[摘要]：求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算，而對(duì)極限的求法也是多種多樣.本文首先闡述了數(shù)列極限以及函數(shù)極限的定義，然后著重歸納分析了求解極限的各種方法，包括四則運(yùn)算求極限法則、利用函數(shù)連續(xù)性求極限、利用兩個(gè)重要極限求極限是求極限的基本方法，夾逼定理和單調(diào)有界定理是重要的定理，而洛必達(dá)法則求極限、利用泰勒公式求極限方法等是針對(duì)某些特殊函數(shù)或數(shù)列的求極限方法，以及一些常用的求極限方法，總共歸納了十三種求極限的主要方法，并針對(duì)每種方法作了詳盡闡述，配以例題，對(duì)各種求極限方法及技巧進(jìn)行了歸納總結(jié)，從而幫助我們掌握極限的求法。函數(shù)求極限是數(shù)學(xué)分析的基本計(jì)算，不定式極限是最常見和最重要的極限類型，其求法多種多樣，變化無窮。本文對(duì)各種常見不定式極限進(jìn)行了分類，并結(jié)合一些具體的例子分析和歸納各類不定式極限的求法，主要討論與型的基本不定式及其所派生的型不定式的極限計(jì)算技巧，能有效的提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。[關(guān)鍵詞]：極限不定式運(yùn)算方法引言極限是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中最基本的概念之一，極限是指變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的極限值。極限的概念最終是由柯西和維爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述的[1]。而在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分析中，幾乎所有的基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上的，例如連續(xù)、微分、積分.極限的求法是研究函數(shù)的一種基本的方法，學(xué)好極限在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中具有重要意義[2]。本文首先闡述了極限的定義，分別敘述了數(shù)列極限的定義以及函數(shù)極限的定義，然后著重分析歸納了求極限的方法，主要有四則運(yùn)算求極限法則、復(fù)合函數(shù)求極限法則、利用兩個(gè)極限準(zhǔn)則求極限、利用兩個(gè)重要極限求極限、利用洛必達(dá)法則求極限、利用等價(jià)無窮小因子替換求極限、利用無窮小量的性質(zhì)求極限、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、利用定積分的定義求極限、利用泰勒公式求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用拉格朗日中值定理求極限十二種方法求極限，在做求解極限的題目時(shí)，必須要透徹清晰的明白以上方法所需的條件，同時(shí)細(xì)心分析，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?，提高做題的準(zhǔn)確率。在求極限的過程中，會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運(yùn)用多種方法求解，我們從中可以得到的其實(shí)是每種方法之間都有一定的聯(lián)系，特殊題型也有特殊方法求解，同時(shí)也可以利用變量替換，化簡等方法轉(zhuǎn)變成另一種方法求解[3]。我們?cè)诮忸}時(shí)，四則運(yùn)算求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限是最基本的方法，洛必達(dá)法則求極限、等價(jià)無窮小因子替換、兩個(gè)重要極限求極限是常用的方法，但是等價(jià)無窮小因子替換定理只能應(yīng)用在乘除因式中，不能在和差中替換，而洛必達(dá)法則求未定式的極限只能在求型和型未定式時(shí)使用，其他形式的未定式求解需要轉(zhuǎn)化成為求型和型未定式的形式，這都是我們需要注意的.求極限必須在極限存在的基礎(chǔ)下進(jìn)行，根據(jù)不同的形式選擇不同的方法，合理利用各種計(jì)算方法，或者可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，以期能夠準(zhǔn)確、簡單、快捷地求出答案[4]。極限是研究分析論的重要工具，是整個(gè)微積分思想的核心。在函數(shù)極限的計(jì)算中，不定式極限的計(jì)算是較為重要的一種類型，其計(jì)算的方法靈活多變。常見的不定式極限有型和型，還有，，，，等類型，其中型和型是最基本和最重要的不定式極限，其它的都可以經(jīng)過簡單的變換，化為型和型的不定式極限加以解決[5]。本文歸納出各類不定式極限的各種求法，并輔以典型例題，以便于學(xué)習(xí)和掌握有關(guān)解題技巧，提高學(xué)習(xí)效率。由于不定式的形式各異,技巧多樣，如何選擇合理方法求不定式極限是難點(diǎn)。為了突破這難點(diǎn),我認(rèn)為有必要對(duì)一些常見的典型的例題進(jìn)行歸納和總結(jié)并找出解決的辦法。