河南省頂尖名校2023年高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.82．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（）A. B.C.2 D.43．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.4．設直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.5．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.96．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，7．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設是可導函數(shù)，當，則（）A.2 B.C. D.9．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球10．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.11．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.12．若直線經(jīng)過，,兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.14．設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.15．已知圓C：和點，若點N為圓C上一動點，點Q為平面上一點且，則Q點縱坐標的最大值為______16．教育部門對某校學生的閱讀素養(yǎng)進行調(diào)研，在該校隨機抽取了100名學生進行百分制檢測，現(xiàn)將所得的成績按照，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了頻率分布直方圖(如圖所示)，則成績在這組的學生人數(shù)是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．（12分）年月初，浙江杭州、寧波、紹興三地相繼爆發(fā)新冠肺炎疫情．疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開始生產(chǎn)口罩，并且對所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量按指標測試分數(shù)進行劃分，其中分數(shù)不小于的為合格品，否則為不合格品，現(xiàn)隨機抽取件口罩進行檢測，其結(jié)果如表：測試分數(shù)數(shù)量（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計該公司生產(chǎn)口罩的不合格率；（2）若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產(chǎn)口罩中抽取件，再從這件口罩中隨機抽取件，求這件口罩全是合格品的概率20．（12分）在三角形ABC中，三個頂點的坐標分別為，，，且D為AC的中點.（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產(chǎn)生的相交弦的長度.21．（12分）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求該拋物線的方程；（2）若點A在第一象限，且拋物線在點A處的切線交y軸于點M，求的面積.22．（10分）已知：圓是的外接圓，邊所在直線的方程為，中線所在直線的方程為，直線與圓相切于點.（1）求點和點的坐標；（2）求圓的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【詳解】由題可知，等差數(shù)列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.2、B【解析】由題意可設，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設，設，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，故選：B3、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C4、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B6、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點睛】本題主要考查了含有一個量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D8、C【解析】由導數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C9、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C10、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.11、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B12、D【解析】應用兩點式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標系后求相關(guān)的向量后再用夾角公式運算即可.【詳解】如圖，以C為坐標原點，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.14、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：15、【解析】設出點N的坐標，探求出點Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠的點的縱坐標表達式，借助函數(shù)最值計算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點M在圓C上，設點，則，線段MN中點，因，則點Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點M，N外)，這個軌跡在x軸上方，于是得這個軌跡上的點到x軸的最大距離為：令，于是得，當，即時，，所以Q點縱坐標的最大值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：圓上的點到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.16、20【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績在這組的頻率，從而可得出答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成績在這組的頻率為，所以成績在這組的學生人數(shù)為（人）.故答案為：20.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）原點在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進而可求拋物線的焦點，即求；（2）設直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理法可得，即得.【小問1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】由題可設直線l的方程為，由，得，設，則，又，故，∴，∴，即，故原點在以線段AB為直徑的圓上.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，當時，，解得當時，，所以，即.所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故.【小問2詳解】解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數(shù)列的前項和19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意知分數(shù)小于的產(chǎn)品為不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分層抽樣確定抽取的件口罩中合格產(chǎn)品和不合格產(chǎn)品的數(shù)量分別為件和件，再利用古典概型把所有基本事件種都列舉出來，在判斷件口罩全是合格品的事件有種情況，即可得到答案.【小問1詳解】在抽取的件產(chǎn)品中，不合格的口罩有（件）所以口罩為不合格品的頻率為，根據(jù)頻率可估計該公司所生產(chǎn)口罩的不合格率為【小問2詳解】由題意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件設件合格口罩記為，件不合格口罩記為而從件口罩中抽取件，共有共種情況，這件口罩全是合格品的事件有共種情況故件口罩全是合格品的概率為20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合點到直線的距離，以及弦長公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點，半徑為BC長度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問2詳解】因為D為AC的中點，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長度為.21、（1）;（2）10.【解析】（1）由根據(jù)拋物線的定義求出可得拋物線方程；（2）求出拋物線過點A的切線，得出點M的坐標即可求三角形面積.【小問1詳解】由拋物線的定義可知，即，拋物線的方程為.【小問2詳解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，顯然切線的斜率存在，故可設其方程為，由，消去得，即，令，解得，切線方程為.令x=0，得，即,又，，.22、（1）A（1