)x=l時，y=l-5=-4,

.-.A(1,-4).

(2)AABD是直角三角形.

將A(1,-4)代入y=x2-2x+c,可得，1-2+c=-4,/.c=-3,

..y=x2-2x-3,/.B(0,-3)

當(dāng)y=0時，x2-2x-3=0,xi=-1,x2=3

.-.C(-1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+l2=2,AD2=(3-1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2,

.-.zABD=90°,即SBD是直角三角形.

(3)存在.

由題意知：直線y=x-5交y軸于點E(0,-5),交x軸于點F(5,0)

.1.OE=OF=5,

又.OB=OD=3

.”O(jiān)EF與AOBD都是等腰直角三角形

.-.BDllI,即PAIIBD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G.

設(shè)P(xi,x-5),則G(l,Xi-5)

則PG=|1-xi|,AG=|5-Xi-4|=|1-xi|

PA=BD=3V2

由勾股定理得：

(l-xi)2+(l-xi)2=18,xi2-2xi-8=0,xi=-2或4

.?.P(-2,-7)或P(4,-1),

存在點P(-2,-7)或P(4,-1)使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形.

周長類

6.如圖，RtAABO的兩直角邊OA、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，0為坐標原點，A、B兩

點的坐標分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,且頂點在直線x=±.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把AABO沿x軸向右平移得到3CE,點A、B、。的對應(yīng)點分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是

菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD,已知對稱軸上存在一點P使得WBD的周長最小，求出P點的坐標；

(4)在(21(3)的條件下，若點M是線段0B上的一個動點(點M與點0、B不重合)，過點M作II

BD交x軸于點N,連接PM、PN,設(shè)0M的長為t,”MN的面積為S,求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理

由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題.

2

分析：(1)根據(jù)拋物線y=-^x+bx+c經(jīng)過點B(o,4),以及頂點在直線x=±，得出b,c即可；

3

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是(5,41(2,0),利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2

時，y的值即可.

(3)首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,求出解析式，當(dāng)x4寸，求出y即可；

(4)利用MNIIBD,得出AOMWOBD，進而得出以M,得至UON=1，進而表示出WMN的面積，

OB0D2

利用二次函數(shù)最值求出即可.

解答：

解：(1),.拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過點B(0,4).-.c=4,

3

,.頂點在直線X=±,-電=----三=,.,.b=-式;

2a?x23

3

2

二所求函數(shù)關(guān)系式為y=-|x-多+4；

(2)在Rt^ABO中，OA=3,OB=4,/.AB=A/Q^2+OB2=5，

..四邊形ABCD是菱形，..BC=CD=DA=AB=5,

?CD兩點的坐標分別是(5,41(2,0),

當(dāng)x=5時，y=,x52-4^X5+4=4，

當(dāng)x=2時，y=_|x2?-^X2+4=0，

oo

，點C和點D都在所求拋物線上；

（3）設(shè)CD與對稱軸交于點P,則P為所求的點，

設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

器:聿解得：」

則48

3

當(dāng)*=時，y=_i><至*”.P(2

32332

(4)-.MNliBD,

.'.△OMNSAOBD,

.端制卷得。N小，

設(shè)對稱軸交X于點F,

則S梯形PF0M4(PF+OM>OF=(+t)

；“MON4clM6=系于小2'

S?PNF=XNF?PF=X(-1)x=

.1),

華一*6

-*嚙（。近<4）,

a=-<0..拋物線開口向下，S存在最大值.

由S.N…+乎一（"*2+翁

.?.當(dāng)t=U時,S取最大值是笙,此時，點M的坐標為（0,U）.

61446

等腰三角形類

7.如圖，點A在x軸上，0A=4,將線段0A繞點0順時針旋轉(zhuǎn)120。至OB的位置.

(1)求點B的坐標;

(2)求經(jīng)過點慶、0、B的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、0、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，

求點P的坐標；若不存在，說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；分類討論.

分析：

(1盾先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長(即

OA長)確定B點的坐標.

(2)已知0、A、B三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.

(3)根據(jù)(2)的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸,然后先設(shè)出P點的坐標，而0、B坐標已知，

可先表示出AOPB三邊的邊長表達式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后

分辨是否存在符合條件的P點.

