2021-2022學年吉林省長春市東北師大慧仁實驗學校九年級（上）

期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24分）

1.（3分）下列計算正確的是（）

A.44-72=2B.V3+V2=V5c.V（-2）2=-2d-顯心=。

2.（3分）關于x的一元二次方程（〃z-1）/+5》+/2-3%+2=0,常數(shù)項為0,則機值等于

（）

A.1B.2C.1或2D.0

3.（3分）下列立體圖形中，俯視圖與主視圖不同的是（）

OQ

A.L____1/正方體B.V--------V圓柱

A。

C.―/圓錐D.、一球

4.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,N4=30°,直線“〃6,頂點C在直線b上，直

線。交A8于點。，交AC與點E,若/1=145°,則N2的度數(shù)是（）

5.（3分）在納木錯開展的第二次青藏高原綜合科學考查研究中，我國自主研發(fā)的系留浮空

器于5月23日凌晨達到海拔7003米的高度.這一高度也是已知的同類型同量級浮空器

駐空高度的世界紀錄.數(shù)據(jù)7003用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.7X104B.70.03X102C.7.003X103D.7.003X104

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查

B.甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲2=3,$乙2=%說明乙的跳遠成績比甲穩(wěn)定

C.一組數(shù)據(jù)2,2,3,4的眾數(shù)是2,中位數(shù)是2.5

D.可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生

8.（3分）如圖，點A,8在反比例函數(shù)y=［（x>0）的圖象上，點C,￡）在反比例函數(shù)y

X

=區(qū)（k>0）的圖象上，AC//BD//y^,已知點A,B的橫坐標分別為1,2,△OAC與

X

△A8O的面積之和為旦，則人的值為（）

2

A.4B.3C.2D.2

2

二、填空題（本大題共5小題，共18分

9.（3分）因式分解：a2-4=.

10.（3分）關于x的方程7-2=0有一個根是-2,則機=.

11.（3分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，其上分別標有數(shù)字1,2,4,8.隨

機摸取一個小球后不放回，再隨機摸取一個小球，則兩次取出的小球上數(shù)字之積等于8

的概率是.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，與△OEF是以坐標原點0為位似中心的位

似圖形，且點A、。均在x軸正半軸上.若點A坐標為（1,0）,AB=L5,DE=4.5,則

點D的坐標為.

13.（3分）如圖，小明在4時測得某樹的影長為3米，B時又測得該樹的影長為12米，若

兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為米.

三、計算題（本大題共10小題，共78分）

14.（6分）計算：cos30°-2（IT-1）°+（A）1-tan600.

2

15.（6分）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋▁-2）2=2X-4.

2

16.（7分）先化簡三聲+（x-2-紅里），然后從-2,2,5中選取一個的合適的數(shù)作

X2-4X+2

為x的值代入求值.

17.（8分）如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,C￡＞是斜邊AB的中線，過點C、。分別作

CE//AB,DE〃AC交于點E,連結(jié)BE.

（1）求證：四邊形CDBE是菱形.

（2）若AB=10,tanA=旦，則菱形CCBE的面積為.

18.（8分）疫情期間，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、8兩種型號的電腦“手寫板”，其進價、售

價和每日銷量如表所示:

進價（元/個）售價（元/個）銷量（個/日）

A型400600200

B型8001200400

根據(jù)市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對B型手寫板提高售價，此時發(fā)

現(xiàn)A型手寫板每降低5元就可多賣1個，B型手寫板每提高5元就少賣1個.銷售時保

持每天銷售總量不變，設其中A型手寫板每天多銷售x個，每天獲得的總利潤為y元.求

y與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍.

19.（9分）某醫(yī)療器械生產(chǎn)廠家的甲、乙兩車間要完成一批生產(chǎn)口罩的任務.如圖折線0A

-A8和折線CD-08分別表示甲、乙生產(chǎn)的數(shù)量y（萬件）與時間x（天）之間的函數(shù)

關系的圖象.

（1）乙車間每天生產(chǎn)萬件，點C的坐標為；

（2）求線段AB對應的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

（3）當乙車間完成任務時，求甲車間還需完成多少萬件.

）'C5件）

Oc12天）

20.（8分）圖①、圖②、圖③都是6X6的網(wǎng)格,每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的

頂點A、B、C均在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格

中按要求作圖.不要求寫出畫法.

