教案教學(xué)基本信息課題分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高二教材書名：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年1月教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，弄清楚它們之間的主要區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷由直觀到抽象，由特殊到一般的過程；2.能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題，理解學(xué)習(xí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的必要，有先分類再分步的意識；3.經(jīng)歷由實(shí)際問題推導(dǎo)出兩個(gè)原理，再回歸實(shí)際問題的解決這一過程，體會數(shù)學(xué)源于生活、高于生活、用于生活的道理，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的過程.教學(xué)重點(diǎn)：歸納得出分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡單的實(shí)際問題.教學(xué)難點(diǎn)：正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)實(shí)際問題正確區(qū)分“分類”或“分步”.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖情境引入從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路.問：從甲地到丁地有多少種走法？今天我們就來研究這樣的計(jì)數(shù)問題.通過設(shè)置情境，使學(xué)生提取相關(guān)知識，明確學(xué)習(xí)目標(biāo).探究一分類加法計(jì)數(shù)原理問題1用一個(gè)大寫的英文字母或者一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？分析:因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.問題2問題1中最重要的特征是什么？分析：最重要的特征是可以按兩類不同的方式編號.例從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有4班，汽車有2班.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同走法?分析:從甲地到乙地有兩類方法，第一類：乘火車，有4種方法；第二類：乘汽車，有2種方法.共有：4+2=6（種）方法.問題3你能由前兩個(gè)例子歸納出一般結(jié)論嗎？分析：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.問題4“不同方法”與“完成這件事”有什么關(guān)系？分析：“不同方法”都能獨(dú)立“完成這件事”，不依賴“其他方法”.問題5如果完成一件事不只有兩類“不同方案”，每一類方案中還有多種方法，那該如何計(jì)數(shù)呢？得出分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類不同方案.在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方法中有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.歸納：分類加法計(jì)數(shù)原理特點(diǎn)（1）各類方案之間相互獨(dú)立，都能獨(dú)立的完成這件事，要計(jì)算方法種數(shù)，只需將各類方法數(shù)相加；（2）要先根據(jù)具體的問題確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，然后對每類方法計(jì)數(shù).通過問題、歸納、操作確認(rèn)、解釋說明等環(huán)節(jié)，得出分類加法計(jì)數(shù)原理.探究二分步乘法計(jì)數(shù)原理問題1用A-F六個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里座位編號，總共能編出多少個(gè)不同的號碼？分析:編寫一個(gè)號碼先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字.由于用A-F六個(gè)大寫英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號碼，而且它們各不相同.共有6×9＝54(個(gè))不同的號碼.例某班有男生14名，女生16名.要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析:第一步，從14名男生中選出1人，有14種不同選擇；第二步，從16名女生中選出1人，有16種不同選擇.共有14×16＝224種不同的方法.問題2你能由前面兩個(gè)例子歸納出一般結(jié)論嗎？分析：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.問題3“分步方法”與“完成這件事”有什么關(guān)系？分析：要完成這件事，“各步”中的方法必須依次都完成，步與步之間是連續(xù)的，且相互依存.問題4如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第3步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？答案:.問題5如果完成一件事需要個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么如何計(jì)數(shù)呢？得出分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要分成n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法.歸納：分步乘法計(jì)數(shù)原理特點(diǎn)（1）各步驟相互依存,每步都完成才算完成此事；（2）確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對每步方法計(jì)數(shù).思考：你能總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系嗎？相同點(diǎn)：都是回答完成一件事的不同方法種數(shù).不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，各類方案相互獨(dú)立，方案中各種方法相互獨(dú)立，任何一類中的任何一種方法都能單獨(dú)完成這件事.分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，各個(gè)步驟都完成才算完成這件事.列舉熟悉的、簡單的問題，使學(xué)生在情感上接受分步計(jì)數(shù)的方式.借助具體問題，使學(xué)生理解分步乘法計(jì)數(shù)原理；通過設(shè)問，加深學(xué)生對原理的理解.只有明確兩個(gè)原理的聯(lián)系和區(qū)別，才能更好地使用.培養(yǎng)學(xué)生概括問題的能力.探究三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用例現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.（1）從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？分析：四個(gè)問題都需要弄清楚在干什么事？是分類還是分步完成？若混合在一起，一定是先分類，再分步.解：分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.共有5＋2＋7＝14(種)選法.(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？