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§3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式做一做:討論下列二元一次方程組解的情況:無數(shù)組無解重合平行一組解相交

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示方法提升(1)若方程組有且只有一個(gè)解,(2)若方程組無解,(3)若方程組有無數(shù)解,則l1//l2;則l1與l2相交;則l1與l2重合.一、兩條直線的交點(diǎn):相交重合平行例1.判斷下列各組直線的位置關(guān)系：練習(xí):三條直線ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x－y=10相交于一點(diǎn)，求a的值.a=－1思考探究:直線系：具有某種共同特征的所有直線的集合二、共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)的直線系方程為:說明：此直線系中不包括直線l2所以直線的方程為：解:(1)設(shè)經(jīng)過二直線交點(diǎn)的直線方程為：例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(1)過點(diǎn)(2,1)例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(2)和直線3x-4y+5=0垂直解:(2)設(shè)經(jīng)過二直線交點(diǎn)的直線方程為：所以直線的方程為：例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(3)和直線2x-y+6=0平行另外還有平行線系、過定點(diǎn)的線系等。例3.求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解法1：將方程變?yōu)椋航獾茫杭矗汗手本€恒過解法2：令m=1，m=-3代入方程，得：解得：所以直線恒過定點(diǎn)例3.求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)1、已知直線y=kx+2k+1與直線

y=-x+2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）.12A.-6＜k＜2B.-＜k＜016C.-＜k＜

D.＜k161212c14練習(xí)y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05．若直線方程為(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求證：無論m為何值時(shí)，所給直線恒過定點(diǎn)。小結(jié)1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，從方程的角度判斷直線之間的位置關(guān)系。2.共點(diǎn)直線系及其應(yīng)用求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，xoy(1)y1=y2探索求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，探索(2)x1=x2xoy求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，探索xoy(3)一、兩點(diǎn)間的距離:已知平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)間的距離公式：(1)x1≠x2,y1=y2(2)x1=

x2,y1≠

y2特例：(3)原點(diǎn)O與任一點(diǎn)P(x,y)的距離：(1)A(6,0),B(-2,0)(2)C(0,-4),D(0,-1)(3)P(6,0),Q(0,-2)(4)M(2,1),N(5,-1)求下列兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)距離公式逆應(yīng)用①已知點(diǎn)A(x,0)和B(2,3)的距離為3,求x的值。若|AB|為3或者2呢？意義練習(xí)應(yīng)用—判定△的形狀

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(-1,0)、B（1，0）、C，試判斷三角形的形狀。練習(xí)問題：初中我們證明過這樣一個(gè)問題：直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊的一半。你能用解析幾何的方法證明此問題嗎？

通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)，從代數(shù)角度研究幾何問題。例1:證明直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。yxoB

CAM(0,0)(a,0)(0,b)解：以頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則有C(0,0)用解析法(坐標(biāo)法)證明平面幾何問題的步驟：第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.xyP0

(x0,y0)O|y0||x0|x0y0探索點(diǎn)到直線的距離:xyP0

(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x1探索點(diǎn)到直線的距離:xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd探索點(diǎn)到直線的距離:注：1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推導(dǎo)的；2.如果A或B中有一個(gè)為0，此公式也成立；3.用此公式時(shí)直線方程要先化成一般式。二、點(diǎn)到直線的距離:已知P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式：2已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。Pxl：2x+y-10=0l′Q0y解：過P做與l垂直的直線l’，垂足為點(diǎn)Q。由已知得l’的方程為：x-2y+5=0∴P點(diǎn)到直線l的距離為2已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。解法二:

(用函數(shù)的思想)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)M，坐標(biāo)為（x，10-2x),則∴當(dāng)x=3時(shí)，|PM|達(dá)到最小，最小值為即P點(diǎn)到直線l的距離為2已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。ＲＳl：2x+y-10

=0Pl′Q0xy∵|PR|=5,|PS|=10,|RS|=法三：過P分別作x軸和y軸的平行線，交l于R,S兩點(diǎn)。則直線PR和PS分別為y=2,x=-1.(1)

P(-1,2),2x+y-10=0(2)

P(-1,2),3x=2(3)

P(0,0),4x+7y=37(4)

P(-1,-2),x+y=0求下列點(diǎn)到直線的距離：例5用解析法證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高。證明:建立如圖直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到BC的距離h=()因?yàn)閨PE|+|PF|=h，所以原命題得證。練習(xí)練習(xí)Oyxl2l1(x0,y0)

PQ任意兩條平行直線都可以寫成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0探索d三、兩條平行直線的距離:注:1.用公式時(shí)，直線方程化為一般式;2.用兩平行線間距離公式須保證方程中x、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相同。兩條平行直線間的距離公式：l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(1)

