2021年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一.選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）

1.（4分）若aWb,且次-40+1=0,扶-4什1=0,則一—4一—的值為（）

22

l+al+b

A.AB.1C..4D.3

4

2.（4分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2-x+Ln-1=0有實(shí)數(shù)根，那么加的取值范圍是（）

4

A.m>2B.加，3C.m<5D.mW5

3.（4分）函數(shù)y=K與y=-扇+左�）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

4.（4分）某中學(xué)有一塊長30CT?,寬20c〃?的矩形空地，該中學(xué)計(jì)劃在這塊空地上劃出三分

之二的區(qū)域種花，設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為X"?,則可列方程

為（）

3

B.(30-2x)(20-x)0x20X30

3

C.30x+2X20x=Ax20X30

3

D.(30-2x)(20-x)=2x20X30

3

5.(4分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①abc>0；@4ac<b2；

第1頁(共19頁)

③2a+%>0；④其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（工，-2）；⑤當(dāng)xvJU寸，y隨x的增大而減?。虎轪+b+c

22

6.（4分）若點(diǎn)Z（-1,加）、B（1,w）、C（2,w-1）在同一個(gè)函數(shù)圖象上，這個(gè)函數(shù)

7.（4分）已知二次函數(shù)y=a/+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①時(shí)c>0；

@2a+b>0；③層-4ac>0；（4）d-b+c>0,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

8.（4分）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)（1,1）,第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,0）,第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3,2）,…，按這樣

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2020次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

第2頁（共19頁）

o(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)x

A.(2020,1)B.(2020,0)C.(2020,2)D.(2019,0)

二.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

9.(5分)把多項(xiàng)式4-6a，+9y分解因式的結(jié)果是.

10.(5分)已知工+工=3,求5a+[ab+5b=.

aba-6ab+b

11.(5分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△048和菱形OCQ石的邊OE都在x軸

上，點(diǎn)C在08邊上，S“BD=M，反比例函數(shù)V=K(X>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,則左的

值為_______

12.(5分)如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2”?時(shí)，水面寬4機(jī)，水面下降2m,水面寬

13.(5分)已知直線卜=履(kWO)經(jīng)過點(diǎn)(12,-5),將直線向上平移機(jī)(m>0)個(gè)單位,

若平移后得到的直線與半徑為6的。。相交(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則"？的取值范圍

為_______

三.解答題(共4小題，滿分43分)

14.(5分)計(jì)算：^+|-5|-(A)-l-2tan60°

15.(12分)如圖，已知N8是的直徑，CBUB,。為圓上一點(diǎn)，且ND〃OC,連接

CD,AC,BD,4c與BD交于點(diǎn)M.

第3頁(共19頁)

（1）求證：CD為。。的切線；

（2）若。。=向。，求史的值.

16.（12分）五一假期某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60

座客車，每輛42座比每輛60座客車租金便宜140元，租3輛42座和2輛60座客車租

金共計(jì)1880元

（1）求兩種車租金每輛各多少元？

（2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛（可以坐不滿），總租金不超過3200元，有幾種租

車方案？請選擇最節(jié)省的租車方案.

17.（14分）如圖，過點(diǎn)Z（5,工巨）的拋物線y=ax2+bx的對稱軸是x=2,點(diǎn)8是拋物線

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求b的值；

（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△O8C的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)尸在直線。4下方且在拋物線上，點(diǎn)M、N在拋物線的對稱軸上（點(diǎn)

M在點(diǎn)N的上方），且加N=2,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線04于點(diǎn)0,當(dāng)尸。最大時(shí),

請直接寫出四邊形8QMN的周長最小時(shí)點(diǎn)。、M、N的坐標(biāo).

第4頁（共19頁）

2021年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）

I.（4分）若且『-4a+l=0,Z>2-4*+l=0,則一—4—的值為（）

1+a21+b2

A.AB.IC..4D.3

4

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：a、6是方程x2-4x+l=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

,由根與系數(shù)的關(guān)系可知:ah=\,a+b=4,

/.a2+l=4a,b2+l=46,

原式=-A_+-^-

4a4b

—a+b

4ab

=4

4X1

=1,

故選：B.

2.（4分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2-/L〃-1=0有實(shí)數(shù)根，那么”的取值范圍是（）

4

A.m>2B.m23C.w<5D.m<5

【分析】若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=廬-4近20,建立關(guān)于加的不等

式，求出〃7的取值范圍.

【解答】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程1=0有實(shí)數(shù)根，a=\,b=-1,c=

4

Aw-1,

4

：.A=b2-4ac=（-1）2-4XlX（I411-1）川，

4

解得〃z<5.