:才?丁?:??丁二飛：才?丁?：??「「<fZ：:：

B:；■??B?；??,；??：~…B

乙t1■11t一、C'彳1ttI191、'C'1?_■rt-?

圖①圖②圖③

（1）在圖①中畫出aABC邊BC上的中線AO,則S/xA8￡>=

（2）在圖②中畫出△BEF,點E、F分別在邊A8、BC±,滿足△BEFs^BAC,且54

BEE：SABAC=1：4;

(3)在圖③中畫出△8WM點M、N分別在邊A3、BC±,使得ABMN與ABAC是位

似圖形，且點B為位似中心，位似比為上.(保留作圖痕跡)

3

21.(8分)［教材呈現(xiàn)］如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容.

猜想

如圖，在△ABC中，點。、E分別是AB與AC的中點，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

DE//BC,DE=1.BC.

2

對此，我們可以用演繹推理給出證明.

［定理證明］請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程.

［定理應用］在矩形ABCO中，AB^2AD,4c為矩形ABC。的對角線，點E在邊AB上，

且AE=3BE.

(1)如圖②，點尸在邊C2上，連接EF.若型=上，則EF與AC的數(shù)量關系為.

CF3

(2)如圖③，將線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度a(0°WaW360°),得到線段AE',

連接CE'.點〃為C￡的中點，連接設的長度為如若AB=4,則墳的取

值范圍為.

22.(8分)2020年5月5日，為我國載人空間站工程研制的長征五號運載火箭在海南文昌

首飛成功.運載火箭從地面。處發(fā)射，當火箭到達點A時，地面。處的雷達站測得A。

=4000米，仰角為30。.3秒后，火箭直線上升到達點8處，此時地面C處的雷達站測

得B處的仰角為45°.已知C,。兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度(結(jié)

果精確到1米/秒，參考數(shù)據(jù)：如0.732,&七1.414).

23.(10分)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,點。為邊AC的中點.動

點戶從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P不與

點A、C重合時，連結(jié)PD作點A關于直線尸。的對稱點A',連結(jié)A'￡＞、A'A.設

點P的運動時間為f秒.

(1)線段4。的長為；

(2)用含，的代數(shù)式表示線段BP的長；

(3)當點A'在△A8C內(nèi)部時，求r的取值范圍;

(4)當/A4'。與NB相等時，直接寫出f的值.

2021-2022學年吉林省長春市東北師大慧仁實驗學校九年級（上）

期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，共24分）

1.【考點】二次根式的混合運算.

【分析】根據(jù)二次根式的除法、加減運算法則及二次根式的性質(zhì)逐一求解即可.

【解答】解：A.4+&=2&,此選項錯誤；

B.y與&不是同類二次根式，不能進一步計算，此選項錯誤；

C.1（.2）2=2,此選項錯誤；

D.72-V2=0,此選項正確；

故選：D.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順

序和運算法則.

2.【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義.

【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件及常數(shù)項為0列出方程組，求出機的值即可.

【解答】解：???關于x的一元二次方程（m-1）f+5x+〃?2-3〃?+2=0,常數(shù)項為0,

fm-17t0

<2，

,m-3m+2=0

解得：m—2.

故選:B.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c^O（a,

b,c是常數(shù)且”—0）,特別要注意的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在

一般形式中一叫二次項，限叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次項系數(shù)，

一次項系數(shù)，常數(shù)項.

3.【考點】簡單兒何體的三視圖.

【分析】從正面看所得到的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的

圖象是俯視圖.

【解答】解：A.俯視圖與主視圖都是正方形，故選項A不合題意；

B.俯視圖與主視圖都是長方形，故選項8不合題意；

C.俯視圖是圓，主視圖是三角形，故選項C符合題意；

D.俯視圖與主視圖都是圓，故選項。不合題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了三視圖，關鍵是把握好三視圖所看的方向.屬于基礎題，中考

?？碱}型.

4.【考點】等腰三角形的性質(zhì)：平行線的性質(zhì).

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得N4CB=75°,由三角形外角

的性質(zhì)可得NAEZ）的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得同位角相等，可得結(jié)論.