第1章求極限的常用方法1.1極限的定義1.1.1數(shù)列極限的定義定義1.1設(shè)為數(shù)列，為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或，讀作“當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，的極限等于或趨于”[6]。1.1.2函數(shù)極限的定義1.當(dāng)?shù)臉O限定義定義1.2設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或[7]。2．當(dāng)?shù)臉O限定義定義1.3設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或[8]。3．當(dāng)?shù)臉O限定義定義1.4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或[9]。4.當(dāng)?shù)臉O限定義定義1.5設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的左極限，記作或.定理1.1定理1.2定理1.3（海因定理）對(duì)任何數(shù)列，有[10]。1.2極限的求法四則運(yùn)算求極限法則利用四則運(yùn)算求極限法則是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各個(gè)函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零.在無法直接使用四則運(yùn)算法則求極限的情況下，需要先化簡變形，之后再利用四則運(yùn)算求極限法則[11]。定理2.1（四則運(yùn)算法則）設(shè)，，則,例1求解=====注若，不存在，則不存在也不為0；，則，均不存在.利用函數(shù)連續(xù)性求極限定義2.1設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義.若則稱在點(diǎn)連續(xù).為引入函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的另一種表述，記.稱為自變量（在點(diǎn)）的增量或改變量.設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為注自變量的增量或函數(shù)的增量可以是正數(shù)，也可以是0或負(fù)數(shù).引進(jìn)了增量的概念后，易見“函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)”等價(jià)于結(jié)論若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)有極限，且極限值等于函數(shù)值.推廣定理設(shè)復(fù)合函數(shù)是由函數(shù)，復(fù)合形成的，并且，則在x=點(diǎn)處的極限存在且[12]例2求解令，則，當(dāng)，時(shí)，于是有=====1.3復(fù)合函數(shù)求極限法則定義2.2對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變?cè)^多的數(shù)學(xué)問題，引入一些新的變量進(jìn)行代換，以簡化其結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到解決問題的目的,這種方法叫做變量代換法.常用的變量代換主要有局部代換、整體代換、三角代換、分式代換、對(duì)稱代換、增量代換等[13].例3求解先做變量替換，令，則，且時(shí)，有所以====1.4利用兩個(gè)極限準(zhǔn)則求極限1．利用夾逼定理求極限定理2.2（夾逼定理）設(shè)有三個(gè)數(shù)列、、，若存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有且，則.例3求解因?yàn)橛忠驗(yàn)樗杂脢A逼定理得利用夾逼定理求極限時(shí)，應(yīng)注意做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，且放大和縮小后所得兩個(gè)數(shù)列（或函數(shù)）的極限相同[14].2.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限定理2.3單調(diào)有界數(shù)列必有極限.結(jié)論單調(diào)遞增數(shù)列有上界必有極限；單調(diào)遞減有下界數(shù)列必有極限.例4設(shè)數(shù)列滿足，，證明存在，并求出.解因?yàn)?，則.假設(shè)，由，可推得，則此數(shù)列有界.又（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，），則有，可見數(shù)列單調(diào)遞減，因此由定理2.4，數(shù)列有極限，設(shè)，在兩邊同時(shí)取極限，，解得.即.解得，即.利用單調(diào)有界定理求極限的一般步驟為第一步證明單調(diào)性；第二步證明有界性；第三步設(shè)出極限，利用遞推公式求出極限值[15].1.5利用兩個(gè)重要極限求極限1.當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí)當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí)，一般可通過三角公式恒等變換，然后利用重要公式來求解.