專題02勾股定理的逆定理（三大類型）【題型1直角三角形的判斷】【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】【題型1直角三角形的判斷】1．（2023春?樂平市期末）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，則△ABC是（）A．銳角三角 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故選：B．2．（2021秋?惠城區(qū)期末）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【答案】D【解答】解：A選項(xiàng)，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項(xiàng)，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項(xiàng)，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項(xiàng)，不符合題意；D選項(xiàng)，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個(gè)角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．3．（2023春?茶陵縣期末）下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2【答案】B【解答】解：A．∵22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵62+82＝102，∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵52+122≠142，∴5，12，14為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵12+12≠22，∴以1，1，2為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4．（2023春?東明縣期中）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝6，b＝7，c＝8 B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【答案】A【解答】解：A、∵62+72≠82，則△ABC不能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)符合題意；B、∵52+122＝132，則△ABC能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；C、∵（c+b）（c﹣b）＝a2，∴c2﹣b2＝a2，則△ABC能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，則△ABC能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；故選：A．5．（2023春?沈陽月考）已知，△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C C．a(chǎn)＝1，， D．a(chǎn)＝8，b＝40，c＝41【答案】D【解答】解：A、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵a2+b2＝1+2＝3＝c2，∴a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵82+402≠412，∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．（2023春?綏中縣期末）已知三組數(shù)據(jù)：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13，分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的三邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的有（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】C【解答】解：①∵22+32＝13≠42，∴以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線段不能構(gòu)成直角三角形；②∵32+42＝52，∴以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線段能構(gòu)成直角三角形；③∵52+122＝132，∴以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線段能構(gòu)成直角三角形；故選：C．7．（2023春?潮陽區(qū)校級(jí)期中）下列條件中，不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．a(chǎn)2+b2＝c2 C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠c＝3：4：5【答案】D【解答】解：A、∠A+∠B＝90°，能判定△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、a2+b2＝c2，能判定△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、32+42＝52，因此a：b：c＝3：4：5能判定△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠C＝180°×＝75°，不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．8．（2022秋?陳倉區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝，點(diǎn)D在AB上，且BD＝1，CD＝2．（1）求證：CD⊥AB；（2）求AC的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，∴BD2+CD2＝12+22＝（）2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵AB＝4，DB＝1，∴AD＝3，在Rt△ACD中，∵CD＝2，∴AC＝＝＝，∴AC的長(zhǎng)為．9．（2023春?長(zhǎng)汀縣月考）如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB、AC分別交于點(diǎn)E和D，且CB2＝（AD+CD）（AD﹣CD）．（1）求證：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：連接BD，∵AB邊上的垂直平分線為DE，∴AD＝BD，∵CB2＝（AD+CD）（AD﹣CD），∴CB2＝AD2﹣CD2，∴CB2＝BD2﹣CD2，∴CB2+CD2＝BD2，∴∠C＝90°；（2）解：設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，∴（4﹣x）2﹣x2＝32，解得：x＝，∴CD的長(zhǎng)為．10．（2023春?撫寧區(qū)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（2）求證：∠BCD＝90°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：由題意可知AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為8+2．（2）證明：連接BD．∵BC＝，CD＝，BD＝，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°．11．（2023春?浦北縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D為AB上一點(diǎn)，CD＝4，BD＝3．（1）求證：∠BDC＝90°；（2）求AC的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，∴42+32＝52，∴∠BDC＝90°；（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，依題意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，解得AC＝．故AC的長(zhǎng)為．12．（2023春?青海月考）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的面積．【答案】（1）△ABC是直角三角形．理由見解答過程；（2）10．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由：因?yàn)锳C2＝12+82＝65，BC2＝42+62＝52，AB2＝32+22＝13．所以AB2+BC2＝13+52＝65，所以AC2＝AB2+BC2．所以△ABC是直角三角形．（2）BC＝＝，AC＝＝2，∴△ABC的面積＝××2＝10．13．（2023春?