作用初等變換終止矩陣結(jié)果秩階梯陣r(A)=非0行數(shù)行變換極大無(wú)關(guān)組(基)階梯陣主列對(duì)應(yīng)原矩陣的列行變換行最簡(jiǎn)形非主列的線性表示關(guān)系解Ax=b(AX=B)(Ab)行變換階梯陣判別解:r1<r2無(wú)解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n無(wú)窮多解行最簡(jiǎn)形基解:非主列變量為e1..enr特解:非主列變量為0逆矩陣行變換行最簡(jiǎn)形(AE)

(EA

1

)行列式行/列變換三角形某行(列)有一非0元素注意對(duì)角線方向的符號(hào)按此行(列)展開1精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2方陣的特征值和特征向量(1學(xué)時(shí))§4.1相似矩陣(1學(xué)時(shí))§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化(1學(xué)時(shí))初等變換

相抵等價(jià)類的不變量矩陣的秩相抵標(biāo)準(zhǔn)形不變量§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件(1學(xué)時(shí))相似變換相似2精選ppt§4.2方陣的特征值和特征向量(1學(xué)時(shí))一.特征值、特征向量的定義和計(jì)算§4.1相似矩陣(1學(xué)時(shí))二.方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件一.相似矩陣的定義和性質(zhì)二.特征值、特征向量的性質(zhì)第四章矩陣的特征值和特征向量3精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量§4.1相似矩陣

相似的應(yīng)用求A11.設(shè)P

1AP=,P=,

=14111002,A=P

P

1

A11=(P

P

1)(P

P

1)(P

P

1)…(P

P

1)

11=100211=P

11P

1

A與

相似4精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣§4.1相似矩陣一.相似矩陣的定義和性質(zhì)設(shè)A,B都是n階方陣,假設(shè)有可逆矩陣P,使P1AP=B,那么稱矩陣A與B相似.記為A~B.P為相似變換矩陣.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.例1.證明矩陣與相似.證明：5精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣§4.1相似矩陣一.相似矩陣的定義和性質(zhì)設(shè)A,B都是n階方陣,假設(shè)有可逆矩陣P,使P1AP=B,那么稱矩陣A與B相似.記為A~B.P為相似變換矩陣.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.注2:

反身性:A~A;

對(duì)稱性:A~B

B~A;

傳遞性:A~B,B~C

A~C.

矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系P

1AP=BPBP

1=A相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩相似關(guān)系下的不變量：矩陣的秩6精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣一.相似矩陣的定義和性質(zhì)設(shè)A,B都是n階方陣,假設(shè)有可逆矩陣P,使P1AP=B.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系相似關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,注2:性質(zhì)2:A~B,那么|A|=|B|.|B|=|P

1AP|=|P

1||A||P|=|P

1||P||A|=|A|.定義2:矩陣的跡(trace):tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=ktr(A)tr(AB)=tr(BA)性質(zhì)3:A~B,那么tr(A)=tr(B).行列式,跡=tr(P

1AP)=tr(APP

1)7精選ppt性質(zhì)4:設(shè)A~B,f是一個(gè)多項(xiàng)式,那么f(A)~f(B).證明:設(shè)P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,那么P

1f(A)P=anP

1AnP+…+a1P

1AP+a0P

1EP

=an(P

1AP)n+…+a1P

1AP+a0E

=P

1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B).第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣8精選ppt二.方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件定理4.1.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量1,2,…,n和n個(gè)數(shù)1,2,…,n滿足Ai=ii,i=1,2,…,n.假設(shè)令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.證明:設(shè)P–1AP=

=diag(

1,

2,…,

n),

AP=Pdiag(

1,

2,…,

n),即

A(

1,

2,…,

n)=(

1

1,

2

2,…,

n

n),

A

i

=

i

i,

i=1,2,…,n第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣P可逆,所以

1,

2,…,

n線性無(wú)關(guān).

9精選ppt二.方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件定理4.1.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量1,2,…,n和n個(gè)數(shù)1,2,…,n滿足Ai=ii,i=1,2,…,n.假設(shè)令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣方陣A的相似對(duì)角化問(wèn)題:求可逆陣P,使P–1AP=

.其中，對(duì)角陣

稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.相似關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,行列式,跡相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相似標(biāo)準(zhǔn)形

10精選ppt1.定義

=

n階方陣

非零向量

特征值(eigenvalue)

特征向量(eigenvector)

對(duì)應(yīng)§4.2方陣的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的定義和計(jì)算A

數(shù)注1.幾何意義A33

y=A

=

//

y=A

注2.