例5求解=====2.函數(shù)中含有冪指函數(shù)時(shí)函數(shù)中含有冪指函數(shù)時(shí)，可通過變換化成的形式，然后利用求解.例6求解===1.6利用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則是以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，只能求型和型未定式時(shí)使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再用洛必達(dá)法則[16].1.型未定式定理2.4設(shè)（1）；（2）在的空心領(lǐng)域中可導(dǎo)，；（3），則例7設(shè)常數(shù)，求解此題屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則來求解.=======2.型未定式定理2.5設(shè)（1）；（2）在的空心領(lǐng)域中可導(dǎo)，；（3），則例8求解此題屬于未定式，可用洛必達(dá)法則求解.==而====3.其他類型未定式極限未定式極限還有等類型.經(jīng)過簡單變換，它們一般均可化為型或型極限[17].例9求解這是一個(gè)型未定式極限，用恒等變形將它化為型的未定式極限，并應(yīng)用洛必達(dá)法則得到例10求解這是一個(gè)型未定式極限.作恒等變形指數(shù)部分的極限是型未定式極限，可先求得從而得到=注當(dāng)洛必達(dá)法則所求極限不存在時(shí)，不能說明原極限不存在.（七）利用等價(jià)無窮小替換求極限在求乘除表達(dá)式的極限時(shí)，如果巧妙地運(yùn)用等價(jià)無窮小因子替換，可大大減少計(jì)算量且求出的極限值不變[18].當(dāng)時(shí)，常用的等價(jià)無窮小替換，，，，，，.例11求解因?yàn)?，而==，所以，==注等價(jià)無窮小因子替換只在極限的乘除運(yùn)算中使用，不能隨意在極限的加減運(yùn)算中使用.利用（八）無窮小量的性質(zhì)求極限定理2.6無窮小量與有界量之積仍為無窮小量.例12求極限解因?yàn)?=0所以當(dāng)時(shí)是無窮小量.而，則是有界函數(shù).根據(jù)定理2.6，則.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限定義2.3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作令，，則上式可寫成所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.例13設(shè)在可導(dǎo)，求極限解====（十）利用定積分的定義求極限定義2.4設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù).對(duì)于的一個(gè)分割，任取點(diǎn)，并作和式并稱和式為函數(shù)在上的一個(gè)積分和，也稱黎曼和.定義2.5設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限.注我們常用極限符號(hào)來表達(dá)定積分，即把它寫成例14求解=所以，原式=（十一）利用泰勒公式求極限在處理某些特殊函數(shù)的極限時(shí)，用其他方法會(huì)受到一定的限制或計(jì)算過于繁瑣，這是考慮用泰勒展開式或邁克勞林公式來求解[19].定理2.7若函數(shù)EQ在點(diǎn)存在階導(dǎo)數(shù)，則有.注用的較多的是泰勒公式在時(shí)的特殊形式它也稱為（帶有佩業(yè)諾余項(xiàng)）邁克勞林公式.常用的邁克勞林公式（1）(2）(3)(4)(5)(6)例15求極限.解本題可用洛必達(dá)法則求解，但是較繁瑣.考慮到極限式的分母為，我們用邁克勞林公式表示極限式的分子（取=4）用替換公式（1）中的，便得則因而求得=（十二）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限若，則對(duì)于，有.由這一結(jié)論，可以得到求數(shù)列極限的如下方法若數(shù)列可以看成某函數(shù)在數(shù)列上的值，即，且，若，則.特別的，若，，則.例16求數(shù)列極限解由.用等價(jià)無窮小因子替換得引入函數(shù)，則.(十三)利用拉格朗日中值定理求極限定理2.8（拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得例17求解由拉格朗日中值定理得，其中號(hào)介于和之間.則===第2章不定式型求極限方法型是不定式極限中最常見、最基本和最重要的類型，其它類型不定式極限往往可以轉(zhuǎn)換為型不定式極限來求解，因此，型是其它不定式類型的基礎(chǔ)，是不定式極限的主要內(nèi)容，全面掌握型不定式極限的各種求法是學(xué)習(xí)不定式極限的關(guān)鍵[20]。2.1相約無窮小方法當(dāng)型的分子、分母含有相同的無窮小因式，如果可以進(jìn)行因式分解或有理化等恒定變換方法，約去相同的無窮小，從而求出不定式的極限.稱此求法為相約無窮小的方法。當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)極限成型，其分子、分母所含有相同的無窮小因式就是，約去它就可能得到極限[21]。例1．