米東區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1）9；（2）△ABC是直角三角形，理由見解答．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝12，BC＝15，∴BD2＝BC2﹣CD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝12，AD＝16，∴AC2＝CD2+AD2＝122+162＝400，∴AC＝20．∵AD＝16，BD＝9，∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，∵AC＝20，BC＝15，∴AC2+BC2＝400+225＝625，∴AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形．【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】14．（2023春?湘潭縣期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39【答案】B【解答】解：A．∵82+242＝640≠252，∴8，24，25不是勾股數(shù)，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B．∵82+152＝289＝172，∴8，15，17是勾股數(shù)，故B正確，符合題意；C．∵102+202＝500≠262，∴10，20，26不是勾股數(shù)，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D．∵142+362＝1492≠392，∴14，36，39不是勾股數(shù)，故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．15．（2023春?新鄭市校級(jí)期末）下列各組數(shù)據(jù)為勾股數(shù)的是（）A．4，5，6 B．1，， C．2，，5 D．7，24，25【答案】D【解答】解：A、52+42≠62，故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；B、，都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；C、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；D、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．16．（2023春?曾都區(qū)期末）在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．古希臘哲學(xué)家柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦（結(jié)果用含m的式子表示）是（）A．4m2﹣1 B．4m2+1 C．m2﹣1 D．m2+1【答案】D【解答】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故選：D．17．（2023?杭州模擬）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛動(dòng)腦的小小同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．據(jù)此規(guī)律，當(dāng)a＝45時(shí)，b的值是（）a357911…b412244060…c513254161…A．1011 B．1012 C．1013 D．1014【答案】B【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)得：a2+b2＝c2，c＝b+1，∴a2+b2＝（b+1）2，當(dāng)a＝45時(shí)，452+b2＝（b+1）2，∴b＝1012．故選：B．18．（2023春?呈貢區(qū)期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【解答】解：由題可得：a＝（n+1）2﹣1，b＝2（n+1），c＝（n+1）2+1，∴當(dāng)2（n+1）＝14時(shí)，n＝6，∴x＝48，y＝50，∴x+y＝98，故選：C．19．（2023春?長(zhǎng)沙期末）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11，60，61．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，∴第n組勾股數(shù)為：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴第⑤組勾股數(shù)為a＝2×5+1＝11，b＝2×5×（5+1）＝60，c＝2×5×（5+1）+1＝61，即11，60，61．故答案為：11，60，61．20．（2023春?虞城縣期末）若6，a，8是一組勾股數(shù)，則a的值為10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)a最大時(shí)，，當(dāng)8最大時(shí)，，不是正整數(shù)，所以a的值為10．故答案為：10．21．（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考）觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑤組勾股數(shù)為14，48，50．【答案】14，48，50．【解答】解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+2），第二個(gè)是：（n+1）（n+3），第三個(gè)數(shù)是：（n+2）2+1，故可得第⑤組勾股數(shù)是14，48，50．故答案為：14，48，50【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】22．（2023春?永定區(qū)期中）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長(zhǎng)是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長(zhǎng)度為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為AC+BC＝7米，故選：C．23．（2023春?瓦房店市期中）如圖，一只小鳥從樹尖C點(diǎn)徑直飛向塔尖A處．已知樹高6米，塔高12米，樹與塔的水平距離為8米，則小鳥飛行的最短距離為（）?A．8米 B．10米 C．11米 D．12米【答案】B【解答】解：由題意可知，CD＝6米，AB＝12米，BD＝8米，如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC，則BE＝CD＝6米，CE＝BC＝8米，∴AE＝AB﹣BE＝12﹣6＝6（米），在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝10（米），即小鳥飛行的最短距離為10米，故選：B．24．（2023春?西和縣期中）第27屆LG杯世界棋王賽決賽將于2023年2月舉行，這也是2023年第一個(gè)世界圍棋大賽決賽．如圖是一個(gè)圍棋棋盤的局部，若棋盤是由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的，則黑、白兩棋子的距離為（）A． B． C． D．5【答案】D【解答】解：黑、白兩棋子的距離＝＝5．故選：D．25．（2023?鄖西縣一模）已知釣魚桿AC的長(zhǎng)為10米，露在水上的魚線BC長(zhǎng)為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC?的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B?C?長(zhǎng)度為8米，則BB?的長(zhǎng)為（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m，∴AB＝＝＝8（m），在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′＝＝6（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：C．26．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的圓柱形杯子的內(nèi)直徑為6cm，內(nèi)部高度為9cm，小穎把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長(zhǎng)度（整厘米數(shù)）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】C【解答】解：吸管長(zhǎng)度為，所以吸管的最短整數(shù)是11cm，故選：C．27．（2023春?通榆縣期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問素長(zhǎng)幾何？譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩子比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時(shí)而繩索用盡，求木柱的長(zhǎng)．