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－分形(fractal)合肥工業(yè)大學(xué)圖像信息處理爭論室Tel:2901393地址：逸夫樓709Email:趙瑩分形展廳〔國內(nèi)外分形作品〕見山見水墨韻紋身火鳳凰的誕生over主要內(nèi)容

分形的產(chǎn)生背景？誰是分形理論的創(chuàng)始人？什么是分形？特征？分形可以應(yīng)用于哪些領(lǐng)域？合肥工業(yè)大學(xué)圖像信息處理爭論室Tel:2901393地址：逸夫樓709Email:分形的產(chǎn)生背景在經(jīng)典的歐幾里德幾何學(xué)中，我們可以用直線、立方體、圓錐、球等這一類規(guī)章的外形去描述諸如道路、建筑物、車輪等等人造物體，這是極自然的事情。然而在自然界中，卻存在著許很多多極其簡潔的外形，如，山不是錐，云不是球，閃電不是折線，雪花邊緣也不是圓等等，再如宇宙中的點(diǎn)點(diǎn)繁星所構(gòu)成集合更非經(jīng)典集合所能描述的，它們不再具有我們早已熟知的數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)、光滑〔可導(dǎo)〕這一根本性質(zhì)了。這一類奇形怪狀的物體長期以來被認(rèn)為是“不行名狀的”或“病態(tài)的”，從而很簡潔被人們無視了。明顯傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)已經(jīng)無法來描述它們，從而使經(jīng)典數(shù)學(xué)陷入了危機(jī)，于是分形幾何學(xué)〔fractalgeometry〕便應(yīng)運(yùn)而生。

分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)章幾何形態(tài)為爭論對象的幾何學(xué)。由于不規(guī)章現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為

描述大自然的幾何學(xué)分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點(diǎn)

從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)章的。例如，海岸線和山川外形，從遠(yuǎn)距離觀看，其外形是極不規(guī)章的。

在不同尺度上，圖形的規(guī)章性又是一樣的。上述的海岸線和山川外形，從近距離觀看，其局部外形又和整體形態(tài)相像，它們從整體到局部，都是自相像的。分形人物－Mandelbrot分形理論創(chuàng)始人－美籍法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot。Mandelbrot美國IBM〔國際商業(yè)機(jī)器〕公司沃特森爭論中心自然科學(xué)部高級爭論員哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)兼職教授美國國家科學(xué)院院士美國藝術(shù)與科學(xué)爭論員成員歐洲藝術(shù)、科學(xué)和人文爭論院院士。1967年發(fā)表于美國《科學(xué)》雜志上的“英國的海岸線有多長”的劃時代論文，是他的分形思想萌芽的重要標(biāo)志。1973年，在法蘭西學(xué)院講課期間，他提出了分形幾何學(xué)的整體思想。1977年，他出版了第一本著作《分形：形態(tài)，偶然性和維數(shù)》，標(biāo)志著分形理論的正式誕生。五年后，他出版了著名的專著《自然界的分形幾何學(xué)》，至此，分形理論初步形成。Fractal〔分形〕一詞的由來

據(jù)曼德勃羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。取拉丁詞fractus之頭，擷英文fractional之尾，就得到了fractal一詞。本意是不規(guī)章的、裂開的、分?jǐn)?shù)的。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類簡潔無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫穿插的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)章或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。什么是分形？實例定義分形特征海岸線有多長？依據(jù)傳統(tǒng)的科學(xué)方法來考慮，這是一個及其簡潔的問題，然而曼德勃羅教授在其名為《英國海岸線有多長？》的文章中作出了令人驚詫的答案：“英國海岸線的長度是不確定的!其緣由在于海岸線的長度依靠于測量時所使用的尺度。”以1km為單位測量海岸線，得到的近似長度將短于1km的迂回曲折都無視掉了，假設(shè)以1m為單位測量，則能測出被無視掉的迂回曲折，長度將變大，測量單位進(jìn)一步變小，測得的長度將愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。問題似乎解決了，但Mandelbrot覺察：當(dāng)測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認(rèn)為海岸線的長度是不確定的，或者說，在確定意義上海岸線是無限長的。為什么？答案或許在于海岸線的極不規(guī)章和極不光滑。此時，長度或許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)章圖形的特征。幾種典型的分形圖案KOCH曲線返回Sierpinski三角形什么是分形？實例定義分形特征分形定義

分形：是一種具有自相像特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程。也就是說，在分形中，每一組成局部都在特征上和整體相像，只僅僅是變小了一些而已。什么是分形？實例定義分形特征分形特征自相像性self－similarity指某種構(gòu)造或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相像的或者某系統(tǒng)或構(gòu)造的局域性質(zhì)或局域構(gòu)造與整體相像。它不但包括嚴(yán)格的幾何相像性，而且包括通過大量的統(tǒng)計而呈現(xiàn)出的自相像性。