求極限解：===2.2極限公式方法在求含有三角函數(shù)或反三角函數(shù)的型不定式的極限，通常利用三角函數(shù)恒等變化轉(zhuǎn)換成公式及公式的推廣形式來求極限[22].例2．求極限解：===22.3洛必達(dá)法則方法洛必達(dá)法則是求解型不定式極限的主要方法，針對(duì)一些分子、分母的導(dǎo)數(shù)較易求得，且經(jīng)若干次后求出極限，通常都是應(yīng)用洛必達(dá)法則來求解，這是一種常用且十分有效的方法[23].例3．求極限（型）解：=====2.4等價(jià)無窮小代換方法當(dāng)型不定式的分子、分母為因式的積或商時(shí)，可用等價(jià)無窮小代換這些因式，能達(dá)到簡化運(yùn)算步驟，快速求出極限的目的.但須注意：分子、分母中的和、差的項(xiàng)不可用等價(jià)無窮小代換[24].例4．求極限解：由而當(dāng)時(shí)，有故有==例5．求極限解：利用===即時(shí)，所以==由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無窮小量，如常見等價(jià)無窮小公式eq\o\ac(○,2)有：當(dāng)時(shí),,,,,,,以上幾例題說明在求函數(shù)極限時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)替換，如將表達(dá)式中的根式函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等變換為冪函數(shù)，然后再求極限，往往可以使計(jì)算過程大大簡化[25]。2.5用導(dǎo)數(shù)定義形式方法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：若在可導(dǎo)，則，可以將型不定式極限通過變形后轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)定義形式，從而把極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算[26].例6．求極限解:設(shè)，==2.6泰勒公式方法型不定式的各部分因式函數(shù)用其泰勒公式代替，經(jīng)過整理化簡后求出不定式的極限.此方法是對(duì)一些型不定式極限利用洛必達(dá)法則求解時(shí)因?yàn)榍髮?dǎo)過于繁瑣而采用的方便快捷方法[27].例7．求極限解：本題可用洛必達(dá)法則來求解，但是運(yùn)算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取因而==2.7變量換元方法型不定式極限應(yīng)用洛必達(dá)法則來求解時(shí)所得極限形式十分復(fù)雜，應(yīng)嘗試采用變量換元法加以變形，使其簡化易求[28].例8．求極限解：用洛必達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令，則當(dāng)，=注意到，，故有=所以例9.求極限（型）解：用洛必達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令當(dāng)時(shí)，有，于是有==第3章不定式型求極限方法型也是不定式極限的基本類型，它的求法也是必須掌握的基本解題技能，其它類型不定式極限則根據(jù)情況可化為型不定式極限來求解.3.1分子、分母同除以的最高次冪方法當(dāng)時(shí)，不定式的分子分母都是的多項(xiàng)式，則分子、分母同除以的最高次冪.例10．求極限解：型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求==此類不定式的解決方法的指導(dǎo)思想是一般分子分母同除的最高次方冪.其求極限的公式3.2洛必達(dá)法則方法型的不定式極限的分子,分母的導(dǎo)數(shù)容易求得，且經(jīng)過有限次應(yīng)用法則后求出極限，則利用洛必達(dá)法則來求解.例11．求極限（型）解：直接用洛必達(dá)法則來求===要注意:不能對(duì)任何函數(shù)的分式都按洛必達(dá)法則來求極限.首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛必達(dá)法則的其它條件以及是否簡潔可行，再則若不存在，并不能說明不存在.3.3分子、分母同除以分子、分母中趨向較快的項(xiàng)方法當(dāng)部分極限中分子、分母都趨向時(shí)，則分子、分母同除以分子、分母中趨向較快的項(xiàng)例12.求極限解：=第4章不定式，，，，型求極限方法不定式：，，，，等類型。這些類型經(jīng)過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式求極限。4.1型對(duì)于部分型，可用重要極限公式：=解決.其實(shí)利用有時(shí)利用的另一種形式為.事實(shí)上，令（）所以，例13.求極限解：==注意:利用這個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限.一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法.有部分型，可先化為以為底的指數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的未定式來計(jì)算[29].例14.