復(fù)旦大學(xué)高等代數(shù)19981.,是復(fù)數(shù).,,0,0.證明:(I-)=I-,=0時必=0,時必0且(15分)2.A=.為實數(shù),.求(10分)3.個實變量的二次型為2,它是否正定?說明理由.(15分)4.求A=的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和全體特征子空間.5.實陣是初等反射陣,即,,,當(dāng)且僅當(dāng)正交相似于.證明之.(20’6.是互質(zhì)的實多項式.,,.證明：。由〔i〕證：假設(shè)且，那么有非奇異陣，使,.(20分)記號:是實陣全體.是復(fù)陣全體.,分別是陣的轉(zhuǎn)置和轉(zhuǎn)置復(fù)共軛.是陣的零空間,即齊次方程組的解空間.方陣的特征子空間是,其中是的某個特征值.是單位陣.是子空間的直接和.是陣的秩.復(fù)旦大學(xué)高等代數(shù)1999概念題〔不必寫理由或計算過程〕：〔45分〕1．?dāng)?shù)域K上n階反對稱陣組成的K上線性空間的維數(shù)是〔〕。2．歐氏空間中r個向量兩兩正交，它們是否線性無關(guān)〔答是或否〕——————。3．歐氏空間中兩個正交變換之和是否是正交變換〔答是或否〕——————。4．上三角陣A是正交陣，那么A必是——————陣。5．歐氏空間上自共軛變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的表示矩陣為——————陣。6．8階陣A的不變因子為1，…，1；〔〕〔〕，〔〕，寫出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。7．設(shè)是n維線性變換，V是否必是Ker和Im的直和？〔〕8．V是K上小于4次的多項式全體組成的線性空間且，，，是V的一組基，向量在這組基下的坐標(biāo)〔寫成行向量形式〕為：——————。9．寫出K上4維列向量空間由下面矩陣決定的線性變換的一個2維不變子空間的基：〔寫在此題空白處〕又，的核空間的維數(shù)為————。10.求和的最大公因子().11.設(shè)dimV=n,dimU=m,是V到U的線性映射,假設(shè)n>m,那么()A.必不是單映射;B.必是滿映射;C.必是單映射;D.必不是滿映射;12.將n階方陣A的行對換,再將列對換得矩陣B,那么A與B()A.必相似;B.不相似;C無法判斷;13.設(shè)A是n階實對稱矩陣,A的n個順序主子式都不小于零是A為半正定陣的()A.充分條件;B必要條件;C.充要條件;D.既非充分又非充要條件;14.社是n維線性空間上的線性變換,…,是的全部不同特征值,是的特征子空間(=1,2,…,s),那么dim+…+dim()(填,或=)二．用初等變換法將以下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型并求出變換陣三．設(shè)多項式是整系數(shù)多項式，,,p是素數(shù)．假設(shè)p可以整除但不能整除且也不能整除，求證:是有理數(shù)域上的不可約的多項式．〔１０分〕四．是數(shù)域K上n階矩陣且r(A)表示A的秩，求證：〔１０分〕五．設(shè)是階正交陣且，求證：必是奇異陣．六．設(shè)是數(shù)域上線性空間上線性變換的最小多項式，且和都是上不可約多項式,求證：存在的不變子空間使是和的直和且作為上的線性變換其最小多項式等于,作為上的線性變換其最小多項式等于．〔１５分〕復(fù)旦大學(xué)高等數(shù)2000求方陣的逆陣。設(shè)為一個階方陣且的秩等于的秩。證明的秩等于的秩。設(shè)為一個階正交陣，為一組線性無關(guān)的列向量，對于都有。如果的行列式等于1，證明是單位矩陣。設(shè)是一個自然數(shù)，是由所有實矩陣構(gòu)成的維實向量空間，和分別為由所有對稱矩陣和反對稱矩陣構(gòu)成的空間。證明，既是和的直和。設(shè)