解答：

解：(1)如圖，過B點作BC±x軸，垂足為C,則NBCO=90°,

■.zAOB=120°,.-.zBOC=60o,

又..OA=OB=4,.-.OC=OB=x4=2,BC=OB?sin60°=4x立=2班，

2

.?點B的坐標為(-2,-273)；

(2)?.拋物線過原點0和點A、B，，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,

將A(4,0),B(-2.-2遮)代入，得

J6a+4b=0解得?.此拋物線的解析式為y=-在x2+雪

4a-2b=-275,27363

(3)存在，

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2,直線x=2與x軸的交點為D,設(shè)點P的坐標為(2,y),

①若OB=OP,

則22+卵=42,解得y=±2心，

當(dāng)y=2舊時，在Rt^POD中，zPDO=90°,sinzPOD=里近,

0P2

.?.zPOD=60°,

.?.zPOB=zPOD+zAOB=60°+120o=180°,

即P、0、B三點在同一直線上，

??.y=2遂不符合題意，舍去，

.?點P的坐標為（2,-273）

②若0B=PB,則42+|y+2bF=42,

解得y=-2b，

故點P的坐標為（2,-2V3），

③若0P=BP,則22+|y|2=42+|y+2遮巳

解得y=-273,

故點P的坐標為（2,-2b），

綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2,-2f）,

8.在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0,

2）,點C（-1,0）,如圖所示:拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B.

（1）求點B的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使AACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，

求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題.

分析：

（1）根據(jù)題意，過點B作BD±x軸，垂足為D;根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到X、y軸的距離,即B

的坐標；

（2）根據(jù)拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；

（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.

解答：

解：（1）過點B作BD±x軸，垂足為D,

?.zBCD+zACO=90°,zACO+zCAO=90°,

.-.zBCD=zCAO,（1分）

又.NBDC=NCOA=90。，CB=AC,

.“BCD學(xué)CAO,（2分）

.'.BD=OC=1,CD=OA=2,（3分）

.?點B的坐標為（-3,1）;（4分）

(2)拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B(-3,1),

則得到l=9a-3a-2,（5分）

解得a=,

所以拋物線的解析式為y=x2+x-2;（7分）

（3）假設(shè)存在點P,使得SCP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點Pi，使得PiC=BC,得到等腰直角三角形MCP1,（8分）

過點Pi作PIM_LX軸,

-.CPi=BC,zMCPi=zBCD,zPiMC=zBDC=90°,

.“MPiC學(xué)DBC.（10分）

.?.CM=CD=2,PiM=BD=l,可求得點Pi（l,分）

②若以點A為直角頂點；

則過點A作AP2±CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形AACP2,（12分）

過點P2作P2N±y軸，同理可證AAPZN斗CAO,（13分）

.-.NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點P2（2,1）,（14分）

經(jīng)檢驗，點Pi（1,-1）與點P2（2,1）都在拋物線y=x2+x-2上.（16分）

9.在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0,2）,

點C（1,0）,如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點B.

(1)求點B的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使AACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在,

求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.

分析：

(1)首先過點B作BD±x軸,垂足為D,易證得ABDSACOA,即可得BD=OC=1,CD=OA=2,則可

求得點B的坐標；

(2)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

(3)分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點Pi使得PiC=BC,得到等腰直角三角形

ACPi過點Pi作PIMJLX軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2LCA且使得APz=AC,

得到等腰直角三角形ACP2,過點P2作P2N±y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作

AP3±CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,過點P3作P3HLy軸，去分析則可求得答案.

