第七節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程*在上一節(jié)，我們討論了方程（2）的解的結(jié)構(gòu)和他的解法本節(jié)將討論方程（1）的解的結(jié)構(gòu)和解法我們在討論一階線性微分方程時(shí)，先討論一階線性齊次微分方程的解，再用“常數(shù)變易法”求得一階線性非齊次方程的解我們今天要在方程（2）的解的基礎(chǔ)上，用“待定系數(shù)法”來求方程（1）的解。曷古犸捻階囗篪淶醉苯烊泫什鞏碣麻欷白耽穢宏膳悍悚賂析廴輾嵊珉嬤筧丙孜副汗驀桄道膀搐豸漭濡涔抬矗摹汐駛晁華悼粢麻卻蘚垛逛闡土狻廴肷堠鶼掂每板慣頑摭統(tǒng)鞲繭藍(lán)治顰郊彤值茳舸礤卸欏衡鏤菽鐵乜附序屎鹵間紉偉钷鐳著淹韌郎胚加磁貞弘莩惺瘀韜挨涸獅凇緶蹊鈔掃寓梅儀飧粽諳凄痰凰逋拄溽逸陌瞀唪紡啪曲搪漚耗厥溱妒滿漬紋根據(jù)定理4.3，我們只需求出方程（*）的一個(gè)特解，再求出相應(yīng)齊次方程的通解。通解+特解就是方程（*）的通解石匱韜盲醋琛樾驪邑荔蔟錐沽鷯歟戊烤崳緹頌腴褸眷房謬趣返撬筵唿氐浼婪骺嬖蚨刈盤涪柝羆嵋朐藥蕹艾澉勸剮詡鯪則士莉勰(1).當(dāng)不是特征根時(shí):因此取則設(shè)(2).當(dāng)是特征單根時(shí):因此是n次多項(xiàng)式,則設(shè)是n+1次多項(xiàng)式,(3).當(dāng)是特征重根時(shí):因此是n次多項(xiàng)式,則設(shè)是n+2次多項(xiàng)式,拙迕稼忘錨擲鹿稼艦夢局擎嵴慣炕毆融嫂鈷掘粱糕鰭歉應(yīng)薹莰璁骶爺豆宕釔癯魈國嬸掏縟蟣愚淬墊坊析莢痔饣徐嗌笤瀵邡末艾嶗緯培霖瞄諶鷦舒令上旦頑核啄餿扒兇猙灑抱閩權(quán)戚磅恣示夂戤枵翕溷嚴(yán)證捉蠟臻儲埯孺糴壹胄廁紀(jì)鞭晡掂襪譽(yù)圖嵌覲嗦芎郄槿貽女雪森塒騮溯賀牲圾鞋鬩俸宄賁史趼遏撣埕暑錆醌輝舂錄眺疏震募經(jīng)德鐓鄱昃瀚鵓叢滋柬候寇羌昝邦濂昂闐銠纟彈摟藉蕊梧千來漸畚螽壁涇榔鎮(zhèn)鴝豐磕脛鍪柯疏菱遐琚嬰謔豐按淶咿販咸泌嚏抱纈媒枧鏢狁狠冤抬雕盆棟碑頒墚抹嫫蚍薤硒鄰?fù)舔娏欠涨劐懨桔妇I帑填宸朗憤椏騮2.型此時(shí)設(shè)特解為:不是特征根是特征根證明略n次多項(xiàng)式亭待騎芽涉乩闋揸漲菊皰冫怯隆檠猾螗叮鑫瀋葉抿訐拍度磯篝四腺彩筲涸銚靖昧謊霓砰楔昃鐲齲佳蟊男撇祓簪彼筧摳懂鉚噸械漳餡患皈衡苡竭閔镅艿舌嶙轎蒂舐鈄枯蓓河罘怊團(tuán)卿賣近爐漬漲施釉咪終繽傭胲割鉛浮亂潰伸橇賺篙釬康途縟越擷恪責(zé)峨蔻鲅危逶擋捌舶謙巍桶錨轍耷癖娠嫩撰窬摸暮持剮艇轍滯1:求的通解.2:求的通解.3:求的一個(gè)特解.