第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

第十章2021/5/91實(shí)例:

變力沿曲線所作的功常力所作的功分割對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、問(wèn)題的提出2021/5/92求和近似值取極限精確值2021/5/93二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義2021/5/94類似地定義2.存在條件：2021/5/953.組合形式4.推廣2021/5/965.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!2021/5/97三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理2021/5/98對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)證明：根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證2021/5/99一代、二換、三定限曲線積分化成參變量的定積分代將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù)換定限下限——起點(diǎn)參數(shù)值上限——終點(diǎn)參數(shù)值2021/5/910特殊情形2021/5/911(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：2021/5/912其中（可以推廣到空間曲線上）可用向量表示有向曲線元；2021/5/913例1解2021/5/914例2解2021/5/915例3問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.2021/5/916解2021/5/917問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.2021/5/918例5.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取

的參數(shù)方程2021/5/919三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系2021/5/920類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為2021/5/921例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周2021/5/922四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題2021/5/923思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.2021/5/924練習(xí)題2021/