【解答】M：'：AB=AC,且NA=30°,

.'.NAC8=75°,

在△ADE中，VZ1=ZA+ZAED=145",

AZAED=145°-30°=115°,

'：a//b,

：.NAED=/2+/ACB,

.?.Z2=1I5°-75°=40°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，題目比較基礎，熟練掌握

性質(zhì)是解題的關鍵.

5.【考點】科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中〃為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值210時，w是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負數(shù).

【解答】解：將7003用科學記數(shù)法表示為：7.003X103.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,”為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及"的值.

6.【考點】概率的意義；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；中位數(shù)；眾數(shù)；方差.

【分析】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點：①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準確，但一般

花費多、耗時長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查.②抽樣調(diào)查具有花費少、省時的特點，

但抽取的樣本是否具有代表性，直接關系到對總體估計的準確程度.將一組數(shù)據(jù)按照從

小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

【解答】解：A.了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，4錯

誤；

B.甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲2=3,$乙2=/說明甲的跳遠成績比乙穩(wěn)定，

B錯誤；

C.一組數(shù)據(jù)2,2,3,4的眾數(shù)是2,中位數(shù)是2.5,正確；

D.可能性是1%的事件在一次試驗中可能會發(fā)生，。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了統(tǒng)計的應用，正確理解概率的意義是解題的關鍵.

7.【考點】相似三角形的判定；勾股定理.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點，利用勾股定理求出aABC各邊的長度，求出三邊的比，然后

結(jié)合四個選項即可得解.

【解答】解：設網(wǎng)格的邊長是1,

則AB=4/+12=V2，

22

BC=7I+3=A/10>

AC=722+22=2V2.

：.AB：AC：BC=&：2A/2：A/70=1：2：匹,

4、三邊之比是，2：A/10：35/2^1：2：5/5.故本選項錯誤；

B、三邊之比是，2：4：275=1：2：近,故本選項正確；

C、三邊之比是，2：3：J運W1：2：述,故本選項錯誤；

D、三邊之比是，V5：05：4#1：2：炳,故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，網(wǎng)格圖形的性質(zhì)，分別求出各圖形

的三角形的三邊之比是解題的關鍵，難度不大，但計算比較復雜.

8.【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】先求出點4,8的坐標，再根據(jù)AC〃BO〃y軸，確定點C,點/）的坐標，求出

AC,BD,最后根據(jù)，△OAC與△AB。的面積之和為3,即可解答.

2

【解答】解：???點A,B在反比例函數(shù)了=工(x>0)的圖象上，點A,B的橫坐標分別

X

為1,2,

...點A的坐標為(1,1),點2的坐標為(2,.1),

2

'：AC//BD//y^,

...點C,。的橫坐標分別為1,2,

..?點C,。在反比例函數(shù)y=K(&>0)的圖象上，

X

，點C的坐標為(1,上)，點。的坐標為(2,K),

2

：.AC=k-1,

222

,

.*.SAO14C=—(k-1)X1SAABD=-^—^-X(2-1)

22224

/\OAC與△"/)的面積之和為反，

2

??k--1-+k-1=—3,

242

解得：k=3.

故選:B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，解決本題的關鍵是求出AC，8。的

長.

二、填空題(本大題共5小題，共18分

9.【考點】因式分解-運用公式法.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：a2-4—(a+2)(a-2).

故答案為：(a+2)(a-2).

【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵.

10.【考點】一元二次方程的解.

【分析】把x=-2代入關于的x方程，-皿-2=0,得到關于相的新方程，通過解新

方程來求，〃的值.

【解答】解：把x=-2代入，得

(-2)2(-2)m-2=0,

解得機=-1.

故答案是：-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義.一元二次方程的根就是一元二次方程的

解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然

成立.

11.【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：列表如下

1248

1248

22816

44832

881632

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次取出的小球上數(shù)字之積等于8的有4種結(jié)果，

所以兩次取出的小球上數(shù)字之積等于8的概率為_￡=工，

123

故答案為：1.

3

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識，解題的關鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所

有等可能的結(jié)果列舉出來，難度不大.

12.【考點】位似變換：坐標與圖形性質(zhì).

【分析】先計算出相似比得到位似比，然后根據(jù)以原點為位似中心的對應點的坐標關系

求解.

【解答】解：:△ABC與△OEF的相似比=48：D￡=1.5：4.5=1：3,

.'.△ABC與△OEF的位似比為1：3,

,//\ABC與aOE尸是以坐標原點0為位似中心的位似圖形，

而A（1,0）,

.?.點。的坐標為（3,0）.

