黑龍江省綏濱縣第一中學2024屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，且，則（）A.4 B.2C. D.2．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.224．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=A. B.C. D.5．某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取容量為50的樣本，則應從高三年級抽取的學生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.306．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.7．已知關于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.78．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝09．如果橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.10．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件11．某校初一有500名學生，為了培養(yǎng)學生良好的閱讀習慣，學校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.1512．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為______14．已知，空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.15．橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點的直線交該橢圓于兩點，若的內(nèi)切圓面積為，兩點的坐標分別為，，則的面積________，的值為________.16．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則實數(shù)______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.18．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為，點是軸上一定點，過的直線交與兩點.（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點，連接交軸于點.證明：成等比數(shù)列.19．（12分）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值20．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點P到平面MND的距離22．（10分）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實軸長為2.（1）求雙曲線的焦點到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】依題意可得，設，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點，可得.【詳解】依題意可得，設，由得，所以，，所以，，因為為拋物線上一點，所以，解得.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎題.2、D【解析】設雙曲線的方程為，利用焦點為求出的值即可.【詳解】因為雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，所以可設雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.3、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.4、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，因為是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，所以，應選答案D5、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應從高三年級抽取的學生數(shù)為，故選：C.6、A【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.7、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關系列方程組可求得結果【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D8、B【解析】由題意，，所以，即，故選B9、B【解析】設該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則，利用點差法可得答案.【詳解】設該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則因為，兩式相減可得，，即由中點公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B10、A【解析】根據(jù)事件的關系進行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點睛】本題考查事件關系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎題.11、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為故選：B.12、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當為與拋物線的交點時，取得最小值，進而求得點坐標.【詳解】由題意得：拋物線焦點為，準線為作，垂直于準線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當且僅當三點共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點故答案為【點睛】本題考查拋物線線上的點到焦點的距離與到定點距離之和最小的相關問題的求解，關鍵是能夠熟練應用拋物線定義確定最值取得的位置.14、【解析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設直線的方向向量為，則，即取，設直線與平面所成角則故答案為：15、①.6②.3【解析】由題意得，由內(nèi)切圓面積為可得其半徑，根據(jù)焦點三角形面積公式可得第一空答案，結合面積公式和等面積法建立等式化簡即可.【詳解】解：由得由內(nèi)切圓面積為可得其半徑，設其內(nèi)切圓圓心為則又所以.故答案為：6；3【點睛】橢圓中常用面積公式：（1）(表示邊上的高)；（2）；（3）(為三角形內(nèi)切圓半徑)；（4）.16、【解析】由題設可得，結合向量共線的坐標表示求參數(shù)即可.【詳解】由題設，平面與平面的法向量共線，∴，則，即，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為（），聯(lián)立方程得設兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設直線方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達定理可得；（2）借助（1）中結論可得各點縱坐標之積，進而得到F、T、Q三點橫坐標關系，然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0，設方程為，聯(lián)立，消元得到，.【小問2詳解】由（1）設，因為AP與BQ均過T(t,0)點，可知，又AB過F點，所以，如圖：，,設M(n，0）,由（1）類比可得.，且，成等比數(shù)列.19、（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因為PD＝CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點E是PC的中點，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，20、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解.【小問1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據(jù)輔助角公式，可得，∵，∴，即，故選擇條件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，則.在中，，∴.故.選擇條件③由，得，即，整理得，由于，則方程無解，故不存在這樣的三角形.21、（1）見解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點到平面的距離公式加以計算即可得到點到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設，，是平面的一個法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個