否那么,=,R,A==但是可以

=0,此時(shí),A

=0=

第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

11精選ppteigshow(A)顯示不同的單位向量x及經(jīng)變換后的向量y=Ax

特征值和特征向量：

0,s.t.A

=

12精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項(xiàng)式

特征值

特征向量

對(duì)每個(gè),求(E–A)x=0的根底解系1,2,,t對(duì)應(yīng)于

的所有特征向量為k1

1+k2

2+

+kt

t,

k1,

,kt不全為0.2.計(jì)算先解|E–A|=0,求出所有特征值

,13精選ppt解:|E–A|=(+1)(–2)2.所以A的特征值為1=–1,2=3=2.(–E–A)x=0的根底解系:1=(1,0,1)T.對(duì)應(yīng)于1=–1的特征向量為k1(0kR).(2E–A)x=0的根底解系:2=(0,1,–1)T,3=(1,0,4)T.對(duì)應(yīng)于2=3=2的特征向量為k22+k33(k2,k3不同時(shí)為零).例2.求的特征值和特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

14精選ppt定理4.1.n階方陣A與對(duì)角陣相似

n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量

1,…,

n和n個(gè)數(shù)

1,…,

n滿足

A

i

=

i

i,

i=1,…,n.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.1相似矩陣方陣A的相似對(duì)角化問(wèn)題:求可逆陣P,使P–1AP=

.相似關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,行列式,跡相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相似標(biāo)準(zhǔn)形

n階方陣A,B相似,假設(shè)有可逆陣P,使P1AP=B.

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

1,…,

n.

=diag(

1,…,

n),

i為特征值,P=(

1,…,

n).

i為特征值

i為特征向量15精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量§4.2特征值與特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項(xiàng)式

特征值

特征向量

對(duì)每個(gè),求(E–A)x=0的根底解系1,2,,t對(duì)應(yīng)于

的所有特征向量為k1

1+k2

2+

+kt

t,

k1,

,kt不全為0.2.計(jì)算先解|E–A|=0,求出所有特征值

,16精選ppt解:所以A的全部特征值為0(n

1重根),

例3.設(shè)

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

17精選ppt解:當(dāng)

=0時(shí),(E

A)x=0,即Ax=0.不妨設(shè)例3.設(shè)

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

對(duì)應(yīng)

=0的特征向量為不全為018精選ppt此時(shí)，線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè).解:當(dāng)

=

T

時(shí),(

T

E

A)x=0.因?yàn)锳x=x.即x=x.注意到所以

即為A的對(duì)應(yīng)特征值

=

T

的特征向量.所以只要找一個(gè)非零向量滿足上述方程即可.

例3.設(shè)

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

r(

TE

A)+r(x)

n.

r(

TE

A)

n1.r(

TE

A)+r(A)

r(

TE

A+A)=r(

TE)=n.

r(

TE

A)

=n1.那么對(duì)應(yīng)=T的特征向量為r(A)=119精選ppt例4.設(shè)A=(aij)n×n,證明f(

)=|E－A|是

的n次多項(xiàng)式,并求

n,

n－1的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

a11

a12…a1n

a21

a22…

a2n…………

an1

an2…

annf(

)=|E－A|=(

a11)(

a22)…(

ann)

f(0)=|－A|A的跡,記為trA=(－1)n|A|

第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

n,

n-1項(xiàng)只在主對(duì)角線乘積中20精選ppt二.特征值、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)1,…,n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),可重復(fù))是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,即|E–A|=(–1)(–2)…(–n)，那么

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1證明：|

E–A|=(

–

1)(

–

2)…(

–

n)第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

21精選ppt性質(zhì)1.設(shè)

1,…,

n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),可以重復(fù))是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,那么

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1推論1：方陣A可逆證明：

A的特征值均不為0,那么

i0n

i=1|A|=所以A可逆.必要性:設(shè)

=0是A的一個(gè)特征值,那么0,s.t.,A=

=0,因?yàn)锳可逆,A

1A=

=0,產(chǎn)生矛盾.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值與特征向量

A的特征值均不為0.

22精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量性質(zhì)1.設(shè)

1,…,

n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,那么

i=trA=aii

，n

i=1n

i=1

i=|A|n

i=1推論1：方陣A可逆

A的特征值均不為0.證明：

設(shè)

0,s.t.,A=

,

A

1A=

A

1

性質(zhì)2：方陣A可逆,是A的特征值,那么1/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.因?yàn)锳可逆,

A

1

=(1/

)

,那么1/是A1的特征值.

