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組合變形

目錄2基本要求1.掌握組合變形桿件強(qiáng)度計(jì)算的基本方法——外力分解和應(yīng)力疊加，掌握危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的判定方法。2.掌握雙對(duì)稱彎曲變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。3.掌握拉（壓）彎組合變形桿的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。4.掌握?qǐng)A軸在彎扭組合變形時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。3§10.1組合變形和疊加原理在外力作用下，構(gòu)件若同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形的情況，稱為組合變形。請(qǐng)看實(shí)例拉彎組合彎扭組合壓彎組合4拉扭組合5組合變形問(wèn)題的基本解法是疊加法條件是：（1）小變形假設(shè)。（2）載荷和位移成線性關(guān)系：比例極限內(nèi)。其基本步驟是：（1）將載荷分解，得到與原載荷等效的幾組簡(jiǎn)單載荷，使構(gòu)件在每組簡(jiǎn)單載荷作用下只產(chǎn)生一種基本變形。（2）分別計(jì)算構(gòu)件在每種基本變形情況下的應(yīng)力。（3）將每種基本變形情況下的應(yīng)力疊加，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。當(dāng)構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，可將上述應(yīng)力進(jìn)行代數(shù)相加；若處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，則需要按照強(qiáng)度理論來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。6解組合變形的一般步驟（見(jiàn)框圖）7平面彎曲：①外力作用平面必須通過(guò)截面的彎曲中心（S）。②外力作用平面必須通過(guò)或平行截面的任一主形心慣性平面。（一）平面彎曲與斜彎曲的區(qū)分§10.2

雙對(duì)稱彎曲（斜彎曲）

8斜彎曲：①外力作用平面必須通過(guò)截面的彎曲中心（S）。②外力作用平面不通過(guò)也不平行截面的任一主形心慣性平面。③外力作用平面與中性軸不垂直。9（二）斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件a.中性軸與z軸的夾角10以下圖為例，此時(shí)中性軸位置的表達(dá)式為：11

從上式可看出，只要，則，即荷載作用平面與中性軸不垂直，這是斜彎曲與平面彎曲的區(qū)別之一。對(duì)于圓截面，正方形截面及正多邊形，形心主慣性矩Iz=Iy，此時(shí)，說(shuō)明是平面彎曲，荷載作用面與中性軸垂直。b.強(qiáng)度條件12例1矩形截面的懸臂梁受荷載如圖示。試確定危險(xiǎn)截面、危

險(xiǎn)點(diǎn)所在位置；計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力及AB段的中性軸位

置；若將截面改為直徑D=50mm的圓形，試確定危險(xiǎn)點(diǎn)

的位置，并計(jì)算最大正應(yīng)力。13解（一）外力分析

梁在P1作用下繞z軸彎曲（平面彎曲），在P2作用下繞y軸彎曲（平面彎曲），故此梁的彎形為兩個(gè)平面彎曲的組合——斜彎曲。受力簡(jiǎn)圖如圖示。例1圖受力簡(jiǎn)圖14（二）內(nèi)力分析受力簡(jiǎn)圖

分別繪出Mz(x)和My(x)圖如圖示。兩個(gè)平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，A截面為危險(xiǎn)截面。15解得：（見(jiàn)圖）應(yīng)力分布圖16（三）應(yīng)力分析和最大應(yīng)力

繪出A截面的應(yīng)力分布圖，從應(yīng)力分布圖可看出a、b兩點(diǎn)為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力點(diǎn)，即為危險(xiǎn)點(diǎn)。應(yīng)力分布圖17（四）計(jì)算中性軸位置及最大正應(yīng)力AB段中性軸與z軸的夾角為：（坐標(biāo)原點(diǎn)可設(shè)在C截面處）

從上式可看出，中性軸位置在AB段內(nèi)是隨x的變化而變化的。在A截面處（x=1m），中性軸位置為：18A截面中性軸確定后可繪出總應(yīng)力分布圖（見(jiàn)圖）。最大和最小正應(yīng)力為：

如以合成后的總彎矩以矢量表示，中性軸與M的矢量不重合，說(shuō)明荷載作用平面與中性軸不垂直，這是斜彎曲的特征之一。應(yīng)力分布圖19（五）改為圓截面時(shí)的計(jì)算合成后總變矩為：

矩形截面改為圓截面后，受力圖不變，內(nèi)力圖也不變。此時(shí)對(duì)于圓截面來(lái)說(shuō)，不存在斜彎曲問(wèn)題，兩個(gè)平面彎曲合成后，還是一個(gè)平面彎曲的問(wèn)題。危險(xiǎn)截面A截面上彎矩的合成由矢量來(lái)表示（見(jiàn)圖）?？倧澗氐氖噶糠较蚺c中性軸重合，說(shuō)明總彎矩是繞中性軸彎曲（荷載作用平面與中性軸垂直）離中性軸最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)（c,d）是正應(yīng)力最大和最小的點(diǎn)。A截面應(yīng)力分布圖20

此時(shí)式中Mz引起的應(yīng)力在圖中a點(diǎn)；My引起

的應(yīng)力在圖中b點(diǎn)，顯然不能將不同點(diǎn)處的應(yīng)力進(jìn)

行相加，作為該截面上的最大正應(yīng)力。容易出現(xiàn)的一種計(jì)算錯(cuò)誤：A截面應(yīng)力分布圖ab21§10.3拉伸或壓縮與彎曲的組合在任一橫截面的任意點(diǎn)處:k點(diǎn)的應(yīng)力為：總應(yīng)力為：或22最大拉應(yīng)力為：最大壓應(yīng)力為：強(qiáng)度條件為：23偏心拉伸偏心壓縮拉伸與彎曲的組合變形壓縮與彎曲的組合變形

偏心拉伸（或壓縮），實(shí)際上就是彎曲與拉伸（或壓縮）的組合變形24例1如圖所示的短柱，已知a、P，求開(kāi)槽部分橫截面上的最大正應(yīng)力與未開(kāi)槽時(shí)的比值。解：（1）未開(kāi)槽時(shí)的正應(yīng)力（2）開(kāi)槽后的正應(yīng)力所以：25例2圖示桿件,同時(shí)承受橫向力與偏心壓力作用,試確定F的許用值.已知許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=90MPa.解：故F的許用值為4.85kN。26§10.4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合可以忽略不計(jì)剪力彎矩扭矩27所以：由第三強(qiáng)度理論：28由第四強(qiáng)度理論：29如圖所示一圓軸，裝有皮帶輪A和B。兩輪有相同的直徑D=1m和相同的重量P=5kN。兩輪上的拉力大小和方向如圖。設(shè)許用應(yīng)力[σ]=80MPa，試按第三強(qiáng)度理論來(lái)求所需圓軸直徑。例3解：（1）分析載荷如圖b所示（2）作內(nèi)力圖如圖c、d、e、f所示30按第三強(qiáng)度理論得：因此，得：31求圖示桿在P=100kN作用下的σt數(shù)值，并指明所在位置。例4解：最大拉應(yīng)力發(fā)生在后背面上各點(diǎn)處32圖示偏心