求極限（是常數(shù)）解：=其中=（）===從而==4.2型對(duì)于部分型，可利用通分后化為型或型的不定式來計(jì)算.例15．求極限解：=(型)==(型)=4.3型對(duì)于部分型與部分型，也可先化為以為底的指數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的不定式來計(jì)算.例16．求極限解:=.其中=（型）===0所以有==14.4型對(duì)于部分型與部分、型一樣，也可先化為以為底的指數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的不定式來計(jì)算。例17．求極限解：由于==1于是有=4.5型對(duì)于部分型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的不定式來計(jì)算例18．極限解:===型用重要極限公式有時(shí)比使用洛必達(dá)法則計(jì)算更簡潔方便，不過洛必達(dá)法則是求待定型極限的有力工具，也是求極限最常用的方法.第5章總結(jié)利用洛必達(dá)法則與無窮小量代換來求極限方法是在微積分里求解極限的重要方法，也是最常用的方法.在這我主要對(duì)洛必達(dá)法則使用和無窮小量及等價(jià)代換進(jìn)行進(jìn)一步歸納和討論.5.1無窮小量及等價(jià)代換eq\o\ac(○,1)無窮小量不是一個(gè)量;eq\o\ac(○,2)說一個(gè)函數(shù)是無窮小，一定要注明自變量的變化過程；eq\o\ac(○,3)“0”本身叫做唯一的無窮??；利用等價(jià)無窮小量進(jìn)行替換時(shí)需要注意，只有在求無窮小量的積和商的極限時(shí)，其分子或分母中的因式才可用等價(jià)無窮小量來替代；而在求無窮小量的和、差時(shí)，則不能利用等價(jià)無窮小量進(jìn)行替換[30].5.2洛必達(dá)法則使用的必要條件在求極限過程中，特別是多個(gè)極限的值，一定先驗(yàn)證是否或型。若是，可用洛必達(dá)法則即=，若存在即可求的極限；若不存在，即不可用此方法，因?yàn)榇藭r(shí)本身還可能有極限，則需用另外的方法.若是或不定式可以連續(xù)用此法則,即=重復(fù)使用，直到求到有極限為止.例如,求極限就提供了一個(gè)使用洛必達(dá)法則的反例=不存在，而極限==1卻存在.應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，每步必須驗(yàn)證是否滿足條件，否則也是會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，例如,===-1事實(shí)上左端極限是1，出錯(cuò)的原因是在用了一次洛必達(dá)法則之后，已經(jīng)不是待定型了，所以不能再用洛必達(dá)法則.正確的做法是==1總之，求不定式極限的方法多種多樣，同一道題可能會(huì)有很多種方法，不同的題需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ú拍芙鉀Q，這就要求我們平時(shí)多總結(jié)，多積累，熟練掌握這些方法的技巧和精髓.參考文獻(xiàn)[1]覃淋.多元函數(shù)L'Hospital法則及其應(yīng)用[J].保山學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，36（05）：36-40.[2]馬艷麗，丁健，李海霞.關(guān)于洛必達(dá)法則求不定式極限時(shí)的若干注記[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，16（02）：77-79.[3]牛傳擇，桑波，顏紅.第二重要極限的一種簡易變形[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016，32（05）：105-108.[4]康佳鑫.淺談應(yīng)用洛比達(dá)法則求不定式極限[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，31（02）：16-19.[5]李巍，馮天祥.“1~∞”型不定式的極限[J].價(jià)值工程，2015，34（07）：302.[6]石德剛，董春芳.冪指函數(shù)型不定式計(jì)算中學(xué)生應(yīng)掌握的一個(gè)結(jié)論[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2015，17（02）：97-99.[7]趙小敏.淺談不定式極限的求法[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，31（03）：92-94.[8]李樹海，李旭東，詹紫浪，李曼生.不定式1~∞極限的求法[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2014，19（05）：55.[9]錢美蘭.函數(shù)極限若干計(jì)算方法舉隅[J].白城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，28（03）：70-74.[10]王寧.洛必塔法則等極限方法的分析與研究[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，14（03）：89-92.[11]張石鳳.淺談不定式極限[J].科技視界，2014（04）：168+199.[12]繆彩花.不定式極