第2講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式課標要求考情分析1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx(x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．2．借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式(α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的正弦、余弦、正切，eq\f(π,2)±α的正弦、余弦).考查利用同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式解決條件求值問題，常與三角恒等變換相結合起到化簡三角函數(shù)關系的作用，強調(diào)利用三角函數(shù)公式進行恒等變換的技巧以及基本的運算能力.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商數(shù)關系：tanx＝eq\f(sinx,cosx)(其中x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．2．三角函數(shù)的誘導公式組數(shù)一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α常用結論1．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．2．同角三角函數(shù)的基本關系式的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).【小題自測】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(忽視角的范圍致誤)已知cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，則tanα＝()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(\r(5),2)D．±eq\f(2\r(5),5)解析：選C.因為cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，所以cosα＝－eq\f(2,3)，則α為第二或第三象限角，所以sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(\r(5),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq\f(\r(5),2).3．已知sinαcosα＝eq\f(1,2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝()A．2B.eq\f(1,2)C．－2D．－eq\f(1,2)解析：選A.tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.4．sin2490°＝________；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝________．解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)5．(教材改編)已知α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(1,2)，則cosα＝________．解析：因為α是第二象限的角，所以sinα>0，cosα<0，由tanα＝－eq\f(1,2)，得sinα＝－eq\f(1,2)cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中，得eq\f(5,4)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(2\r(5),5).答案：－eq\f(2\r(5),5)考點一同角三角函數(shù)的基本關系式(多維探究)考向1“知一求二”問題已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)【解析】由題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).【答案】D利用同角三角函數(shù)的基本關系式求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系式的正用、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關系式本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結合同角三角函數(shù)的基本關系式列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的．考向2sinα，cosα的齊次式問題(2021·新高考卷Ⅰ)若tanθ＝－2，則eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝()A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(6,5)【解析】因為tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(4－2,4＋1)＝eq\f(2,5).【答案】C關于sinα與cosα的齊n次分式或齊二次整式的化簡求值的解題策略已知tanα，求關于sinα與cosα的齊n次分式或齊二次整式的值．(1)問題：所求式子為關于sinα與cosα的齊n次分式．方法：將分子、分母同除以cosnα，轉化為關于tanα的式子，代入求解即可．當分子或分母中含常數(shù)時，可利用1＝sin2α＋cos2α將式子轉化為齊次式．(2)問題：所求式子為關于sinα與cosα的齊二次整式．方法：將這個整式看作分母為1的分式，然后將分母1替換成sin2α＋cos2α，再將分子、分母同時除以cos2α轉化為關于tanα的式子，代入求解即可．當求sinα±cosα時，可將該式平方，轉化為齊二次整式求出結果后，再開方得出該式的值．考向3sinα±cosα，sinαcosα之間的關系(1)(巧用結論2)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)(2)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\r(1－2sin（π＋θ）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)))＝________．【解析】(1)因為eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|,所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)因為eq\r(1－2sin（π＋θ）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)))＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\r(（sinθ－cosθ）2)＝|sinθ－cosθ|,又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinθ－cosθ>0，所以原式＝sinθ－cosθ.【答案】(1)B(2)sinθ－cosθsinα±cosα與sinαcosα關系的應用技巧(1)通過平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之間可建立聯(lián)系，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)．(2)對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，可以知一求二．【對點訓練】1．已知tanα＝－eq\f(3,4)，則sinα(sinα－cosα)＝()A.eq\f(21,25)B.eq\f(25,21)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)解析：選A.sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)，將tanα＝－eq\f(3,4)代入得，原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋1)＝eq\f(21,25).2．已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為________．解析：由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，且sinα>0，cosα<0，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).答案：－eq\f(\r(10),5)考點二誘導公式的應用(師生共研)(1)sin(－1200°)cos1290°＝________．(2)已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)＝________．【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4).(2)由題意可知tanθ＝3，原式＝eq\f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－3,1－tanθ)＝eq\f(3,2).