logisic生長模型的適用性研究

1沉降預(yù)測模型地質(zhì)勘探是巖石工程領(lǐng)域的研究主題之一。由于影響因素的復(fù)雜性及參數(shù)選取的問題，基于固結(jié)理論計(jì)算的沉降計(jì)算值往往與實(shí)測值有較大的差異，因此，有必要從前期的沉降數(shù)據(jù)預(yù)測后期沉降及最終沉降量。目前，常用的方法有雙曲線法、指數(shù)曲線法，而雙曲線法和指數(shù)曲線法僅適合施工加載情況下的沉降預(yù)測。近年來，Logistic生長（即verhulst）預(yù)測模型由于能較好地反映全過程的沉降量與時(shí)間的關(guān)系，得到了越來越多的應(yīng)用；但在應(yīng)用Logistic生長模型時(shí)，較少考慮模型的適用范圍和預(yù)測精度等問題。本文結(jié)合工程實(shí)例比較了模型參數(shù)估計(jì)的各種方法，并根據(jù)混沌理論，研究了Logistic生長模型的預(yù)測性能。2地質(zhì)勘探的邏輯生長模型及其特征2.1logistic模型Logistic生長模型（以下簡稱Logistic模型）是一種生長模型，該模型又被稱為Verhulst-Pearl模型。它在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Logistic模型的微分形式為式中s為種群大??；t為時(shí)間；a為瞬時(shí)增長率；K為環(huán)境容納量。式（1）的解，即Logistic模型的積分形式為式（2）所表示是一條S形曲線，被稱為Logistic曲線或Pearl曲線，它反映了事物發(fā)生、發(fā)展、成熟，并趨于飽和（極限）的過程。式（2）中c為待求參數(shù)。2.2沉降速率根據(jù)土力學(xué)理論，地基的總沉降分為：瞬時(shí)沉降、固結(jié)沉降和次固結(jié)沉降三部分。由于瞬時(shí)沉降的存在，沉降曲線不通過原點(diǎn)。固結(jié)沉降和次固結(jié)沉降隨著荷載和時(shí)間的變化而變化，可分為以下幾個(gè)階段：(1）沉降量近乎線性增加階段在剛加載時(shí)，土體尚處于彈性狀態(tài)，隨著荷載的增加，沉降量近乎線性增加；(2）沉降速率不斷增加階段隨著荷載的不斷加大，土體的沉降量和沉降速率不斷增加；(3）沉降速率遞減階段當(dāng)加載不再增加時(shí)，由于固結(jié)尚未完成以及土體的流變，沉降量將繼續(xù)增加，但沉降速率遞減；(4）沉降趨于穩(wěn)定階段從上述地基沉降的過程來看，它與Logistic模型（曲線）所描述的規(guī)律非常相似，因此，可以用Logistic模型來預(yù)測地基沉降隨時(shí)間的變化規(guī)律。本文主要應(yīng)用Logistic曲線來預(yù)測地基沉降量，此時(shí)式（2）中各參數(shù)的含義分別為：s為沉降量；t為時(shí)間；a為瞬時(shí)沉降速率；K為最終沉降量；c為待求參數(shù)。3其他研究中的問題3.1c需要估計(jì)模型Logistic曲線含有的3個(gè)未知參數(shù)K,a,c需要估計(jì)，文獻(xiàn)使用三段和法估計(jì)模型的參數(shù)；文獻(xiàn)使用灰色模型求解法估計(jì)模型的參數(shù)，而本文將在三段和法基礎(chǔ)上，采用非線性回歸法估計(jì)模型參數(shù)。(1）適當(dāng)融入三等分n,nf三段和法要求t是等間隔的，設(shè)樣本為(tj,sj),j=,1,2,n，按順序分為三等分，令r=int(n/)3，若n>3r，可適當(dāng)舍棄1～2個(gè)數(shù)。設(shè)通過一定的變換，可得Logistic曲線的參數(shù)估計(jì)：三段和法只適合3的倍數(shù)的觀測點(diǎn)數(shù)的沉降預(yù)測。(2）灰色建模方法該方法按照灰色系統(tǒng)建模方法，對Logistic模型的微分形式進(jìn)行求解。以累加的s)1(數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的Logistic模型為按照灰色建模的方法式中將參數(shù)a,b代入式（8），解微分方程可得用灰色建模方法建立的Logistic模型具有一次性確定所有參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，用該方法建立的模型往往被稱為灰色Verhulst模型。