分形植物

Koch雪花

Sierpinski三角形

假設(shè)你是個有心人，你確定會覺察在自然界中，有很多景物和都在某種程度上存在這種自相像特性，即它們中的一個局部和它的整體或者其它局部都特殊形似。其實，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天氣到股票的起落等很多現(xiàn)象都具有分形特性。這正是爭論分形的意義所在。標(biāo)度不變性scaleinvariance指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進(jìn)展放大，這是得到的放大圖又會顯出原圖的形態(tài)特性。因此，對于分形，不管將其放大或縮小，它的形態(tài)、簡潔程度、不規(guī)章性等各種特性均不會發(fā)生變化，所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮不變性。分形植物Mandelbrot集

分形維數(shù)維數(shù)是幾何學(xué)和空間理論的根本概念。例如一維的直線，二維的平面，三維的一般空間，都是人們熟知的。但假設(shè)想知道雪花、云彩、山脈、樹枝以及煙圈等等簡潔自然構(gòu)造的維數(shù)是多少，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)是難以答復(fù)的，至多是定性的描述。而分形理論則給出定量的分析，即可用分維〔分形維數(shù)、分?jǐn)?shù)維〕加以表征。它不是通常歐氏維數(shù)的簡潔擴(kuò)大，而是賜予了很多嶄新的內(nèi)涵。你是否聽說過世界上存在2.8126維的物體？是的！盡管聽起來似乎比較荒唐，但這是事實。在這個概念的根底上才有分形學(xué)的進(jìn)展。讓我們先作一個類比。牛頓的運(yùn)動學(xué)定律可以使人們猜測運(yùn)動物體的運(yùn)動狀況。但是，當(dāng)運(yùn)動物體的速度接近光速時，這個定理就變得極不準(zhǔn)確。于是，在1900初，愛因斯坦制造了相對論。這個成果進(jìn)展了牛頓定律。假設(shè)你去檢驗相對論，你會覺察，在低速的狀況下，相對論的結(jié)果等同于牛頓定律。那么，這和分維有什么聯(lián)系呢？像相對論進(jìn)展了傳統(tǒng)力學(xué)一樣，分維是對傳統(tǒng)維數(shù)概念的進(jìn)一步進(jìn)展。它并不和你所了解的分維學(xué)問相沖突，而是一種進(jìn)展！一般狀況下，分維是一個分?jǐn)?shù)。它反映了一個分形體的不規(guī)章程度，分形維數(shù)越大，則分形體越不規(guī)章。這里我們介紹比較常用的三種分形維數(shù)：相像維數(shù)hausdorff維數(shù)盒子維數(shù)相像維數(shù)〔SimilarityDimension〕：假設(shè)某圖形是由把全體縮小為1／a的b個相像圖形構(gòu)成的，那么相像維數(shù)Ds可以由下式給出：例如，對于koch曲線，可以分成四個局部，每個局部都為原來的1/3大小，而每一局部又可以同樣的細(xì)分，則它的相像維數(shù)Koch曲線Hausdorff維數(shù)設(shè)有一條長度為L的線段，假設(shè)用一長r的“尺”作為單位去量它，量度的結(jié)果是N，我們就說這條線段有N尺。明顯N的數(shù)值與所用尺的大小有關(guān)，它們之間具有以下關(guān)系：同理，假設(shè)測量的是一塊面積為A的平面，這時用邊長為r的單位小正方形去測量它，有下式成立：同樣，可以用半徑為r的小球來填滿一塊體積V球體，所需小球的數(shù)目比例于：對于任何嚴(yán)格有確定維數(shù)的集合體，假設(shè)用與它具有一樣維數(shù)的“尺”去量度，則可以得到一確定的數(shù)值N，假設(shè)用低于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為無窮大；假設(shè)用高于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為對上式兩邊取自然對數(shù)，可得：式中的DH就稱為Hausdorff維數(shù)，它可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。它是最古老的也是最重要的一種維數(shù)，它對任何集都有意義。然而，計算Hausdorff維數(shù)是相當(dāng)困難的。

盒子維數(shù)

定義：設(shè)，在歐氏距離下，用邊長為的小盒子緊鄰地去包含A，設(shè)為表示包含A所需的最小盒子數(shù)，則：

即為集合A的盒子維。計算：漸漸增大n，分別計算出相應(yīng)的值，這樣就得到一組的數(shù)據(jù)對，再利用線性回歸等方法求出相對于的斜率，即為所要求的盒子維。