【答案】(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(3,2)(1)應用誘導公式的一般思路①化負角為正角，化大角為小角，直到化到銳角；②統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，盡可能的同角名少；③角中含有加減eq\f(π,2)的整數(shù)倍時，用公式去掉eq\f(π,2)的整數(shù)倍．(2)熟記常見的互余和互補的角①常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等．②常見的互補的角：eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．【對點訓練】1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3)D．－eq\f(2\r(2),3)解析：選A.因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(1,3).2．化簡：eq\f(tan（π＋α）cos（2π＋α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos（－α－3π）sin（－3π－α）).解：原式＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π＋（α＋\f(π,2)）)),cos（3π＋α）[－sin（3π＋α）])＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),－cosαsinα)＝eq\f(tanαcosαcosα,－cosαsinα)＝－eq\f(tanαcosα,sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.[A級基礎練]1．計算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1 B．1C．0 D.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：選A.原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanα＝－eq\f(3,4)，則sin(α＋π)＝()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)解析：選B.由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝－\f(3,4)，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得sin2α＝eq\f(9,25)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，因此有sinα＝eq\f(3,5)，sin(α＋π)＝－sinα＝－eq\f(3,5).3．已知角α是第二象限角，且滿足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，則tan(π＋α)＝()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－1解析：選B.由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，所以cosα＝－eq\f(1,2)，因為角α是第二象限角，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，所以tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\r(3).4．已知tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，則eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,7)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,7)解析：選A.由題意得tanα＝eq\f(2,3).原式＝eq\f(cosα－3sinα,－cosα＋9sinα)＝eq\f(1－3tanα,－1＋9tanα)＝eq\f(1－2,－1＋6)＝－eq\f(1,5).5．當k∈Z時，eq\f(sin（kπ－α）·cos（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π＋α])的值為()A．－1 B．1C．±1 D．與α取值有關解析：選A.當k為奇數(shù)時，原式＝eq\f(sinα·（－cosα）,sinα·cosα)＝－1；當k為偶數(shù)時，原式＝eq\f(－sinα·cosα,－sinα·（－cosα）)＝－1.6．化簡：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))·tan（α＋π）,sin（π－α）)＝________．解析：原式＝－eq\f(cosα·tanα,sinα)＝－eq\f(sinα,sinα)＝－1.答案：－17．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝________.解析：由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)8．已知α為第二象限角，則cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinα·eq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________．解析：因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0.答案：09．求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)·tan4π.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).10．已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.解：由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝eq\f(2cosα－4cosα,5×2cosα＋2cosα)＝－eq\f(1,6).(2)原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq\f(8,5).[B級綜合練]11．已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________．解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)12．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2021)的值為________．解析：因為f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.答案：－313．已知0<α<eq\f(π,2)，若cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)，試求eq\f(2sinαcosα－cosα＋1,1－tanα)的值．解：因為cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)，所以1－2sinαcosα＝eq\f(1,5).所以2sinαcosα＝eq\f(4,5).所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋eq\f(4,5)＝eq\f(9,5).因為0<α<eq\f(π,2)，所以sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5).與cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)聯(lián)立，解得cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5).所以tanα＝2.所以原式＝eq\f(\f(4,5)－\f(\r(5),5)＋1,1－2)＝eq\f(\r(5),5)－eq\f(9,5).14．在△ABC中，(1)求證：cos2eq\f(A＋B,2)＋cos2eq\f(C,2)＝1；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)<0，求證：△ABC為鈍角三角形．證明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，所以coseq\f(A＋B,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2)，所以cos2eq\f(A＋B,2)＋cos2eq\f(C,2)＝sin2eq\f(C,2)＋cos2eq\f(C,2)＝1.(2)由題意知(－sinA)(－cosB)tanC<0，即sinAcosBtanC<0.因為在△ABC中，0<A<π，0<B<π，0<C<π且sinA>0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosB<0，,tanC>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosB>0，,tanC<0，))所以B為鈍角或C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．[C