此求解方法由于計(jì)算簡便，在許多文獻(xiàn)中得到應(yīng)用，但是部分文獻(xiàn)在應(yīng)用灰色Verhulst模型時(shí)，沒有注意其適用范圍。應(yīng)用灰色建模方法來求解，具有一定的局限性，其進(jìn)行預(yù)測的前提是原始數(shù)據(jù)序列變化速度不能很快。當(dāng)模型參數(shù)a較小時(shí)，由偏差導(dǎo)致的誤差較小，在一定的預(yù)測精度范圍內(nèi)，模型可以使用；當(dāng)模型參數(shù)a較大時(shí)，由偏差導(dǎo)致的誤差較大，模型失效，此時(shí)不能使用該模型。本文在工程實(shí)例中將進(jìn)一步說明該問題。(3）gauss-toll迭代算法首先，用三段和法求得Logistic曲線的3個(gè)參數(shù)的初始值K0,a0,c0；然后，用Gauss-Newton迭代算法求得各參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)。此方法可以獲得Logistic模型參數(shù)的最小二乘無偏性估計(jì)。GaussNewton迭代算法可參見文獻(xiàn)。3.2logistic模型Logistic模型的微分形式反映的是非線性系統(tǒng)，可用非線性科學(xué)中混沌理論研究Logistic模型的非線性特性?；煦绗F(xiàn)象是在1963年被美國氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)的?；煦缡谴_定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性?；煦缋碚撗芯勘砻鳎夯煦缈梢远唐陬A(yù)測，而不能長期預(yù)測。下面利用混沌理論研究Logistic模型的預(yù)測性能。如上所述，地基的全過程沉降量可用Logistic模型描述，即把式（12）寫成差分形式，并取?t=1,有式（15）為一維Logistic映射，取λ∈,x∈1時(shí)，模型有意義。Logistic模型的動(dòng)態(tài)行為有三方面的特性：(1）定態(tài)當(dāng)0≤λ≤1，即-1≤a≤0時(shí)，對于n→∞時(shí)，xn→0，即sn→0。因此，Logistic模型實(shí)際應(yīng)用于沉降預(yù)測時(shí)，a必須大于0。當(dāng)1≤λ≤3，即0≤a≤2時(shí)，經(jīng)過迭代出現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)即最終沉降量sn=K時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的。此時(shí)推求的最終沉降量是穩(wěn)定的。(2）周期當(dāng)λ>3時(shí)，即a>2時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)，出現(xiàn)了周期為2,4,6，……等周期化序列，模型具有周期特性。(3）混沌當(dāng)λ≥3.569945672，模型進(jìn)入混沌。當(dāng)模型進(jìn)入混沌區(qū)時(shí)，在應(yīng)用該模型進(jìn)行地基預(yù)測時(shí)，由于參數(shù)取值位于混沌區(qū)內(nèi)，且初始值和計(jì)算過程總存在不可避免的誤差，由混沌定義，在進(jìn)行多步預(yù)測之后得到的結(jié)果已無任何實(shí)際意義。因此，在利用Logistic模型預(yù)測地基沉降量，所求解的參數(shù)a的取值范圍在之內(nèi)，預(yù)測的最終沉降量是穩(wěn)定的。對于Logistic曲線，令t=1,2,…,n時(shí)，可得到一離散序列{s(k)}，可以證明該序列的倒數(shù)增量比此時(shí)稱{s(k)}為倒指數(shù)序列。一般情況下，對于實(shí)測的沉降量序列{s(k)}并不是倒指數(shù)序列，D(k)不會(huì)恒為常數(shù)，而在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)。