因式分解拓展授課人：朱珊珊授課時間：11月8日因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是互逆的變形。在分式運算、解方程及各種恒等變形中都有著重要的作用。因式分解的方法較多，在課本中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解，而運用立方和、立方差、分組分解法及十字相乘法等在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到。因此，這兩節(jié)課將對上述因式分解方法進(jìn)行補(bǔ)充拓展。運用乘法公式法（平方差、完全平方公式、立方和、立方差公式）經(jīng)常地，一道因式分解題目會同時考查提公因式法、公式法，要特別注意的是因式分解要分解完全。例1：立方和、立方差公式計算：（1）（2）所以我們可以得到；這兩個公式特征：兩項式，都是立方項，注意比較兩個公式的不同點。例2：分解因式（1）（2）（3）（4）分組分解法對于多項式因式分解，如果不能提公因式，也不能直接用公式法分解，該怎么分解呢？如多項式，無法用我們已經(jīng)學(xué)過的幾種方法來分解，但我們發(fā)現(xiàn)，這四項中，若把它們中的某兩項分一組，可以分成兩組，前2項為一組，并提出公因式，后兩項為另一組，可提出公因式，由于與又有公因式，于是可以提出，從而得到。這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組。上述多項式還有其它分組的方法嗎？請你嘗試一下。例3：把分解因式練習(xí)：把下列多項式分解因式（1）（2）說明：用分組分解法時，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解。課后鞏固：把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）因式分解拓展（二）------十字相乘法授課人：朱珊珊授課時間：一、十字相乘法分解因式的意義利用畫十字交叉線分解系數(shù)，來把二次三項式分解因式的方法叫十字相乘法．（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如圖（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)如圖（2）圖（1）圖（2）二、為什么學(xué)習(xí)十字相乘法？學(xué)習(xí)關(guān)鍵是什么？十字相乘法能把某些二次三項式ax2+bx+c(a≠0)分解因式．這種方法的關(guān)健是把二次項的系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1·a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項系數(shù)b，那么它可以分解因式：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程．當(dāng)首項系數(shù)不是1時，往往需要多次試驗，務(wù)必注意各項系數(shù)的符號.若二次項系數(shù)a=1，對于二次三項式x2+bx+c，如果能夠把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1·c2，并使c1+c2正好是一次項系數(shù)b，那么它可以分解因式：x2+bx+c=(x+c1)(x+c2),三、例題分析例1.把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15(2)x2-6x+8(1)分析：常數(shù)項(-15)＜0，可分解成異號兩數(shù)的積，可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2．在分解時，可用下面的式子進(jìn)行驗算．說明：在豎式驗算后寫分解結(jié)論時千萬不要對角寫，應(yīng)橫向?qū)?，否則，當(dāng)二次項系數(shù)不為1時，會出現(xiàn)錯誤的.(2)分析：常數(shù)項8可以分解為兩個同號整數(shù)的積，即為8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)．其中只有-2與-4的和為-6.解：x2-6x+8=(x-2)(x-4)例2.把下列各式分解因式：(1)2x2-5x-3(2)5x2-21x+18(1)分析：我們要把這個多項式分解成形如()·()的形式，這里的a1a2=2，c1c2=-3，a1c2+a2c1=-5，由十字相乘法豎式（怎么寫？）可知關(guān)鍵問題在于確定二次項系數(shù)2的兩個因數(shù)a1和a2、常數(shù)項-3的兩個因數(shù)c1和c2.二次項系數(shù)2可分解為2×1，常數(shù)項-3＜0可分解為兩個異號整數(shù)的積即為(-3)×(1)，3×(-1)，最后考慮一次項系數(shù)-5，它是十字相乘法尋找這四個數(shù)的關(guān)鍵，因為-5＜0，所以a1c2+a2c1＜0.而a1＞0，a2＞0，所以，的尋找就相對容易了.解：2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)說明：通過十字相乘的驗算公式后寫結(jié)果時要橫向?qū)?，不要對角寫結(jié)論，注意避免出現(xiàn)2x2-5x-3=(x+1)(2x-3)這樣的錯誤.(2)分析：因為二次項系數(shù)為質(zhì)數(shù)5，可分解為1×5豎式中可將左邊先固定，再分解常數(shù)項18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)．根據(jù)一次項系數(shù)為-21，所以只可選用(-3)(-6).解：5x2-21x+18=(x-3)(5x-6)例3.把下列各式分解因式：（1）(x+y)2+2(x+y)-24（2）a2-5ab-24b2（1）分析：把(x+y)看成一個整體，這樣，這個多項式就是關(guān)于(x+y)的二次三項式，很容易依照前面的方法分解：解：(x+y)2+2(x+y)-24=[(x+y)+6][(x+y)-4]=(x+y+6)(x+y-4)（2）分析：把原式變形為式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系數(shù)，把-24b2看作常數(shù)項，這樣可將原式看成a的二次三項式，用十字相乘法分解.解：a2-5ab-24b2=a2-(5b)a-24b2=(a+3b)(a-8b)說明：要注意避免a2-5ab-24b2=(a+3)(a-8)這類的錯誤，也要避免a2-5ab-24b2=(a+8b)(a-3b)這類的錯誤.例4.把下列各式分解因式：(1)x4-3x2-4(2)x4-10x2y2+9y4(1)分析：把原式寫成(x2)2-3(x2)-4，它仍舊是x2的二次三項式，可以用十字相乘法分解．-4=(-4)×1而-3=-4+1解：x4-3x2-4=(x2)2-3(x2)-4=(x2-4)(x2+1)=(x2+1)(x+2)(x-2)(2)分析：原式可變形為(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2即可看成x2的二次三項式，再采用十字相乘法分解因式．解：x4-10x2y2+9y4=(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2=(x2-y2)(x2-9y2)=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)說明：應(yīng)用十字相乘法分解后原式為(x2-y2)(x2-9y2)，要再對它進(jìn)行分解后方為最后結(jié)果（兩個因式都分別應(yīng)用平方差公式即可）四、把下列多項式因式分解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（10）（11）（12）證明：當(dāng)n為大于2的整數(shù)時，