一元二次方程復(fù)習(xí)適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)列方程（組）解應(yīng)用題一概述列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：⑴審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。⑸解方程及檢驗(yàn)。⑹答案。綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。教學(xué)目標(biāo)（－）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間關(guān)系的應(yīng)用題．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：通過(guò)列方程解應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)一步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．（三）德育滲透點(diǎn)：通過(guò)列方程解應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)中方程的思想方法解應(yīng)用問(wèn)題的優(yōu)越性．教學(xué)重點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間的關(guān)系的應(yīng)用題．教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)數(shù)與數(shù)字關(guān)系找等量關(guān)系．教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（一）知識(shí)點(diǎn)梳理1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的解法（1）列舉解法：（2）解法比較：3.根的判別式及與一元二次方程之間的關(guān)系：4.用一元二次方程解決問(wèn)題(1)解決問(wèn)題的思路：（2）列一元二次方程解決問(wèn)題的步驟：（二）.畫(huà)出本章的知識(shí)樹(shù)二、知識(shí)講解【考點(diǎn)一】考查概念問(wèn)題通常是考查一元二次方程的定義，此時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0，在討論含字母系數(shù)的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，命題者常利用a≠0設(shè)計(jì)陷阱?！究键c(diǎn)二】一元二次方程的解法要根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活選用具體方法。對(duì)于特殊的方程要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之轉(zhuǎn)化為常規(guī)的一元二次方程，如用換元法。【考點(diǎn)三】一元二次方程的根的判別式可以用來(lái)：(1)不解方程，判斷根的情況；(2)利用方程有無(wú)實(shí)數(shù)根，確定取值范圍，解題時(shí)，務(wù)必分清“有實(shí)數(shù)根”、“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，“有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根”，“有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”等關(guān)鍵性的字眼?！究键c(diǎn)四】列方程解應(yīng)用題雖然是傳統(tǒng)的題型，但一直是中考的熱點(diǎn),近年來(lái)熱點(diǎn)又有新特點(diǎn)，注重考查了能力問(wèn)題，表面文字比較復(fù)雜,但認(rèn)真閱讀，抓住實(shí)質(zhì)，問(wèn)題就迎刃而解了?！究键c(diǎn)五】列方程（組）解應(yīng)用題一概述列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：⑴審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。⑸解方程及檢驗(yàn)。⑹答案。綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。三、例題精析【例題1】【題干】某商場(chǎng)將銷(xiāo)售成本為30元的臺(tái)燈以40元的價(jià)格售出，平均每月銷(xiāo)售600個(gè)．市場(chǎng)調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，每月平均銷(xiāo)售數(shù)量將減少10個(gè)．若銷(xiāo)售利潤(rùn)率不得高于100％，那么銷(xiāo)售這種臺(tái)燈每月要獲利10000元，臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】【解析】如果這種臺(tái)燈售價(jià)上漲x元，那么每個(gè)臺(tái)燈獲利(40＋x－30)元，每月平均銷(xiāo)售數(shù)量為(600－10x)個(gè)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為(40＋x－30)和(600－10x)的積．用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，所求得的結(jié)果往往有兩個(gè)，而實(shí)際問(wèn)題的答案常常是一個(gè)，這就需要我們仔細(xì)審題，看清題目的要求，進(jìn)而作出正確的選擇。解：設(shè)這種臺(tái)燈的售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元或80元．當(dāng)臺(tái)燈售價(jià)定為80元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)率為不符合要求；當(dāng)臺(tái)燈售價(jià)定為50元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)率為符合要求．答：每個(gè)臺(tái)燈售價(jià)應(yīng)是50?！纠}2】【題干】上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元,下列所列方程中正確的是（）A．168(1+a%)2=128B．168(1-a%)2=128C．168(1-2a%)=128D．168(1-a2%)=128【答案】B【解析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，利用關(guān)系式：變化前數(shù)量×(1±x)2=變化后的數(shù)量。解：B【例題3】【題干】（1）一元二次方程x2-2x-1=0的根的情況為（）Ａ．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Ｂ．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Ｃ．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根Ｄ．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=80解：B【例題4】【題干】（若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0【答案】B【解析】b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+40得k-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得k≠0．解：B四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】【鞏固】2.如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；圖7KG（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求此時(shí)圖7KG【答案】所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.存在.由（1）得－x2+x＝14，解這個(gè)方程，得x1＝7，x2＝5（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE＝7.不存在.假設(shè)存在，顯然有S△BEF∶S多邊形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此時(shí)的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分.【解析】解（1）由已知條件得，梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K.則可得，F(xiàn)G＝×4，所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解這個(gè)方程，得x1＝7，x2＝5（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE＝7.（3）不存在.假設(shè)存在，顯然有S△BEF∶S多邊形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此時(shí)的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分.說(shuō)明求解本題時(shí)應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2＝5時(shí)，并不屬于7≤x≤10，應(yīng)及時(shí)地舍去；三是處理第（3）個(gè)問(wèn)題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程來(lái)探索問(wèn)題的存在性.課程小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你掌握了哪些知識(shí)？本節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程的應(yīng)用，列方程（組）解應(yīng)用題一概述列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：⑴審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。⑸解方程及檢驗(yàn)。⑹答案。綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門(mén)寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒(méi)看城門(mén)高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門(mén)高2米，二人沒(méi)辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門(mén)的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？【答案】渠道的上口寬2.5m，渠深1m.【解析】解設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解這個(gè)方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說(shuō)明求解本題開(kāi)始時(shí)好象無(wú)從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.2.讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？【答案】周瑜去世的年齡為36歲.【解析】解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.則根據(jù)題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個(gè)方程，得x＝5或x＝6.當(dāng)x＝5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)x＝6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為36歲.說(shuō)明本題雖然是一道古詩(shī)問(wèn)題，但它涉及到數(shù)字和年齡問(wèn)題，通過(guò)求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味.3.象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.【答案】參加比賽的選手共有45人.【解析】解設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n－1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n(n－1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n(n－1)局.由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分.顯然(n－1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答參加比賽的選手共有45人.【鞏固】1.春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？【答案】該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.【解析】解設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.因?yàn)?000×25＝25000＜27000，所以員工人數(shù)一定超過(guò)25人.則根據(jù)題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解這個(gè)方程，得x1＝45，x2＝30.當(dāng)x＝45時(shí)，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；當(dāng)x2＝30時(shí)，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.圖1如果人數(shù)超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元.圖1如果人數(shù)超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元.如果人數(shù)不超過(guò)25人，人均旅游費(fèi)用為1000元.2.將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來(lái)荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】x≈6.6.設(shè)扇形半徑為r，則3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6【解析】解都能.（1）設(shè)小路寬為x，則18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，解這個(gè)方程，得x＝，即x≈6.6.（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.圖2圖4圖3說(shuō)明等積變形一般都是涉及的是常見(jiàn)圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，圖2圖4圖33.如圖4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.、由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.【解析】解因?yàn)椤螩＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.則根據(jù)題意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解這個(gè)方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說(shuō)明本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必須依據(jù)路程＝速度×?xí)r間.【拔高】1.一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？【答案】所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m.【解析】解依題意，梯子的頂端距墻角＝8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解這個(gè)方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解這個(gè)方程，得x1≈0