故答案為（3,0）.

【點評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中

心，相似比為我,那么位似圖形對應點的坐標的比等于/或-k.

13.【考點】相似三角形的應用；平行投影.

【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：RtAEDC^RtAFDC,進而可得典_=匹；即

DCFD

DC1=ED-FD,代入數(shù)據(jù)可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，作

樹高為CZ）,且NECF=90°,ED=3,FD=12,

易得：RtA￡DC^RtAFDC,

2

有ED^DC,即DC^ED-FD,

DCFD

代入數(shù)據(jù)可得0c2=36,

0c=6,

故答案為6.

【點評】本題考查了通過投影的知識結(jié)合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性

質(zhì)在實際生活中的應用，難度適中.

三、計算題（本大題共10小題，共78分）

14.【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)基；負整數(shù)指數(shù)基；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】首先計算零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值，然后計算乘法，最

后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

【解答】解：cos30°-2（IT-1）°+（工）1-tan60°

2

=2^3.-2X1+2-2ZL

23

=我-2+2-如

23

=近

6

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.另外，有理數(shù)的運算

律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

15.【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先移項，將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關于x的一元一次方

程，分別求解即可得出答案.

【解答】解：；(x-2)2=2X-4,

/.(x-2)2-2(x-2)=0,

則(x-2)(x-4)=0,

'.x-2=0或x-4=0,

解得xi=2,JC2=4.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

16.【考點】分式的化簡求值.

【分析】首先化簡分式時，有公因數(shù)(式)就先提取公因數(shù)(式)，括號里分式的加減法，

先通分，找到最小公分母是x+2,則原式可以化簡為,＜二2)+

(x-2)(x+2)

(x-2)(x+2)-2x+4=上+x(x-2)=注意整個過程中分母不能為0,即x

x+2x+2x+2x~2

(x-2)WO,7-4#0.所以x#±2,x#0.將x=5代入求解得」.

3

【解答】解：原式=—"x-2)_+(x-2)(x+2)-2x+4

(x-2)(x+2)x+2

=x二x(x-2)

x+2x+2

=1

?.,7-4W0,x(x-2)#0

x#±2,

，當x=5時，原式=工.

3

答：原式的值為工.

3

【點評】此題考查了分式的化簡和增根，在計算的時候需要考慮分母不為。這種情況.

17.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；三角形

中位線定理；菱形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可得CD=AD=DB=

AAB,根據(jù)CE〃AB,￡>E〃AC先證明四邊形AZJEC是平行四邊形，可得CE=A￡>,從而

2

得四邊形CDEB是平行四邊形，即可解答；

(2)先在中求出4c和BC的長，然后利用對角線乘積的一半求出菱形的面積

即可.

【解答】(1)證明：???/ACB=90°,CQ是斜邊AB的中線，

:.CD=AD=DB^1AB,

2

\'CE//AB,DE//AC,

/.四邊形ADEC是平行四邊形，

：.CE=AD,

：.CE=DB,

：.四邊形CDEB是平行四邊形，

,:CD=DB,

四邊形CD8E是菱形；

(2)解：VZACB=90°,AB=10,tanA=3,

4

.BC=3

"AC了

.,.設8c=3x,AC=4x,

(4x)2+(3%)2=1。2,

?..x=2或x=-2(舍去)，

ABC=6,AC=8,

V四邊形ADEC是平行四邊形，

：.AC=DE=S,

二菱形COBE的面積=JiBC?DE=」X6X8=24,

22

故答案為：24.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上

的中線，解直角三角形，三角形的中位線定理，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關

鍵.

18.【考點】二次函數(shù)的應用.

【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出x

的取值范圍.

【解答】解：由題意得，y=(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5%)(400-x)

=-10?+800x+200000,(0WxW40且x為整數(shù))，

即y與x之間的函數(shù)關系式是y=-10?+800^+200000,(0WxW40且x為整數(shù)).

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用、解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

19.【考點】一次函數(shù)的應用.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得乙車間每天生產(chǎn)的數(shù)量和點C的坐標；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得線段4B對應的函數(shù)表達式；

(3)將x=2代入(2)中的函數(shù)解析式求出相應的y的值，再用15減去此時的y值即

可求解.