解答：

解：(1)過點B作BD±x軸，垂足為D,

?.zBCD+zACO=90°,zAC0+zOAC=90°,

.,.zBCD=zCAO,

又.NBDC=NCOA=90。，CB=AC,

.-.ABDC^^COA,

.'.BD=OC=1,CD=OA=2,

.?點B的坐標為(3,1);

(2)?.拋物線y=ax2-ax-2過點B(3,1),

;.l=9a-3a-2,

解得：a=,

.?拋物線的解析式為y=x2-x-2;

(3)假設(shè)存在點P,使得AACP是等腰直角三角形，

①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，

則延長BC至點Pi使得PiC=BC,得到等腰直角三角形ACPi,過點Pi作PiM±x軸，如圖(1),

?.CPi=BC,zMCPi=zBCD,zPiMC=zBDC=90°,

.“MPidDBC,

.-.CM=CD=2,PiM=BD=l,

??.Pi(-1,-1),經(jīng)檢驗點Pi在拋物線y=x2-x-2±;

②若以AC為直角邊,點A為直角頂點，則過點A作AP2±CA,且使得AP2=AC,

得到等腰直角三角形ACP2,過點P2作P2N±y軸，如圖(2),

同理可證AAP2N學(xué)CAO,

.?.NP2=OA=2,AN=OC=1,

.??P2(-2,1),經(jīng)檢驗P2(-2,1)也在拋物線y=x2-x-2±;

③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3±CA,且使得AP3=AC,

得到等腰直角三角形ACP3,過點P3作P3HJ_y軸，如圖(3),

同理可證SP3H當(dāng)CAO,

.?,HP3=OA=2,AH=OC=1,

??.P3(2,3),經(jīng)檢驗P3(2,3)不在拋物線y=x2-x-2±;

故符合條件的點有Pl(-1,-1),P2(-2,1)兩點.

10.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B(5,0),另一個交點為A,且與y軸交

于點C(0,5).

(1)求直線BC與拋物線的解析式；

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MNIIy軸交直線BC于點N,求MN的最

大值；

(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作

平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為Si,SBN的面積為S2,且SI=6S2,求點P的坐標.

X

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將B(5,0),C(0,5)兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法

即可求出直線BC的解析式，?同理，將B(5,0),C(0,5)兩點工的坐標代入y=x2+bx+c,運用待定系

數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點橫坐標

的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；

(3)先求出SBN的面積S2=5,則SI=6S2=30.再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,根據(jù)平

行四邊形的面積公式得出BD=3加，過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P,交x軸于點E,在直

線DE上截取PQ=BC,則四邊形CBPQ為平行四邊形.證明^EBD為等腰直角三角形，則BE=^BD=6,

求出E的坐標為(-1,0),運用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=-x-1,然后解方程組

y=-x-1

.,,即可求出點P的坐標.

y=x^~6x+5

解答：

解：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

將B(5,0),C(0,5)兩點的坐標代入,

得戶"n=°，解得嚴一1,所以直線BC的解析式為y=-x+5;

將B(5,0),C(0,5)兩點的坐標代入y=x2+bx+c,

得(25+5b+c=0，解得產(chǎn)一6,所以拋物線的解析式為y=x2-6X+5;

Ic=5Ic=5

(2)設(shè)M(x,x2-6x+5)(l<x<5),則N(x,-x+5),

1/MN=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x-/+/，

4

上當(dāng)*=時，MN有最大值名;

4

(3).MN取得最大值時，x=2.5,

-x+5=-2.5+5=2.5，即N(2.5,2.5).

解方程x2-6x+5=0，得x=l或5,

-A(l,0),B(5,0),

.-.AB=5-1=4,

.”ABN的面積S2=X4X2.5=5,

???平行四邊開鄉(xiāng)CBPQ的面積SI=6S2=30.

設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,則BC_LBD.

??BC=5&,

.-.BC?BD=30,

.-.BD=3A/2.

過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P,交x軸于點E,在直線DE上截取PQ=BC,則四邊形CBPQ

為平行四邊形.

-.BC±BD,zOBC=45°,

.-.zEBD=45°,

."EBD為等腰直角三角形，BE=^BD=6,

0),

.-.E(-1,0),

設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t,

將E(-1,0)代入，得l+t=0,解得t=-1

???直線PQ的解析式為y=-x-1.

y=~x-1X[=2

解方程組＜.得J

y=x-6x+5y^-3

.?點P的坐標為Pi(2,-3)(與點D重合)或P2(3,-4).

11.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的圖象過點C(0,1),頂點為Q(2,3),點D在x軸正半軸上，

且OD=OC.

(1)求直線CD的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點E,求證：ACEQJ"DO;

(4)在(3)的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動

過