【答案】木柱的長(zhǎng)為尺．【解答】解：設(shè)木柱的長(zhǎng)為x尺，則繩索長(zhǎng)為（x+3）尺，根據(jù)題意得：x2+82＝（x+8）2，解得x＝．∴木柱的長(zhǎng)為尺．28．（2023春?廣元月考）已知一架5m長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻腳3m，若梯子的頂端下滑1m，則梯足將滑動(dòng)多遠(yuǎn)？【答案】1米．【解答】解：在直角三角形△ABO中，根據(jù)勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑1米，則OA′＝4﹣1＝3m．在直角三角形A′B′O中，根據(jù)勾股定理得到：OB′＝4m，則梯子滑動(dòng)的距離就是OB′﹣OB＝4﹣3＝1m．29．（2023春?陜州區(qū)期中）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何．”大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）為多少尺？【答案】10.1尺．【解答】解：由題意得：DC＝2寸＝0.2尺，AD＝AO＝BO＝BC，點(diǎn)D到AB的距離為1尺，設(shè)單扇門的寬度是x尺，根據(jù)勾股定理，得（x﹣0.1）2+12＝x2，解得x＝5.05，則2x＝10.1，∴門的寬度（兩扇門的和）為10.1尺．30．（2023春?瀘縣校級(jí)期中）如圖，有一塊土地形狀如圖所示，∠B＝90°，AB＝6米，米，CD＝15米，AD＝17米，（1）求線段AC的大?。唬?）請(qǐng)計(jì)算這塊土地的面積．【答案】（1）8米；（2）（6+60）平方米．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝6米，米，∴AC＝＝＝8（米），即線段AC的長(zhǎng)為8米；（2）∵AC＝8米，CD＝15米，AD＝17米，82+152＝172，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×6×2+×8×15＝（6+60）平方米，即這塊土地的面積為（6+60）平方米．31．（2023春?慶云縣期中）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船每小時(shí)比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°．【解答】解：客船的速度為4x海里/小時(shí)，則貨船的速度為3x海里/小時(shí)，由題意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度為20海里/小時(shí)，則貨船的速度為15海里/小時(shí)，∵貨船沿南偏東80°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°．32．（2023春?邢臺(tái)期中）如圖，經(jīng)過A村和B村（將A，B村看成直線l上的點(diǎn)）的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破．已知C處與A村的距離為900米，C處與B村的距離為1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B兩村之間的距離；（2）為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)而需要封鎖？如果需要，請(qǐng)計(jì)算需要封鎖的路段長(zhǎng)度；如果不需要，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）A，B兩村之間的距離為1500米；（2）AB段公路需要封鎖，需要封鎖的路段長(zhǎng)度為420米．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，∴AB＝＝＝1500（米）．答：A，B兩村之間的距離為1500米；（2）公路AB有危險(xiǎn)而需要封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．以點(diǎn)C為圓心，750米為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AC，∴CD＝＝＝720（米）．由于720米＜750米，故有危險(xiǎn)，因此AB段公路需要封鎖．∴EC＝FC＝750米，∴ED＝＝210（米），故EF＝420米，則需要封鎖的路段長(zhǎng)度為420米．33．（2023春?惠城區(qū)校級(jí)期中）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？【答案】E站應(yīng)建在離A站10km處．【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站應(yīng)建在離A站10km處．34．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工后留下了一塊空地，已知AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪．若草坪每平方米30元，則用該草坪鋪滿這塊空地需花費(fèi)多少元？【答案】720元．【解答】解：連接AC，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，該區(qū)域面積＝S△ACB﹣S△ACD＝×12×5﹣×3×4＝24（平方米），鋪滿這塊空地共需花費(fèi)＝24×30＝720元．35．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測(cè)得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時(shí)測(cè)得小島P在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險(xiǎn)，并說明理由．【答案】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由見解析．【解答】解：漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由如下：過點(diǎn)P作PA⊥MN，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，由題意得：∠PMA＝90°﹣60°＝30°，∠PNA＝90°﹣30°＝60°，∴∠APN＝90°﹣∠PNA＝30°，設(shè)AN＝x海里，則PN＝2x海里，∴AP＝＝＝x（海里），AM＝MN+AN＝（16+x）海里，∵∠PMA＝30°，∴PM＝2AP＝2x（海里），在Rt△MAP中，PM2＝AP2+AM2，即（2x）2＝（x）2+（x+16）2，解得：x1＝8，x2＝﹣4（不合題意，舍去）；∴AP＝x＝8（海里），∵（8）2＝192，122＝144，∴8＞12，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．36．（2023春?南寧月考）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷（AC）；（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】（1）旗桿距地面3m處折斷；（2）距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)．【解答】（1）解：由題意，知AC+BC＝8m．因?yàn)椤螦＝90°，設(shè)AC長(zhǎng)為xm，則BC長(zhǎng)（8﹣x）m，則42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3．故旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖．因?yàn)辄c(diǎn)D距地面AD＝3﹣1＝2（m），所以B'D＝8﹣2＝6（m），所以，所以距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)．37．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)4米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，則水池的深度AC為多少米．【答案】3米．【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度為3米．38．（2022秋?棲霞市期末）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請(qǐng)問村莊A能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？【答案】（1）村莊能聽到宣傳；（2）村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．【解答】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600（米），∴PQ＝1200米，∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷30