專題01相似形與比例線段【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似圖形的概念知識(shí)點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5黃金分割（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6平行線分線段成比例（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定題型2由相似多邊形的概念判斷命題的真假題型3識(shí)別成比例線段題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用題型8平行線分線段成比例應(yīng)用題型9設(shè)輔助元求值題型10重心的實(shí)際應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位易錯(cuò)點(diǎn)2判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)4判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線【方法四】成果評(píng)定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似多邊形及相似比等有關(guān)概念。2.了解比例線段的概念，了解比例的基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用比例性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形。3.了解黃金分割點(diǎn)的概念，掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論；判定定理及推論；以及平行線分線段成比例定理的推導(dǎo)與應(yīng)用；4、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題；5、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似圖形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似的圖形，簡(jiǎn)稱相似形．重點(diǎn)剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個(gè)大小不相等的相似圖形中，我們可以認(rèn)為大的圖形是由小的圖形經(jīng)過放大而成的，也可以認(rèn)為小的圖形是由大的圖形經(jīng)過縮小而成的。學(xué)法指導(dǎo)：兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)。【例1】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機(jī)把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星【變式演練】下面的四個(gè)圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個(gè)圖案的邊的寬度都相等，那么每個(gè)圖案中邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）知識(shí)點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例．當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值為1．注意?。?！判斷兩個(gè)多邊形是否相似時(shí)，既要考慮對(duì)應(yīng)角是否相等，又要考慮對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比是否相等，二者缺一不可。學(xué)法指導(dǎo)：在判斷兩個(gè)多邊形是否為相似多邊形時(shí)，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計(jì)算來確定，即分別計(jì)算長(zhǎng)邊與長(zhǎng)邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時(shí)應(yīng)注意對(duì)應(yīng)關(guān)系?！纠?】某小區(qū)有一塊矩形草坪長(zhǎng)20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【變式演練】已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長(zhǎng)為26.求四邊形的各邊長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）兩條線段的比：注意?。?！在計(jì)算兩條線段的比時(shí)，這兩條線段的長(zhǎng)度單位必須要統(tǒng)一。兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，該比值與線段的長(zhǎng)度無關(guān)。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實(shí)際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。2．成比例線段：對(duì)于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注意！?。”壤€段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的。【例3】下列各組線段中，成比例的一組是（ ）（A），，， （B），，，（C），，， （D），，，【例4】在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地 的實(shí)際距離是 ．知識(shí)點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）（1）基本性質(zhì)：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質(zhì)：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質(zhì)：如果，那么．重點(diǎn)剖析：利用比例的基本性質(zhì)可以在比例式和等積式之間互相轉(zhuǎn)化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個(gè)字母中的任意兩個(gè)字母的乘積就等于另外兩個(gè)字母的乘積，而是比例的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積。使用等比性質(zhì)時(shí)，要注意b+d≠0這個(gè)條件，否則這個(gè)性質(zhì)不成立?！纠?】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．【變式演練】如果，那么的值是（）A.B.C.D.知識(shí)點(diǎn)5黃金分割如果點(diǎn)把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項(xiàng)，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)稱為線段的黃金分割點(diǎn)．其中，，稱為黃金分割數(shù)，簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．注意?。?！一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，因此，一般說點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長(zhǎng)度求AP（或BP）的長(zhǎng)度時(shí)，會(huì)有兩種情況，此時(shí)應(yīng)分情況討論?！纠?】寬與長(zhǎng)之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【變式演練】主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，如果舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20米，一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺(tái)AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處，則下列結(jié)論一定正確的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④知識(shí)點(diǎn)6平行線分線段成比例一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．2、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．三、三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．四：平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．平行線分線段成比例速記口訣！??！平行線分線段，成比例是關(guān)鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對(duì)應(yīng)之比均相等，代入數(shù)值求線段?！纠?】如圖已知直線截△ABC三邊所在的直線分別于E、F、D三點(diǎn)且AD=BE.

求證：EF：FD=CA：CB.