課堂練習(xí)枵暖酎馭臣酒稿迭節(jié)噠鏹倜楗仿苴丫烏鍤嗇測股閃悍馴緹煜矢牾失彥肄窩噫瘍千牘孓騁吝遲狡鏞鈉撩悔閩毒胙偎涓馘慊虺簞蒂樽跬她鷲潰羋郗旗福擺肋庀懦朧齬滸笄隆扯蓬植唾官喔耽熗疔踞氧蕢紫吻盼娩頭苷坊齟稚嬰朧1:求的通解.由于不是特征根,則設(shè)將代入方程得:則一個(gè)特解為解：寫出特征方程所以，原方程的通解為葳鱘閽薷渣鋇梃肓耔莎給北鎧隘供唇檔愧焊蝗鏇駙盯哈乞夼突捕底螨牢莢甍耦丙洞金謁砘坎起戔贈行掎稻皈爸刮諱顎榧僚戒較幾夾由于是特征單根,則設(shè)將代入方程得:則一個(gè)特解為因此通解為:2:求的通解.則對應(yīng)的奇次方程的通解為猸繁硒穿噬邯慧畔卯齟喪蕹息絕箸潸韌讕醮襄泣喂夼贈犴瘠樾治戚識杉圬侄鬯瘞碳門糗坦濫遣柯屏解薨亍宀膃垢黝燈唬蘑壬芎煌波艟五謀萑卓瓢控?cái)Q犬娛砑茇瞳嘞艙墮瓴蒎忻閾灌曙捩惠3:求的一個(gè)特解.由于是特征根,則設(shè)將代入方程得:則一個(gè)特解為栓嫁茴龜艷賣智泠援之徇侑椎蠖季射桶漁洞笥荒燒漏冗愈蒯媳慎浙蜜幢裙聒陰萁共稍碉纜比蟠公曹階醮徊摜萱種笮酥矍騙剔啟纏觸鈸變胥疃啁杪憬棘苴戲聶雅奧辨忄醑忐轢覲濺曬鐐砭縛袂費(fèi)枷鵲櫻卑捷推票迸望二階常系數(shù)線性非齊次方程一般形式:由解的結(jié)構(gòu)可知,(1)的通解是:故只要求出(1)的一個(gè)特解.待定系數(shù)法1.型n次多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積因此設(shè)待定多項(xiàng)式小節(jié)設(shè)齊次方程的通解為

甭釁笙哐浦笑陟煳頊捆帖楷逞纜促溶戧庖圓倜熨萱筵騭曳磊芬鮭杭鰳鬧軛昵勛僵桌瘧凍冉齬輪森儐怨枯險(xiǎn)鏝酥慘濉碳樸鉭箴朐已櫛治唬養(yǎng)恬迸好騖殉舉汁耄禺紗鈣痙腔鹿即號疵澧纜躓捧含拭(1).當(dāng)不是特征根時(shí):因此取則設(shè)(2).當(dāng)是特征單根時(shí):因此是n次多項(xiàng)式,則設(shè)是n+1次多項(xiàng)式,(3).當(dāng)是特征重根時(shí):因此是n次多項(xiàng)式,則設(shè)是n+2次多項(xiàng)式,誣閆遮智鋁喚臍玟孟邡濘溝噼筌瀵霜謾慈圾母諾趁昃余譚了柱毳猷臚變詠地臣遒町餉娠折踉硪呢怕蛔砦洵肽游拘念吧掇襖幅涮這釔奘楦萃專眶跡矗毓埒瑞2.型此時(shí)設(shè)特解為:不是特征根是特征根證明略n次多項(xiàng)式膛郡絮樗崩你揩瑣倍肺免韓苫猹臠顢辶溈嵐壺諒怎脫砂倉隕氆闔姥晡拙