故選：D.

3.（4分）函數(shù)y=K與夕=-依2+左"#0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

X

第5頁（共19頁）

【分析】先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是

否一致.

【解答】解：/、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得4>0,則-后V0,拋物線開

口方向向下、拋物線與〉軸的交點(diǎn)在〉軸的正半軸上，本圖象與人的取值相矛盾，故4

錯(cuò)誤.

B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得4>0,則-%<0,拋物線開口方向向下、

拋物線與夕軸的交點(diǎn)在夕軸的正半軸上，本圖象與人的取值相矛盾，故8錯(cuò)誤；

C、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得左<0,則-A>0,拋物線開口方向向上、

拋物線與y軸的交點(diǎn)為y軸的負(fù)半軸上；本圖象與〃的取值相矛盾，故C錯(cuò)誤；

。、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得4>0,則-%<0,拋物線開口方向向下、

拋物線與夕軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故。正確；

故選：D.

4.（4分）某中學(xué)有一塊長30cm,寬20c〃?的矩形空地，該中學(xué)計(jì)劃在這塊空地上劃出三分

之二的區(qū)域種花，設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為xm,則可列方程

3

B.(30-2x)(20-x)=J^X20X30

3

第6頁（共19頁）

C.30X+2X20A-=AX20X30

3

D.(30-2x)(20-x)=2x20X30

3

【分析】根據(jù)空白區(qū)域的面積=▲■矩形空地的面積可得.

3

【解答】解：設(shè)花帶的寬度為x/n,則可列方程為(30-2x)(20-x)=±X20X30,

3

故選:B.

5.(4分)二次函數(shù)y=ar2+bx+c的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①abc>Q；(2)4ac<b2；

③2a+b>0；④其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(工，-2)；⑤當(dāng)x<1寸，歹隨x的增大而減?。虎轪+b+c

22

>0中正確的有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：①由圖象開口可知：a>0,c<0,

_L>o,

2a

：.b<0,

.'.abc>0,故①正確；

②由圖象可知：△>(),

b2-4ac>0,

b2>4ac,故②正確；

③拋物線與x軸交于點(diǎn)4(-I,0),B(2,0),

拋物線的對稱軸為：x=L,

2

-^-<1,

2a

：.2a+h>0,

故③正確;

第7頁(共19頁)

④由圖象可知頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)小于-2,

故④錯(cuò)誤；

⑤由③可知拋物線的對稱軸為x=工，

2

，由圖象可知：時(shí)，y隨著X的增大而減小,

2

故⑤正確；

⑥由圖象可知：x=l時(shí)，y<0,

a+6+cVO,

故⑥錯(cuò)誤；

故選：B.

6.(4分)若點(diǎn)/(-1,加)、B(1,加)、C(2,w-1)在同一個(gè)函數(shù)圖象上，這個(gè)函數(shù)

【分析】由點(diǎn)4(-1,m),8(1,"?),C(2,to-1)在同一個(gè)函數(shù)圖象上，可得/與

8關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，繼而求得答案.

【解答】解：,?,點(diǎn)4(-1,m),B(1,/?),

與8關(guān)于y軸對稱，故Z,。錯(cuò)誤；

B(1,),C(2,w-1),

...當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，故8正確，C錯(cuò)誤.

故選：B.

7.(4分)己知二次函數(shù)y=af+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①阪>0；

②2a+6>0；(3)b2-4ac>0；@a-b+c>0,其中正確的個(gè)數(shù)是()

第8頁(共19頁)

【分析】由拋物線的對稱軸的位置判斷/的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，

然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【解答】解：①???拋物線對稱軸是夕軸的右側(cè)，

???與y軸交于負(fù)半軸，

Ac<0,

/.abc>Of

故①正確；

@va>o,x=-_L<i,

2a

:.-b<2a,

：.2a+h>0,

故②正確；

③?..拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

/.b2-4ac>0,

故③正確；

④當(dāng)x=-1時(shí)，y>0,

??a-b+c>0,

故④正確.

故選：D.

8.（4分）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)（1,1）,第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,0）,第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3,2）,…，按這樣

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2020次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

第9頁（共19頁）

【分析】分析點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找到循環(huán)規(guī)律即可.

【解答】解：點(diǎn)P坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以看做每運(yùn)動(dòng)四次一個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)向右移動(dòng)4個(gè)

單位，則2020=505X4,

所以，前505次循環(huán)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)尸共向右運(yùn)動(dòng)505X4=2020個(gè)單位，且在x軸上，

故點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2020,0).

故選：B.

二.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

9.(5分)把多項(xiàng)式x2y-6xy+9y分解因式的結(jié)果是y(x-3)2.