【解答】解：(1)由圖可得，

乙車間每天生產(chǎn)：(15-5)+(2-1)=10(萬件)，

點C的橫坐標為：1-5+10=0.5,

，點C的坐標為(0.5,0),

故答案為：10,(0.5,0)；

(2)設線段AB對應的函數(shù)表達式為

VA(0.5,5),B(3,15),

.[0.5k+b=5

13k+b=15

解得：==4,

lb=3

線段A8對應的函數(shù)表達式為y=4x+3(0.5<x<3)；

(3)當x=2時，y=4X2+3=ll,

此時甲車間還需完成：15-11=4(萬件)，

答：當乙車間完成任務時，甲車間還需完成4萬件.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的

條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.【考點】作圖-位似變換.

【分析1(1)取BC的中點Q,連接AQ,線段AQ即為所求.

(2)分別取AB,8c的中點E,F,連接EF,線段EF即為所求.

(3)取格點J,K,連接JK交AB于點M,取點N,使得BN=』BC,連接MN,線段

3

MN即為所求.

【解答】解：(1)如圖①中，線段AO即為所求.5A4BD=AX3X4=6,

2

故答案為6.

(2)如圖②中，線段EF即為所求.

(3)如圖③中，線段MN即為所求.

圖①圖②

【點評】本題考查作圖-位似變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理

解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

21.【考點】四邊形綜合題.

【分析】定理證明：如圖①中，延長OE到F,使FE=DE,連接CF,利用全等三角形

的性質(zhì)證明四邊形BDFC是平行四邊形即可解決問題；

定理應用：(1)如圖②中，取AB,BC的中點M,N,連接MN.直接應用三角形的中位

線定理解決問題即可；

(2)如圖③中，延長CB到T,使C8=BT,連接AT,TE'.由三角形的中位線定理可

知,求出7E'的取值范圍即可解決問題.

2

【解答】解：定理證明：如圖①中，延長。E到凡使FE=DE,連接CF,

圖①

在和△CFE中,

'AE=CE

<ZAED=ZCEF>

DE=FE

A/\ADE^/\CFE(SAS),

ZA=ZECF,AD=CF,

J.CF//AB,

又,：AD=BD,

：.CF=BD,

四邊形BCFD是平行四邊形,

J.DF//BC,DF=BC,

?：FE=DE,

：.DE=1-DF,

2

J.DE//BC,DE=LC；

2

定理應用：(1)如圖②中，取A8,8c的中點M,N,連接MN.

圖②

'：AE=3BE,更。，

CF3

：.BE=1.AB,BF=^BC,

44

"：AM=BM=1AB,CN=BN=LBC,

22

:.ME=EB,FN=FB,

:.MNHAC,MN=LC,EF//MN,EF=^MN,

22

：.EF//AC,EF=^AC.

4

故答案為：EF//AC,EF=」MC；

(2)如圖③中，延長CB到7,使CB=BT,連接AT,TE'.

2

?..四邊形A8C。是矩形，

，AD^BC,

\'AB=4,AB=2AD,

:.BC=AD=BT=2,

,4r=VAB2+BT2=2遙，

\'AE=3BE,48=4,

：.AE=AE'=3,

，2遙-3WTE'W2代+3,

:.炳-aWBHW娓+3,即正-旦

2222

故答案為：y-3。忘遙+3.

22

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的中位線定理的證明以及應用，全等三

角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是

學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

22.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】設火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可得AB=3x（米），在Rt

△AOO中，NAOO=30°,AD=4000米，可得A0=2000米，00=2000禽米，在Rt

△BOC中，ZBCO=45Q,可得BO=OC,即可得2000+3x=2000?-460,進而解得

x的值.

【解答】解：設火箭從A到8處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可知：

AB=3x（米），

在RtZ\A￡>0中，ZADO=30°,A￡>=4000米，

.?.40=2000米,

.,.00=2000百米，

：CD=460米，

/.OC=OD-CD=(200073-460)米，

在RtZkBOC中，ZBCO=45°,

：.BO=OC,

VOB=OA+AB^(2000+3x)米，

.*.2000+3x=2000V3-460,

解得xg335(米/秒).

答：火箭從A到B處的平均速度為335米/秒.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角

俯角定義.

