第八節(jié)空間直線及其方程一．空間直線的方程1．一般方程2．對稱式方程3、參數(shù)方程二、直線、平面間的關(guān)系1、兩直線的夾角2、直線與平面的夾角三、平面束方程第九節(jié)二次曲面一、截痕法二、二次曲面的方程及圖形可以表示為：這種方程叫做空間直線的一般方程。1．一般方程一．空間直線的方程第八節(jié)空間直線及其方程空間直線可以看作是兩個平面和的交線，因此直線的方程如果一個非零向量平行于一條直線，2．對稱式方程這個向量叫做直線的方向向量。求過點方向向量為的直線方程．設點是直線L上任一點，則由得:這個方程叫做直線的對稱式方程或點向式方程;叫做直線的一組方向數(shù);也可以寫成當中有一個為例如這時方程組應理解為當方程應理解為而時，注：這個方程叫做直線的參數(shù)方程。設那么3、參數(shù)方程例1

用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解又因兩平面的法向量所以是直線的一個方向向量。因此，所給直線的對稱式方程為：

參數(shù)方程為已知點？方向向量？二、直線、平面間的關(guān)系1、兩直線的夾角（包括重合）2、直線與平面的夾角所以由點向式方程得解解例2

求直線的夾角。直線的方向向量為：直線的方向向量為：例3

求過點且與平面垂直的直線的方程。平面的法向量就是所求直線的一個方向向量，解所以所求直線的方程為：例4

求與兩平面和的交線平行且是所求直線的一個方向向量。的直線的方程。過點所給直線的參數(shù)方程為：代入平面的方程得：解與平面例5

求直線的交點。所以交點的坐標為：再求已知直線與這平面的交點。解例6

求過點且與直線垂直相交的直線的方程。過點且垂直于已知直線的平面的方程為：把直線的參數(shù)方程代入平面的方程，求得交點的坐標為以點為起點，點為終點的向量為：故所求直線的方程為三、平面束方程設直線L由方程組

建立三元一次方程：（3）方程（3）叫做直線L

的平面束方程。都包含在方程（3）所表示的一族平面內(nèi)。所確定，其中系數(shù)與不成比例。其中為任意常數(shù)。對于不同的值，方程（3）表示過直線的不同的平面；反之，通過直線的任何平面（除平面（2）外）的方程。設過直線的平面束方程為：即此平面與已知平面垂直的條件是即所以投影直線的方程為解上的投影直線例7

求直線在平面第九節(jié)二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。這種方法叫做截痕法。一、截痕法用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。即（2）用截此曲面，得（3）用截此曲面，得解

例1

已知方程用截痕法研究曲面的形狀。(1)用截此曲面，得用截此曲面，得解

例2

已知方程用截痕法研究曲面的形狀。（1）用截此曲面，得點（0，0，0）用截此曲面，得（2）用截此曲面，得（3）用截此曲面，得二、二次曲面的方程及圖形1、橢球面3、單葉雙曲面4、雙葉雙曲面5、橢圓拋物面6、雙曲拋物面2、橢圓錐面雙曲面拋物面1、橢球面為球面方程。時，即當2、橢圓錐面當a=b