【分析】原式提取乃再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=y(x2-6x+9)=y(x-3)2,

故答案為：y(x-3)2

10.(5分)己知工+工=3,求5a+7ab+5b=-歿.

aba-6ab+b3

【分析】由工+工=3知紀(jì)旦=3,即”+方=3融，整體代入到原式5(a+b)+7ab,計(jì)算可

abab(a+b)-6ab

得.

【解答】解：?.?工+工=3,

ab

.?.四=3,

ab

則a+b=3ab,

所以原式=5(a+b)+7ab

(a+b)-6ab

=5X3ab+7ab

3ab~6ab

=22ab

-3ab

=-22,

3

第10頁(共19頁)

故答案為：-22

3

11.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△0N8和菱形OC0E的邊04,OE都在X軸

上，點(diǎn)C在。8邊上，SyBD=M，反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,則k的

值為不

E0Ax

【分析】連接由△0/8是等邊三角形，得到/力。8=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到NDEO=NNO8=60°,推出△DE。是等邊三角形，得到/。。后=/8/。=60°,得

至IJO?！?8,求得麋8。。=S.。。，推出&4OB=SyB0=F，過8作BHLO4于”,由

等邊三角形的性質(zhì)得到。，=4",求得SAOB“=返，于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接

,:叢OAB是等邊三角形，

AZAOB=60°,

;四邊形。CDE是菱形，

：.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

：./\DEO是等邊三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

：.OD//AB,

??S&BDO—S/^AODf

,**S四邊形力500=S4/￡)o+S^ABD=S&BDO+S4AOB，

:?SAAOB=S叢ABD=yf39

過8作。力于H,

：?OH=AH,

:?SAOBH=^^-，

第11頁（共19頁）

:反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,

X

.?"的值為我，

故答案為：V3-

12.（5分）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2〃,時(shí)，水面寬4〃?，水面下降2〃i,水面寬

度增加（4后-4）m.

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=-2代

入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過縱軸y通過中點(diǎn)0且通過C

Ay

x

點(diǎn)，則通過畫圖可得知。為原點(diǎn),

拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過48兩點(diǎn)，。4=。8=工18=2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)

.2

為（0,2）,

通過以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式、=奴2+2,其中。可通過將4點(diǎn)坐標(biāo)（-2,0）代入拋物線解

析式可得出：a=-0.5,

所以拋物線解析式為y=-0.5，+2,

當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-2時(shí)，對應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩

第12頁（共19頁）

點(diǎn)之間的距離，

可以通過把夕=-2代入拋物線解析式得出：

-2=-0.5X2+2,

解得：x=±2&,所以水面寬度增加到4、歷米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（4、歷-4）

米，

故答案為：4,\/2-4.

13.（5分）已知直線>=丘（%W0）經(jīng)過點(diǎn)（12,-5）,將直線向上平移m（〃7>0）個(gè)單位，

若平移后得到的直線與半徑為6的。。相交（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則”的取值范圍為_Q

2

【分析】利用待定系數(shù)法得出直線解析式，再得出平移后得到的直線，求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定解答.

【解答】解：把點(diǎn)（12,-5）代入直線了=去得，

-5=12左，

由了=平移機(jī)（小>0）個(gè)單位后得到的直線/所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為N=-&

1212

（加>0）,

設(shè)直線/與X軸、y軸分別交于點(diǎn)力、B,（如下圖所示）

當(dāng)x=0時(shí)，y=m；當(dāng)y=0時(shí)，工=衛(wèi)切，

5

??A（0）,B（0,m）,

5

即。4=基"，OB=m；

5

在中，

/I5=VOA2-K）B2=^^m2+m2=y-n>>

過點(diǎn)。作ODLAB于D,

'：S&ABO=^OD*AB=?OB,

一22

...IJOD?里，?=LxUmXrn,

2525

V,M>0,解得

第13頁（共19頁）

由直線與圓的位置關(guān)系可知空1r<6,解得0<,"V』3.

132

故答案為：0</<工3.

三.解答題（共4小題，滿分43分）

14.（5分）計(jì)算:Vl2+I_5l-（y）1-2tan600

【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)基法則，以及特殊角

的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=2^^5-2-2我=3.

15.（12分）如圖，已知是00的直徑，CB1.AB,。為圓上一點(diǎn)，且NO〃OC,連接

CD,AC,BD,4C與8。交于點(diǎn)M.

（1）求證：CD為。。的切線；

（2）若8=揚(yáng)。，求史的值.

【分析】（1）連接。。，設(shè)0C交8。于K.想辦法證明△0DC絲ZsOBC（SSS）即可解

決問題.