2x+3y-8=0，2x+3y+18=0(2)

3x+4y=10，6x+8y-10=0求下列兩條平行線的距離：求兩條平行直線Ax+By+=0與Ax+By+

=0的距離。解：在直線上Ax+By+=0任取一點(diǎn)，如P(x0,y0)則兩平行線的距離就是點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+

=0

的距離。（如圖）因此，d=P例、直線3x+4y-1=0到直線6x+8y+9=0的距離例、到直線3x+4y-2=0與直線6x+8y+10=0的距離相等的點(diǎn)集的直線方程課堂小結(jié)三種距離；一個(gè)方法數(shù)形結(jié)合與對(duì)稱問題基礎(chǔ)知識(shí)主要涉及以下問題：1.求點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；2.求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；3.求直線關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱的直線方程；4.求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程；5.求圓關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程；6.求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程.

1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則線段AB的中點(diǎn)

P(x0，y0)的坐標(biāo)公式2.中心對(duì)稱問題：設(shè)P（x0，y0），對(duì)稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2a－x0，2b－y0）.

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題.

由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x'，y')，3.點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問題則有·k=－1，=k·+b

可求出x'、y'.特殊地:

點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2a－x0,y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x0，2b－y0）.點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x—y=0（即y=x）的對(duì)稱點(diǎn)為P'(y0,x0)；點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線x+y=0(即y=-x)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-y0,-x0)。

一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱（這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化）.一般結(jié)論如下：(1)曲線f(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱曲線的方程是f(2a－x，2b－y)=0.(2)曲線f(x，y)=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線的求法：4.曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對(duì)稱問題設(shè)曲線f(x，y)=0上任意一點(diǎn)為P(x0，y0)，P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x，y)，則由(2)知，P與P'的坐標(biāo)滿足從中解出x0、y0，代入已知曲線f(x，y)=0，應(yīng)有f(x0，y0)=0.利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f(x，y)=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線方程.5.兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，－y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－x，y）；（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（－x，－y）；（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x－y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x）；（5）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（－y，－x）.兩點(diǎn)P和Q關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的幾何特征xyOPQ．M點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)已知點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)M(a,b),則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a-x0,2b-y0)求點(diǎn)P（-2,1）關(guān)于直線l：x=3的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)。②兩點(diǎn)A、A1關(guān)于直線l對(duì)稱，滿足哪兩個(gè)幾何條件？分析:①求點(diǎn)A1的坐標(biāo)，需要幾個(gè)獨(dú)立條件？yxlOAA1例1求點(diǎn)A(－1,－4)關(guān)于直線l:x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo).題型一：求已知點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱問題

思路分析yxlOAA1①直線AA1⊥l；②A、A1到直線l的距離相等.思路1例1求點(diǎn)A(－1,－4)關(guān)于直線l:x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo).求解過程解法1

故所求對(duì)稱點(diǎn)為A1(3,0).設(shè)點(diǎn)A1(a,b),由AA1⊥l及點(diǎn)線距離公式,得yxlOAA1M例1求點(diǎn)A(－1,－4)關(guān)于直線l:x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo).思路分析yxlOAA1①直線AA1⊥l；②線段AA1的中點(diǎn)M在直線l上.

思路2M求解過程解法2

故所求對(duì)稱點(diǎn)為A1(3,0).yxlOAA1M由已知,得方程組設(shè)點(diǎn)A1(a,b),則線段AA1的中點(diǎn)為

∵AA1⊥l，∴直線AA1的方程是y＋4＝x＋1，即x－y－3＝0.求解過程解法3

yxlOAA1M又直線l的方程是x＋y＋1＝0，設(shè)點(diǎn)A1(a,b),由中點(diǎn)公式，得所求對(duì)稱點(diǎn)為A1(3,0).聯(lián)立方程組，解得回顧反思（1）基本方法：待定系數(shù)法（2）思維策略：①尋找兩個(gè)獨(dú)立條件；②將幾何條件代數(shù)化.（3）數(shù)學(xué)思想：幾何條件數(shù)量關(guān)系數(shù)形結(jié)合垂直關(guān)系斜率關(guān)系點(diǎn)在線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程.變1若點(diǎn)(3,-2)與(a，3)關(guān)于直線2x-by-12=0對(duì)稱，求a+b的值例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.題型二：求已知直線關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱問題

例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.yxlOA.l1思路1:根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可分別求出直線l上的兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),再由兩點(diǎn)式寫出直線方程.答案l1:x＋y＋9＝0－1－1(－2,－7)(－1,－8)歸納：線點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.yxlOA.l1思路2：利用幾何知識(shí)可以證明：兩條直線必平行.