解：分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法.共有5×2×7＝70(種)選法.(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解：分為三類：①一幅國畫、一幅油畫，5×2＝10(種)；②一幅國畫、一幅水彩畫，5×7＝35(種)；③一幅油畫、一幅水彩畫，2×7＝14(種).共有10+35+14=59（種）(4)要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：分兩步完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.共有3×2＝6（種）.【題后反思】兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用題，區(qū)分“分類”、“分步”是關(guān)鍵；明確“完成一件事”含義是突破口；“化繁為簡”是原則.例用0，1，…，9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)：(1)三位整數(shù)？(2)無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？(3)小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？（4）無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)？分析：排數(shù)問題涉及到數(shù)位，需要每個(gè)數(shù)位分步排.解：(1)法1（直接法）：法2（間接法）：（2）法1（直接法）：法2（間接法）：（3）（4）個(gè)位有1,3,5,7,9五種放數(shù)字方法，百位不能排0，個(gè)位用去一個(gè)數(shù)字，所以有8種放數(shù)字方法；最后十位剩下八個(gè)數(shù)字可以放，有八種方法，所以共計(jì)：8×8×5=320種排法；換個(gè)角度來思考這道題：因?yàn)榱悴荒芘虐傥?，我們按照三位奇?shù)中有零和無零來進(jìn)行分類.有零就先排零和奇數(shù)，再排其他元素；無零就先排奇數(shù)，再排其他元素，最后將兩類相加，計(jì)算8×1×5+8×7×5=40+280=320種.還可以用間接法算出不限條件的種數(shù)，去掉不符條件種數(shù)，得出結(jié)果.先排個(gè)位，可以放1,3,5,7,9，有5種放數(shù)字方法，用去一個(gè)數(shù)字后百位有9種放數(shù)字的方法，個(gè)位和百位個(gè)用去一個(gè)數(shù)字后，十位還有8種放數(shù)字的方法，共5×9×8=360種方法；不符合條件的是百位放數(shù)字0，有1種方法，個(gè)位有5種種放數(shù)字方法，十位有8種放數(shù)字方法，共5×1×8=40種方法.所以，符合條件的共計(jì)5×9×8-5×1×8=320種方法.【題后反思】對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：（1）明確“分類”、“分步”是關(guān)鍵；（2）特殊位置(末位或首位)、特殊元素優(yōu)先；（3）正面分類較多，采用間接法，“正難則反”.例將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？1234分析：涂色需要一塊一塊圖，所以需要分步；是有限制條件的計(jì)數(shù)問題，所以再排“對角格”時(shí)需要分類.解：第一步：先涂第1個(gè)小方格.從5種顏色中任取一種顏色，有5種不同的涂法.第二步：按照第2、3個(gè)小方格涂相同或不同顏色進(jìn)行分類.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法；第4個(gè)小方格有3種不同的涂法:共有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法；第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法.共有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同涂法.【題后反思】求解涂色問題常用的方法有：（1）按區(qū)域不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)；（2）以顏色為主用分類加法計(jì)數(shù)；（3）不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類.例將3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種方法？分析：這是抽取問題.要弄清楚“研究對象”；要注意把握關(guān)鍵詞的含義.我們首先明確這是一件什么事？——小球往盒子里放!“至多”是什么意思——每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，盒子會有空著的.解法1：以小球?yàn)檠芯繉ο蠓秩絹硗瓿桑孩俜诺谝粋€(gè)小球有5種選擇；②放第二個(gè)小球有4種選擇；③放第三個(gè)小球有3種選擇.共有5×4×3＝60（種）.解法2：以盒子為研究對象盒子標(biāo)上序號1，2，3，4，5分成以下十類：第一類：空盒子標(biāo)號為(1,2)，選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為(1,3)，選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為(1,4)，選法有3×2×1＝6(種)；……分類還有以下幾種情況：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十類，每一類都有6種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：總方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60.【題后反思】解決抽取問題的方法(1)列舉法、樹狀圖法、框圖法、圖表法會方便解題；(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目較大時(shí)，若抽取有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.先分類，再分步.學(xué)以致用.鞏固對兩個(gè)原理的理解；通過對比兩個(gè)原理以及不同的解題思路讓學(xué)生體會到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.從正反兩個(gè)角度解決問題，為后面排列問題的有序性做好鋪墊.本著特殊位置、特殊元素優(yōu)先的思路解題.通過反思，不斷提升學(xué)生解決問題的能力.解題時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想.此題要讓學(xué)生注意關(guān)鍵詞的含義，審題時(shí)明確干什么事非常重要；對象選擇不同，采用的計(jì)數(shù)方法也會不同.課堂小結(jié)【總結(jié)】請同學(xué)們總結(jié)一下：1.本節(jié)課學(xué)到了哪些知識？2.本節(jié)課你是如何獲得這些知識的？3.本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么體會？預(yù)設(shè)：1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系相同點(diǎn):用來計(jì)算完成一件事的方法種類.不同點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理分類完成，類類相加；分步乘法計(jì)數(shù)原理分步完成，步步相乘.注意點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理類類獨(dú)立，不重不漏；分步乘法計(jì)數(shù)原理步步相依，步驟完整.2.從解決實(shí)際問題的提煉出常用方