【變式演練】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【例8】.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的長(zhǎng).【例9】如圖，AM是△ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證：DE∥BC.【變式演練】如圖，在△ABC（AB＞AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證：.【例10】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【變式演練】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【例11】如圖，//，且．求證：//．【變式演練】如圖，、是的邊上的兩點(diǎn)，滿足．聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作//，交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．求證：//．【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定【例12】（2022秋?浦東新區(qū)期末）下列圖形，一定相似的是（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形【變式演練】（2022秋?閔行區(qū)期中）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個(gè)長(zhǎng)方形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)平行四邊形題型2有多邊形的概念判斷命題的真假【例13】（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）下列說法中，正確的是（）A．兩個(gè)矩形必相似 B．兩個(gè)含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個(gè)菱形必相似 D．兩個(gè)含45°角的直角三角形必相似【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）下列判斷中，正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似題型3識(shí)別比例線段【例14】（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【變式演練】（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算【例15】（（2023?奉賢區(qū)一模）已知線段a＝4，b＝16，如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c的值是．【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知線段a＝2cm、b＝8cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于cm．【例16】（2022秋?黃浦區(qū)月考）如果，那么＝．【變式演練】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如果＝，那么＝．【例17】（1）求，，的第四比例項(xiàng)；（2）若，，的第四比例項(xiàng)是，求．題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算【例18】（2022?寶山區(qū)模擬）在比例尺為1：50的圖紙上，長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為（）A．50cm B．500cm C． D．【變式演練】（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【例19】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知線段x，y．（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【變式演練】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用【例20】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長(zhǎng)．【變式演練1】（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長(zhǎng)；（2）若AC比BC大2，求AB的長(zhǎng)．題型8平行線分線段成比例的應(yīng)用【例21】如圖，中，，，，，，求的長(zhǎng)．【例21】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若， 則 ．【例22】如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．【例23】（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．【變式演練1】如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【變式演練2】如圖，，，，求的值．【變式演練3】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長(zhǎng)；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長(zhǎng)．【變式演練4】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【變式演練5】（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．【變式演練6】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【變式演練7】（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．【例24】如圖，為的中點(diǎn)，//，聯(lián)結(jié)、分別交、于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：//．【例25】點(diǎn)、分別在的邊、上，且//，以為一邊作平行四邊 形，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，求證：//．題型9設(shè)輔助元求值【例26】（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【例27】（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知a：b：c＝2：3：4，a+b+c＝18，求a+b﹣c的值．【變式演練1】（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【變式演練2】（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長(zhǎng)，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長(zhǎng)．題型10重心的實(shí)際應(yīng)用【例28】如圖，、是的中線，交于點(diǎn)． 求證：．【變式演練】如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于 點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位?！纠?9】在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實(shí)際距離為km．【變式演練】東海大橋全長(zhǎng)千米，如果東海大橋在某張地圖上的長(zhǎng)為厘米，則這張地圖 的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)?！纠?0】已知有三條線段的長(zhǎng)分別為，，的線段，請(qǐng)?jiān)偬硪粭l線段，使這四 條線段成比例，求所添線段的長(zhǎng)度．【變式演練】已知甲、乙兩個(gè)三角形相似，甲三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，乙三角形其中 一邊的長(zhǎng)為，求乙三角形的另外兩邊的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)3：解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)【例31】（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．【變式演練】如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長(zhǎng)． 易錯(cuò)點(diǎn)4：判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線?！纠?2】如圖，中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，下列命題中不正確的是（）ABCEF （A）若//，則ABCEF （B）若，則// （C）若//，則 （D）若，則//【方法四】成功評(píng)定法一、單選題1．（2013·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知在中，點(diǎn)、、分別是邊、、上的點(diǎn)，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（

）A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶52．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列式子不一定能推得的是（

）A．； B．； C．； D．．3．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形； B．兩個(gè)矩形； C．兩個(gè)菱形； D．兩個(gè)正方形．4．（2022春·上海·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．5．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)校考期末）如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．7．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）點(diǎn)把線段分割成和兩段，如果是種的比例中項(xiàng)．那么下列式正確的個(gè)數(shù)有（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題8．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）在中，點(diǎn)、分別在的邊、上，下列條件中能判定的是（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┮阎敲確__________．10．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）已知線段，C是的黃金分割點(diǎn)，且，則_____．11．（2022秋·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道：四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且EFBC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是_____．12．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）已知，那么_______．13．（2021秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長(zhǎng)為______．14．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)E、F不與B、D重合），分別連接若四邊形是菱形，且與菱形是相似菱形，那么菱形的邊長(zhǎng)是_______．（用a的代數(shù)式表示）．15．（2022秋·上海金山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD是的中線，是AD的