（2）由。。=揚(yáng)。，可以假設(shè)力。=“，CO=?,設(shè)KC=b.由△CDKs^c。。，推

出生=里，推出雯匕=/_整理得：2（互）2+（-L）-4=0,解得包=運(yùn)二或

OCCD±a+bV2aaaa4

一扇-1（舍棄），由此即可解決問題.

4

【解答】（1）證明：連接0D，設(shè)0C交8。于K.

,：AB是直徑,

第14頁（共19頁）

AZADB=90°,

C.ADLBD,

U：OC//AD,

：?OC1BD,

:.DK=KB,

：?CD=CB,

?：OD=OB,OC=OC,CD=CB,

：./\ODC^/\OBC(SSS),

：.ZODC=ZOBC,

U：CBLAB.

：.ZOBC=90°,

：.ZODC=90°,

：.OD±CDf

???C￡＞是OO的切線.

(2)解：???。0=揚(yáng)。，

???可以假設(shè)ZQ=a,CQ=，示，設(shè)KC=b.

■:DK=KB,AO=OB,

???OK=LD=L,

22

VZDCK=ZDCO,ZCKD=ZCDO=90°,

???△CQKs/XCO。，

.CD=CK

*,0CCD，

...近a_b

ya+b&a

整理得：2(k)2+(k)-4=0,

aa

解得_L=V33-lng-V33-l(舍棄)，

a44

°：CK〃AD,

?CM=CK=b=V^§-l

AMADa4

第15頁（共19頁）

16.(12分)五一假期某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60

座客車，每輛42座比每輛60座客車租金便宜14()元，租3輛42座和2輛60座客車租

金共計(jì)1880元

(1)求兩種車租金每輛各多少元？

(2)若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，總租金不超過3200元，有幾種租

車方案？請選擇最節(jié)省的租車方案.

【分析】(1)設(shè)42座客車租金x元/輛，60座客車租金(x+140)元/輛，根據(jù)題意列出

方程解答即可.

(2)根據(jù)租用的8輛客車所載的總?cè)藬?shù)應(yīng)大于等于師生的總?cè)藬?shù)和所需的費(fèi)用應(yīng)比單獨(dú)

租用車輛的費(fèi)用少，列出不等式組進(jìn)行求解，然后分類討論.

【解答】解：(1)設(shè)42座客車租金x元/輛，60座客車租金(x+140)元/輛，

根據(jù)題意，得：3x+2(x+140)=1880,

解得：x=320

答：42座客車租金320元/輛，60座客車租金460元/輛；

(2)設(shè)租42座客車加輛，則60座客車(8-機(jī))輛，

根據(jù)題意得：42m+60(8-w)-385,320m+460(8-m)<3200,

解得：

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???m為整數(shù)，.?.用的值可以是4、5,即有2種方案；

設(shè)總費(fèi)用為W,則320m+460(8-加)=-140機(jī)+3680,

；力隨山的增大而減小大，...當(dāng)加=5時(shí),〃取得最小值，最小值為2980,

17.(14分)如圖，過點(diǎn)Z(5,-1§.)的拋物線的對稱軸是x=2,點(diǎn)8是拋物線

4

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求a、b的值；

(2)當(dāng)△SCO是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；

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（3）設(shè)點(diǎn)尸在直線0A下方且在拋物線y=a/+6x上，點(diǎn)M、N在拋物線的對稱軸上（點(diǎn)

/在點(diǎn)N的上方），且A/N=2,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線04于點(diǎn)0,當(dāng)尸。最大時(shí),

請直接寫出四邊形8QMN的周長最小時(shí)點(diǎn)。、M、N的坐標(biāo).

求得八6的值；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,〃?）.由于沒有指明直角△8C。中的直角，所以需要分類討論:

當(dāng)NCBD=90°、NCDB=90°、NBCD=90°時(shí)，利用勾股定理列出關(guān)于加的方程，

通過解方程求得用的值；然后利用三角形的面積公式解答；

（3）利用待定系數(shù)法確定直線。/解析式為丫/^.由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間

的距禺公式求得：PQ=*X-（*1"X2-3X）=—1"X2+_^_X=I|_（X~^_）2T|_，所以利用二

次函數(shù)最值的求得推知：當(dāng)尸0最大時(shí);線段8。為定長.又因?yàn)镸N=2,所以要使四

邊形8QMN的周長最小，只需0M+8N最小.利用軸對稱-最短路徑問題得到點(diǎn)0.最

后利用方程思想解答.

【解答】解：⑴???過點(diǎn)A（5,疊）的拋