可設(shè)l1:x＋y＋m＝0，再求出l上一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)斜式即得所求直線為l1:x＋y＋9＝0.(－1,－8)－1例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.思路3：由于兩條直線平行,且與點(diǎn)A等距離.

可設(shè)l1:x＋y＋m＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得m=9或m=1（舍去）.所求直線為l1:x＋y＋9＝0.yxlOA.l1例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.思路4：直線l1就是直線l上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)的集合.

yxlOA.l1例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對(duì)稱，求直線l1的方程.yxlOA.l1解設(shè)直線l1上任意一點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,y0)，由中點(diǎn)公式,得

又x0＋y0＋1＝0,代入整理,得l1:x＋y＋9＝0.

(x,y)

(x0,y0)回顧反思

求一條直線關(guān)于一定點(diǎn)的對(duì)稱直線，通常有以下三種方法：⑴取特殊點(diǎn)：在已知直線上取兩個(gè)特殊點(diǎn),求出它們關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),兩點(diǎn)確定對(duì)稱直線.

⑵平行關(guān)系：關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線互相平行，由點(diǎn)斜式確定對(duì)稱直線.⑶求軌跡方法：求出已知直線上任意一點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的軌跡方程.2x＋11y－38＝0

試求直線l1:x-y-2=0關(guān)于直線l2:x-y+1=0對(duì)稱的直線l的方程。直線關(guān)于直線對(duì)稱l1l2l1'例3求直線a：2x+y-4=0關(guān)于l：3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.思路分析：由平面幾何知識(shí)可知若直線a、b關(guān)于直線l對(duì)稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：題型三：求已知直線關(guān)于定直線的對(duì)稱直線問題（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°，一定與b重合.使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的方程.解此題的方法很多，總的來說有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程.（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點(diǎn)A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B一定在直線b上，這時(shí)AB⊥l，并且AB的中點(diǎn)D在l上；解：方法一：由2x+y－4=03x+4y－1=0解得a與l的交點(diǎn)E（3，－2），E點(diǎn)也在b上.在直線a：2x+y－4=0上找一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，y0）求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.由解得B（，－）.由兩點(diǎn)式得直線b的方程為=即2x+11y+16=0.設(shè)P(x,y)是所求對(duì)稱直線b上一點(diǎn)，關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x0,y0)解得求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.解法二：(利用對(duì)稱關(guān)系)又∵Q(x0,y0)在a上，即方程是2x+11y+16=0.方法三：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），直線a上的點(diǎn)Q(x0，4-2x0)，且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對(duì)稱，則有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.點(diǎn)評(píng)與感悟：由平面幾何知識(shí)可知，若直線a、b關(guān)于直線對(duì)稱，則應(yīng)有下列幾何性質(zhì)：（1）若a與b相交，則l是a、b交角的平分線；若a與b平行，則a∥b，且a、b與l距離相等。（2）點(diǎn)A直線a上，則A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱B一定在直線b上，并且AB⊥l,AB的中點(diǎn)在l上。（3）設(shè)P(x,y)是所求直線b上一點(diǎn)，則P為關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)適合a的方程。B基礎(chǔ)知識(shí)1.設(shè)A、B是位于直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，則直線l上與A、B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)就是線段AB與直線l的交點(diǎn).2.設(shè)A、B是位于直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，則直線l上與A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大的點(diǎn)就是線段AB與直線l的交點(diǎn).平面幾何中的兩個(gè)最值問題:問題研究1.若A、B是位于直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線l上求一點(diǎn)C，使點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)距離之和最?。?.若A、B是位于直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線l上求一點(diǎn)C，使點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大？例4

設(shè)點(diǎn)A(3，0)，B(5，－1)，試在直線l:x＋y＋1＝0上求一點(diǎn)C，使得C點(diǎn)到A和B兩點(diǎn)的距離之和最小.思考1：能否從幾何角度入手，尋找破題之策？yxlO.BCA思考2：如果A、B位于直線兩側(cè)，你會(huì)解決它嗎？yxlO.BCA.題型四：求距離最值問題

例4（1）設(shè)點(diǎn)A(3，0)，B(5，－1)，試在直線l:x＋y＋1＝0上求一點(diǎn)C，使得C點(diǎn)到A和B兩點(diǎn)的距離之和最小.思路分析思路2：找對(duì)稱點(diǎn)，化“同側(cè)”為“異側(cè)”！yxlO.BCAA1A1yxlO.BCA解求出A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(－1，－4).則AC+BC=A1C+BC≥A1B，當(dāng)且僅當(dāng)A1,C,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)C就是直線A1B與直線l的交點(diǎn)