1.6因動點產(chǎn)生的面積問題【例12023年河南省中考第23題】如圖1，邊長為8的正方形ABCD的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上A、C兩點間的一個動點〔含端點〕，過點P作PF⊥BC于點F．點D、E的坐標(biāo)分別為(0,6)、(－4,0)，聯(lián)結(jié)PD、PE、DE．〔1〕直接寫出拋物線的解析式；〔2〕小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值．進(jìn)而猜測：對于任意一點P，PD與PF的差為定值．請你判斷該猜測是否正確，并說明理由；〔3〕小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：假設(shè)將“使△PDE的面積為整數(shù)〞的點P記作“好點〞，那么存在多個“好點〞，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點〞．請直接寫出所有“好點〞的個數(shù)，并求出△PDE周長最小時“好點〞的坐標(biāo)．圖1備用圖【思路點撥】1．第〔2〕題通過計算進(jìn)行說理．設(shè)點P的坐標(biāo)，用兩點間的距離公式表示PD、PF的長．2．第〔3〕題用第〔2〕題的結(jié)論，把△PDE的周長最小值轉(zhuǎn)化為求PE＋PF的最小值．【總分值解答】〔1〕拋物線的解析式為．〔2〕小明的判斷正確，對于任意一點P，PD－PF＝2．說理如下：設(shè)點P的坐標(biāo)為，那么PF＝y(tǒng)F－yP＝．而FD2＝，所以FD＝．因此PD－PF＝2為定值．〔3〕“好點〞共有11個．在△PDE中，DE為定值，因此周長的最小值取決于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此當(dāng)P、E、F三點共線時，△PDE的周長最小〔如圖2〕．此時EF⊥x軸，點P的橫坐標(biāo)為－4．所以△PDE周長最小時，“好點〞P的坐標(biāo)為(－4,6)．圖2圖3【考點伸展】第〔3〕題的11個“好點〞是這樣求的：如圖3，聯(lián)結(jié)OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因為S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝－6．如圖4，當(dāng)－8≤x≤0時，4≤S≤13．所以面積的值為整數(shù)的個數(shù)為10．當(dāng)S＝12時，方程的兩個解－8,－4都在－8≤x≤0范圍內(nèi)．所以“使△PDE的面積為整數(shù)〞的“好點〞P共有11個．圖4【例22023年昆明市中考第23題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－3〔a≠0〕與x軸交于A(－2,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕點P從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動．當(dāng)△PBQ存在時，求運動多少秒時△PBQ的面積最大，最大面積是多少？〔3〕當(dāng)△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求點K的坐標(biāo)．圖1【思路點撥】1．△PBQ的面積可以表示為t的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最小值．2．△PBQ與△PBC是同高三角形，△PBC與△CBK是同底三角形，把△CBK與△PBQ的比轉(zhuǎn)化為△CBK與△PBC的比．【總分值解答】〔1〕因為拋物線與x軸交于A(－2,0)、B(4,0)兩點，所以y＝a(x＋2)(x－4)．所以－8a＝－3．解得．所以拋物線的解析式為．〔2〕如圖2，過點Q作QH⊥x軸，垂足為H．在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因為0≤t≤2，所以當(dāng)t＝1時，△PBQ的面積最大，最大面積是?！?〕當(dāng)△PBQ的面積最大時，t＝1，此時P是AB的中點，P(1,0)，BQ＝1。如圖3，因為△PBC與△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。當(dāng)S△CBK∶S△PBQ＝5∶2時，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因為△PBC與△CBK是同底三角形，所以對應(yīng)高的比為2∶1。如圖4，過x軸上的點D畫CB的平行線交拋物線于K，那么PB∶DB＝2∶1。因為點K在BC的下方，所以點D在點B的右側(cè)，點D的坐標(biāo)為．過點K作KE⊥x軸于E．設(shè)點K的坐標(biāo)為．由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．解得x＝1，或x＝3．所以點K的坐標(biāo)為或．圖2圖3圖4【考點伸展】第〔3〕題也可以這樣思考：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．如圖5，過點K作x軸的垂線交BC于F．設(shè)點K的坐標(biāo)為．由于點F在直線BC：上．所以點F的坐標(biāo)為．所以KF＝．△CBK被KF分割為△CKF和△BKF，他們的高的和為OB＝4．所以S△CBK＝．解得x＝1，或x＝3．圖5【例32023年蘇州市中考第29題】如圖1，拋物線〔b、c是常數(shù)，且c＜0〕與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸的負(fù)半軸交于點C，點A的坐標(biāo)為(－1,0)．〔1〕b＝______，點B的橫坐標(biāo)為_______〔上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示〕；〔2〕連結(jié)BC，過點A作直線AE//BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結(jié)PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②假設(shè)△PBC的面積S為正整數(shù)，那么這樣的△PBC共有_____個．圖1【思路點撥】1．用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發(fā)現(xiàn)OB＝2OC．2．當(dāng)C、D、E三點共線時，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運動到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個數(shù)．注意排除點A、C、B三個時刻的值．【總分值解答】〔1〕b＝，點B的橫坐標(biāo)為－2c．〔2〕由，設(shè)E．過點E作EH⊥x軸于H．由于OB＝2OC，當(dāng)AE//BC時，AH＝2EH．所以．因此．所以．當(dāng)C、D、E三點在同一直線上時，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或〔舍去〕所以拋物線的解析式為．〔3〕①當(dāng)P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F．直線BC的解析式為．設(shè)，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此當(dāng)P在BC下方時，△PBC的最大值為4．當(dāng)P在BC上方時，因為S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．綜上所述，0＜S＜5．②假設(shè)△PBC的面積S為正整數(shù)，那么這樣的△PBC共有11個．【考點伸展】點P沿拋物線從A經(jīng)過C到達(dá)B的過程中，△PBC的面積為整數(shù)，依次為〔5〕，4，3，2，1，〔0〕，1，2，3，4，3，2，1，〔0〕．當(dāng)P在BC下方，S＝4時，點P在BC的中點的正下方，F(xiàn)是BC的中點．【例42023年菏澤市中考第21題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形A′B′O．〔1〕一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？假設(shè)存在，請求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì)．圖1【思路點撥】1．四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍．2．聯(lián)結(jié)PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個三角形．3．過點向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形．【總分值解答】〔1〕△AOB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A′、B′的坐標(biāo)分別為(－1,0)、(0,2)．因為拋物線與x軸交于A′(－1,0)、B(2,0)，設(shè)解析式為y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．〔2〕S△A′B′O＝1．如果S四邊形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四邊形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如圖2，作PD⊥OB，垂足為D．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以點P的坐標(biāo)為(1，2)．圖2圖3圖4〔3〕如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩底中點的直線．【考點伸展】第〔2〕題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單．．．所以．甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到點P：作△A′OB′關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的△BOE，那么點E的坐標(biāo)為(1，2)．而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點E就是要探求的點P．【例52023年河南省中考第23題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標(biāo)為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點〔不與點A、B重合〕，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．〔1〕求a、b及sin∠ACP的值；〔2〕設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9∶10？假設(shè)存在，直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請說明理由．圖1【思路點撥】1．第〔1〕題由于CP//y軸，把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．2．第〔2〕題中，PD＝PCsin∠ACP，第〔1〕題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比．4．兩個三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．【總分值解答】〔1〕設(shè)直線與y軸交于點E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因為PC//