平面向量初步章末綜合測評(píng)(三)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列等式中正確的是()A.eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→)) B.eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0 D.eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))D[起點(diǎn)相同的向量相減，則取終點(diǎn)，并指向被減向量，eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))；eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))是一對(duì)相反向量，它們的和應(yīng)該為零向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0,0·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0才對(duì)，故選D.]2．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)B[由正六邊形知eq\o(FE,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝2.]3．在下列向量中，可以把向量a＝(3，－1)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(3,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(3,2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－3,5)，e2＝(3，－5)B[根據(jù)平面向量的基本定理可知，作為平面向量基底的一組向量必須為非零不共線向量，而A中的e1為零向量，不符合條件；C，D中的兩組向量均為共線向量，不符合條件．故選B.]4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0C[由a∥b知1×2＝m2，即m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2).]5．設(shè)a，b為不共線的兩個(gè)非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a－b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于()A．10 B．－10C．2 D．－2C[因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.]6．在重600N的物體上系兩根繩子，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大小分別為()A．300eq\r(3)N,300eq\r(3)N B．150N,150NC．300eq\r(3)N,300N D．300N,300NC[如圖，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|cos30°＝300eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|sin30°＝300N，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝300N．]7．四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形B[因?yàn)閑q\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，又eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝eq\o(AB,\s\up12(→)).所以在四邊形ABCD中，有|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．]8．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb與a－2b共線，則eq\f(λ,μ)等于()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2C[易知a，b不共線，則有eq\f(λ,1)＝eq\f(μ,－2)，故eq\f(λ,μ)＝－eq\f(1,2).]9．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0D[∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，則λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，則e1＝eq\f(λ,2k－1)e2，此時(shí)e1∥e2，又0與任何一個(gè)向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.]10．如圖所示，平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個(gè)部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)，若eq\o(OP,\s\up12(→))＝aeq\o(OP1,\s\up12(→))＋beq\o(OP2,\s\up12(→))，且點(diǎn)P落在第Ⅰ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0C[當(dāng)點(diǎn)P落在第Ⅰ部分，eq\o(OP,\s\up12(→))按向量eq\o(OP1,\s\up12(→))與eq\o(OP2,\s\up12(→))分解時(shí)，一個(gè)與eq\o(OP1,\s\up12(→))反向，一個(gè)與eq\o(OP2,\s\up12(→))同向，故a＜0，b＞0.]11.如圖，已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)eq\o(AD,\s\up12(→))＝a，eq\o(BE,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up12(→))等于()A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bB[eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BE,\s\up12(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up12(→))))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]12．設(shè)0≤θ＜2π，已知兩個(gè)向量eq\o(OP1,\s\up12(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up12(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量eq\o(P1P2,\s\up12(→))長度的最大值是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)C[∵eq\o(P1P2,\s\up12(→))＝eq\o(OP2,\s\up12(→))－eq\o(OP1,\s\up12(→))＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|eq\o(P1P2,\s\up12(→))|＝eq\r(2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.－1[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.]14．下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為________個(gè)．①在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；②若eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，則A，B，C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；③若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．1[①真命題；②假命題，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，也可以有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；③假命題，只有當(dāng)a與b同向時(shí)才相等．]15．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．－3[∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.]16．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心，AB為半徑的圓弧eq\x\to(BD)上的任意一點(diǎn)，設(shè)∠PAB＝θ，向量eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(DE,\s\up12(→))＋μeq\o(AP,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，若μ－λ＝1，則θ＝________.90°[eq\o(AP,\s\up12(→))＝cosθeq\o(AB,\s\up12(→))＋sinθeq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))＝－eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))，于是有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝(－λ＋μsinθ)eq\o(AD,\s\up12(→))＋(μcosθ＋eq\f(λ,2))eq\o(AB,\s\up12(→))，由于eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))不共線，所以－λ＋μsinθ＝1，μsinθ＝1＋λ＝μ，所以sinθ＝1，θ＝90°.]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC.求證：eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→)).[證明]因?yàn)閑q\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))，eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→)).又因?yàn)锽P＝QC且eq\o(BP,\s\up12(→))與eq\o(CQ,\s\up12(→))方向相反，所以eq\o(BP,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，即eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→)).18．(本小題滿分12分)如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，試作出下列向量，并分別求出其長度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.[解](1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，所以延長AC到E，使|eq\o(CE,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|.則a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up12(→))，且|eq\o(AE,\s\up12(→))|＝2eq\r(2).所以|a＋b＋c|＝2eq\r(2).(2)連接BD，作eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，連接CF，則eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))，而eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))，且|eq\o(DF,\s\up12(→))|＝2.19．(本小題滿分12分)設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(3,0)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(m,3)．(1)當(dāng)m＝8時(shí)，將eq\o(OC,\s\up12(→))用eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))表示；(2)若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件．[解](1)當(dāng)m＝8時(shí)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(8,3)，設(shè)eq\o(OC,\s\up12(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up12(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up12(→))，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3)，))∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝－3eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up12(→)).(2)若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則有eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))不共線，又eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，則有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.20．(本小題滿分12分)設(shè)e1，e2是正交單位向量，如果eq\o(OA,\s\up12(→))＝2e1＋me2，eq\o(OB,\s\up12(→))＝ne1－e2，eq\o(OC,\s\up12(→))＝5e1－e2，若A，B，C三點(diǎn)在一條直線上，且m＝2n，求m，n的值．[解]以O(shè)為原點(diǎn)，e1，e2的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy(圖略)，則eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，m)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(n，－1)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(5，－1)，所以eq\o(AC,\s\up12(→))＝(3，－1－m)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(5－n,0)，又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在一條直線上，所以eq\o(AC,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→))，所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，與m＝2n構(gòu)成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,,m＝2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))21．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up12(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up12(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三點(diǎn)共線．(1)求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up12(→))的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．[解](1)eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(AE,\s\up12(→))＝keq\o(EC,\s\up12(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,λ＝k－1，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(EC,\s\up12(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→)).設(shè)A(x，y)，則eq\o(AD,\s\up12(→))＝(3－x,5－y)，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up12(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即