23.【考點】幾何變換綜合題.

【分析】(1)由勾股定理求解.

(2)分類討論點尸在及2C上運動兩種情況.

(3)分別求出點4落在AB與BC上兩個臨界值求解.

(4)分類討論點P在A8及BC上兩種情況，通過添加輔助線求解.

【解答】解：(1)在RtZXABC中，由勾股定理得：

AC=VAB2-BC2:=4,

：.AD=1AC=2.

2

故答案為：2.

(2)當0ctW5時，點P在線段AB上運動，PB=AB-AP=5-t,

當5<f<8時，點P在BC上運動，PB=t-5.

綜上所述，PB=<5-t(0<t<5)

t-5(5<t<8)

(3)如圖，當點4落在A8上時，DPLAB,

D

/A,

BC

"：AP=t,AD=2,COSA=A,

5

...在RtZXAP。中，cosA=-^.=A=ji

AD25

5

如圖，當點4落在BC邊上時，DP±AC,

.,.在RtZ\AP￡>中，cosA=辿=Z=_l

APt5

2

如圖，點4'運動軌跡為以。為圓心，A。長為半徑的圓上,

B

互時，點A'在△ABC內(nèi)部.

52

(4)如圖，過點尸作PELAO于點E,

當0Vf<5時，

ZAA'D^ZB^ZA'AD,

ZADP+ZA'AD=ZSAC+ZB=90°,

ZADP=ABAC,

：.AE=^AD^l,

2

4

如圖，當5VfV8時,

ZAA'D^NB=ZA'AD,

NBAC+NB=90°,

：.ZBAC+ZA'AD=90°,

：.PE//BA,

：.NDPC=ZB,

.在RtZSPCC中，CQ=>|>AC=2，CP=8-t,tanZDPC=-^,

.?.tanZDPC=^.=-?_=A,

PC8-t3

?=13

2

綜上所述，，=s或ai

42

【點評】本題考查三角形的綜合問題，解題關鍵是熟練掌握特殊三角形的性質(zhì)及解直角

三角形的方法，通過分類討論求解.

考點卡片

1.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成ax10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：“X10",其中

〃為正整數(shù)

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位

數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此

法表示，只是前面多一個負號.

2.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

3.因式分解-運用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2—(a+6)(a-b)；

完全平方公式：a1±2ab+b1—(?±/>)2；

2、概括整合:

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號

相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）

的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止.

4.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

5.零指數(shù)幕

零指數(shù)累：a°=l（a#0）

由0m可推出a°=l（a￥0）

注意：0°#1.

6.負整數(shù)指數(shù)累

負整數(shù)指數(shù)累：dp（a#0,p為正整數(shù)）

注意：①

②計算負整數(shù)指數(shù)塞時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)寨的意義計算，避免出現(xiàn)（-3）一2=（-3）

X（-2）的錯誤.

③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

7.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式”?

（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當

的解題途徑，往往能事半功倍.

8.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”;

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

9.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,也是一元二次方程o?+bx+c

=0（?^0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axr+bxx+c—O（aWO）,ax^+bxi+c—O（aWO）.

10.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

11.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱

坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離

求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

12.一次函數(shù)的應用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法：②分段函數(shù)思想的應用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關鍵.

13.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

比例系數(shù)k的幾何意義

在反比例函數(shù)y=K圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成

x

的矩形的面積是定值因.

在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角

形的面積是白用，且保持不變.

2

14.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)）=好」為常數(shù)，k#0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x,y）的橫縱坐標的積是定值k,即犯=公

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在y="x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和），軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的

面積是定值因.

15.二次函數(shù)的應用

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關鍵是通過題意,

確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有

意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾

何中的最值的討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中

的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決

一些測量問題或其他問題.

16.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

17.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

18.直角三角形斜邊上的中線

（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜

邊的中點）

（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

19.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,h,斜邊長為C,那么“2+82=02.

（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+62=02的變形有：a=^c2_b2,b=Jc2-a2及

（4）由于+廿=c.2>“2,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

20.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言：

如圖，I,點。、E分別是A8、AC的中點

：.DE//BC,DE=LBC.

2

（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改

變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形.

(2)菱形的中點四邊形是矩形(對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線

相等的四邊形的中點四邊形定為菱形.)―(3)菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首

先它是平行四邊形，但它是