分形應(yīng)用領(lǐng)域圖像處理方面圖像分割目標(biāo)識別圖像壓縮圖像邊緣檢測圖像分析、合成

圖像分割灰值圖像，尤其是基于自然景觀的灰值圖像，可能是由多類具有不同分形性質(zhì)的物質(zhì)組成的。所以我們在對圖像提取分?jǐn)?shù)維時一般是按圖像分塊進(jìn)展的，即設(shè)定一個窗口，尺寸大小一般選成8×8或16×16等，提取的是窗口區(qū)域的分?jǐn)?shù)維，窗口的移動是從左向右，從上向下移動。由分形理論我們可以知道：同一分形物質(zhì)在不同區(qū)域一般具有一樣的維數(shù)。所以當(dāng)我們在同一圖像的不同區(qū)域求得分?jǐn)?shù)維以后，就可以基于此進(jìn)展分類、分割。目標(biāo)識別

人們把分?jǐn)?shù)維與傳統(tǒng)方法結(jié)合起來來處理自然背景下的人造物體的識別，例如隱蔽在樹林山巒間的坦克、炮車等等。傳統(tǒng)的匹配檢測方法包括相像度量，匹配點(diǎn)搜尋等步驟，這在計算上有很大的時間簡潔度?，F(xiàn)在使用分?jǐn)?shù)維的方法，一般選擇窗口的大小同被檢測物體的尺寸大致相等，這一般是可預(yù)知的，一旦某些窗口消逝了特殊的分?jǐn)?shù)維，比方低于確定的拓?fù)渚S數(shù)或不同于大多數(shù)區(qū)域的分?jǐn)?shù)維等等，它們才被送入下一步進(jìn)展精搜尋。這里分?jǐn)?shù)維主要起著可疑區(qū)域判定的作用。圖像壓縮1988年Barnsley承受迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS和遞歸迭代函數(shù)系統(tǒng)RIFS方法，對幾幅圖像進(jìn)展壓縮編碼．獲得了高達(dá)10000:1的壓縮比。1992年的圣誕節(jié)，美國微軟公司公布了一張令人矚目的光盤，名叫“MicrosoftEncarta”。在這張僅能容納600M字節(jié)的光盤中，收集了一部美國地圖冊、一本字典、一段七小時的音響、100個動畫節(jié)目、800張可以縮放的彩色地圖冊，還有7000多張高質(zhì)量的照片――鮮花、植物、人物、云、名勝，應(yīng)有盡有。因而人們形象地稱其為“多媒體百科全書”。Encarta上的全部信息都是通過分形壓縮技術(shù)存儲的。在海灣戰(zhàn)斗中，美軍使用了分形技術(shù)，用于軍事地圖的縮放、攻擊目標(biāo)的匹配追蹤等。其他應(yīng)用用分形方法在計算機(jī)上可實現(xiàn)模擬自然景物、動畫制作、建筑物配景等，在影視制作中能生成奇峰異谷、獨(dú)特場景，產(chǎn)生新穎美麗的風(fēng)光。此外用分形方法還可以進(jìn)展時裝設(shè)計、IC卡設(shè)計、房間裝飾等等。時裝設(shè)計一時裝設(shè)計二IC卡設(shè)計賀卡設(shè)計書禎設(shè)計分形天線分形芯片房間裝飾一房間裝飾二房間裝飾三房間裝飾四自然景物模擬分形藝術(shù)分形音樂

分形音樂是由一個算法的多重迭代產(chǎn)生的，自相像是分形幾何的本質(zhì)，有人利用這一原理來建構(gòu)一些帶有自相像小段的合成音樂，主題在帶有小調(diào)的三翻五次的返復(fù)循環(huán)中重復(fù)，在節(jié)奏方面可以加上一些隨機(jī)變化，它所制造的效果，無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地仿照真正的音樂，盡管它聽起來不那么宏偉，但至少聽起來很好玩。有人甚至將著名的曼德勃羅集轉(zhuǎn)化為音樂，取名為《傾聽曼德勃羅集〔Hearing

the

Mandelbrot

Set〕，他們在曼德勃羅集上掃描，將其得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成鋼琴鍵盤上的音調(diào)，從而用音樂的方式表現(xiàn)出曼德勃羅集的構(gòu)造，極具音樂表現(xiàn)力。實際上，分形音樂已成為新音樂爭論的最令人興奮的領(lǐng)域了。分形音樂1分形音樂2為什么要爭論分形？

首先，分形形態(tài)是自然界普遍存在的，爭論分形，是探討自然界的簡潔事物的客觀規(guī)律