二次函數壓軸題一一線段問題解析

類型一：距離最值

常見模型

1.“變動的兩線段之和的最小值”時大都應用“兩點之間的連線中，線段最短”這一模型.

2.“變動的兩線段之差的最大值”時大都應用“三角形兩邊之差小于第三邊”這一模型.

1.如圖，拋物線y=—[v+Av+c的圖象過點力(4,0),8(—4,—4),且拋物線與y軸交

于點G連接46,BC,AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線對稱軸上的點，求△蹴周長的最小值及此時點。的坐,標；

答案：(l)y=一工/+2%+2；(2?)2713+6V2

42

2.如圖，拋物線y=-f+8廣c與x軸交于4、6兩點(力在8的左側)，與尸軸交于點兒,過

力點的直線/：與y軸交于點C,與拋物線y=-的另一個交點為〃，已

知/(-I,0),D(5,-6),。點為拋物線y--x2+bx+c上一動點(不與/、〃重合).

(1)求拋物線和直線/的解析式；

(2)當點戶在直線/上方的拋物線上時，過。點作小'〃x軸交直線,于點反照PF"y

軸交直線/于點E求儂加的最大值；

答案(1)y=-x2+3x+4；(2)當x=2時，其最大值為18；

3.如圖，拋物線y=af+bx+c與x軸交于點力(-1,0),點8(-3,0),宜OB=OC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上兩點M,M點M的橫坐標為以，點/V的橫坐標為碼4.點，是拋物線上”,

4之間的動點，過點。作y軸的平行線交.腸V于點發(fā)求施的最大值;

(2)4

4.如圖，拋物線y=ax+bx+c的圖象過點］(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得△必。的周長最小，若存在，請求出點產

請說明理由;

答案(1)y=_x2+2X+3；(2)p(l,2),V10+3>/2

5.如圖，拋物線y=-Lf+gx+c過點/(3,2),且與直線y=-#■工交于8、。兩點，點8

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的坐標為(4,m).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點〃為拋物線上位于直線a'上方的一點，過點〃作廢Lx軸交直線以于點瓦點

P為對稱軸上一動點，當線段"的長度最大時，求物為的最小值；

2

答案：(1)y=-lx+x+|;(2)|V5

6.直線y=gx-3與拋物線y=—犬+/zx+c相交于力(/”,-4)和8(4,n)兩點，點戶

是拋物線位于線段45上方異于點兒8的一個動點，過點戶作用Ux軸，交線段4?于點

Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在。點運動過程中，線段圖的長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出

此時0點的坐標；若不存在，請說明理由；

答案(1)y=-x2+|x+5；(2)最大值9

類型二距離和差積關系

利用坐標的幾何意義求距離

1.已知拋物線y—x'-bx+c(b,c為常數，b>0)經過點4(-1,0),點、M(m,0)是x軸

正半軸上的動點.

(I)當6=2時，求拋物線的頂點坐標；

(H)點〃(6,外)在拋物線上，當4仁加,勿=5時，求b的值；

(III)點。(護先)在拋物線上，當揚加2QV的最小值為彎叵時，求6的值.

【解答】解：(I)(1,-4)；(II)3V2-1(III)4

2.拋物線過點/(3,0),6(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點，

點一從。點沿拋物線向4點運動(點—不與點4重合)，過點夕作A9〃y軸交直線4c于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點。在運動的過程中線段如長度的最大值；

(3)在拋物線對稱軸上是否存在點也使/物一加7最大？若存在，請求出點"的坐標，若不

存在，請說明理由.

答案(Dy=7-4x+3.(2)%(3)存在.欣2,-3)

3.拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,-2),點A的坐標是(2,0),P為拋

物線上的一個動點，過點P作PD，x軸于點D,交直線BC于點E,拋物線的對稱軸是直

線x=-1.

(1)求拋物線的函數表達式；