顯然，D(k)波動(dòng)越大，Logistic曲線預(yù)測精度越低。因此，可用D(k)來判斷Logistic曲線的預(yù)測性能。當(dāng)a取值范圍在之內(nèi)，即實(shí)測沉降序列的D(k)在（e-2,1）之間時(shí)，用Logistic模型預(yù)測的地基最終沉降量是穩(wěn)定的。D(k)波動(dòng)越小時(shí)，Logistic模型預(yù)測精度越高。3.3沉降觀測的最終沉降量根據(jù)所建的Logistic模型式（2），當(dāng)t無限增大時(shí)，模型計(jì)算值趨于極限K。根據(jù)“最終沉降量”的定義，其極限K是最終沉降量。用Logistic模型推算最終沉降量時(shí)，需要加載結(jié)束后的沉降觀測值，即曲線的拐點(diǎn)后的沉降觀測值。這樣，得到的值才比較準(zhǔn)確。4非線性回歸法預(yù)測效果時(shí)好時(shí)壞的原因分析本文選擇2個(gè)實(shí)例用上述方法進(jìn)行分析。實(shí)例1.美國休斯頓貝殼廣場大廈的筒體基底的某點(diǎn)實(shí)測沉降量與時(shí)間的關(guān)系如表1所示。實(shí)例2.某新建15層高層住宅建筑，采用樁-箱基礎(chǔ)，箱基埋深6.0m，基礎(chǔ)底板厚1.2m。沉降觀測結(jié)果如表2所示。分別用上文中所提的三種方法對實(shí)例1,2的數(shù)據(jù)進(jìn)行9點(diǎn)預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖1所示。由圖可見，實(shí)例2中非線性回歸法和灰色求解法預(yù)測效果較好，三段和法預(yù)測效果較差；實(shí)例1中非線性回歸法預(yù)測效果最好，灰色求解法和三段和法預(yù)測效果較差。下面分析灰色求解法預(yù)測效果時(shí)好時(shí)壞的原因。實(shí)例1的沉降序列數(shù)據(jù)變化急劇，模型參數(shù)a較大，由模型偏差導(dǎo)致的誤差較大；實(shí)例2的沉降序列數(shù)據(jù)變化平緩（低增長指數(shù)情況）時(shí)模型偏差很小，由偏差導(dǎo)致的誤差較小。因此，建議采用非線性回歸估計(jì)Logistic模型的參數(shù)，用來預(yù)測地基沉降量。實(shí)例1的非線性回歸法估計(jì)的參數(shù)為K=12.7826,c=28.4757,a=0.6352；實(shí)例2非線性回歸法估計(jì)的參數(shù)為K=38.3016,c=17.8435,a=0.4892。實(shí)例1和實(shí)例2的Logistic模型的參數(shù)a均小于1，因此，所建立的Logistic模型具有定態(tài)特性，模型預(yù)測的最終沉降量是穩(wěn)定的。圖2為實(shí)例1和實(shí)例2的D(k)序列與時(shí)間的關(guān)系，從圖中可見，實(shí)例1的D(k)序列波動(dòng)比實(shí)例2大，因此，采用Logistic模型預(yù)測實(shí)例1和實(shí)例2的地基沉降量，實(shí)例2的預(yù)測效果要好于實(shí)例1。圖3表示實(shí)例1的不同實(shí)測點(diǎn)數(shù)對預(yù)測最終沉降量的影響。由圖可知，4點(diǎn)預(yù)測的最終沉降量偏差較大，6點(diǎn)預(yù)測、8點(diǎn)預(yù)測、9點(diǎn)預(yù)測預(yù)測的最終沉降量偏差較小。分析表1數(shù)據(jù)可知，拐點(diǎn)（加荷結(jié)束處，對應(yīng)沉降速率最大點(diǎn)）位于6、7點(diǎn)之間。因此，用Logistic模型預(yù)測最終沉降量，通常只要知道加載完成后（曲線的拐點(diǎn)后）的沉降觀測值，否則，得到的結(jié)果偏差較大。5采用非線性回歸法估計(jì)活性系統(tǒng)基沉降量(1）常用的灰色Verhulst模型有一定的使用范圍。當(dāng)實(shí)測的沉降序列變化速度較快，模型參數(shù)a較大時(shí)，由偏差導(dǎo)致的誤差較大，模型失效，此時(shí)不能使用該模型。(2）建議采用非線性