AA*=|A|E,

A可逆

A*=|A|A

1,

A*

=|A|A

1

=

(|A|/

)

,那么|A|/是A*的特征值.23精選ppt性質(zhì)1.設(shè)

1,…,

n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,那么

i=trA=aii

，n

i=1n

i=1

i=|A|n

i=1推論1：方陣A可逆

A的特征值均不為0.證明：

性質(zhì)2：方陣A可逆,是A的特征值,那么1/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.性質(zhì)3:假設(shè)是方陣A的特征值,那么也是AT的特征值.

|

E–A|=

|(

E–A)T|=|

E–AT|性質(zhì)4.設(shè)是A的特征值,那么k是Ak的一個(gè)特征值.證明：因?yàn)?/p>

為A的特征值,即

0使A

=

,

于是(A2)

=A(A

)

=A(

)

=

(A

)=

2

,

0使(Ak)

=

k,即

k也是Ak的特征值.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量24精選ppt性質(zhì)5.設(shè)

是方陣A的一個(gè)特征值,f是一個(gè)多項(xiàng)式,那么f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.對(duì)于f(

)=as

s++a1

+a0,f(A)

=asAs

++a1A+a0

=as

s

++a1

+a0

=f(

)

,

0使f(A)

=

f(

)

.那么f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量證明：因?yàn)?/p>

為A的特征值,即

0使A

=

,

(Ak)

=

k,即

k也是Ak的特征值.性質(zhì)4.設(shè)是A的特征值,那么k是Ak的一個(gè)特征值.25精選ppt性質(zhì)5.設(shè)

是方陣A的一個(gè)特征值,f是一個(gè)多項(xiàng)式,那么f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.推論2.假設(shè)f是多項(xiàng)式,A是一個(gè)方陣,使f(A)=0(稱f為A的一個(gè)零化多項(xiàng)式),那么A的任一特征值必滿足f()=0.

f(

)

=

0

=0

f(

)=0證明：

對(duì)A的任一特征值

,f(

)是f(A)的一個(gè)特征值.那么0使f(A)=f().因?yàn)閒(A)=00第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量26精選ppt推論2.假設(shè)f是多項(xiàng)式,A是一個(gè)方陣,使f(A)=O那么A的任一特征值必滿足f()=0.注1:A的零化多項(xiàng)式的根是A的所有可能的特征值.

例5.假設(shè)A2=E,求A的所有可能的特征值.A的任一特征值

都是零化多項(xiàng)式的根.

1=

2=1

1=

2=

1

1=1,

2=

1解：由A2

E=0知,f(x)=x21為A一個(gè)零化多項(xiàng)式.

f(x)=x21=0的根1,1為A的所有可能的特征值.注2:A的零化多項(xiàng)式的根未必都是A的特征值.

例6.

f(x)=x21,

根為1,

1A1=1001,A2=1001,A3=0110.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量27精選ppt解法2:所以A的所有可能的特征值

滿足所以A的所有可能的特征值所以A的全部特征值為0(n

1重根),

例3.設(shè)

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.28精選ppt性質(zhì)6.設(shè)n階方陣A與B相似,那么有相同的特征多項(xiàng)式和特征值.事實(shí)上,A與B相似,那么E–A與E–B相似.設(shè)P–1AP=B(P可逆),那么P–1(E–A)P=E–P–1AP=E–B注3:特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似

.例7.它們的特征多項(xiàng)式都是(

1)2.但是假設(shè)有P–1AP=B,那么A=PBP–1=E=B.矛盾!第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量A=1011,B=1001,

|

E–A|=|

E–B|29精選ppt特征多項(xiàng)式相同是相似的必要而非充分的條件.

注4.方陣A與B相似

特征多項(xiàng)式和特征值相同

tr(A)=tr(B),

|A|=|B|

r(A)=r(B)相似關(guān)系下的不變量為：特征值,跡,行列式,秩相抵關(guān)系下的不變量為：秩相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為：相抵標(biāo)準(zhǔn)形相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為：第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量相似標(biāo)準(zhǔn)形

30精選ppt一.特征值、特征向量的定義和計(jì)算二.特征值、特征向量的性質(zhì)

0,s.t.

A

=

.先解|E–A|=0,

求

;將

代入(E–A)

=0,

求非零通解.

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1設(shè)是A的特征值,那么f()是f(A)的特征值.注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.

A的任一特征值

都是零化多項(xiàng)式的根.A可逆

A的特征值均不為0,

1/

是A

1的特征值.是可逆陣A的特征值,那么|A|/是A*的特征值.假設(shè)是方陣A的特征值,那么也是AT的特征值.31精選ppt例8.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,1,1,那么解：

A可逆是可逆陣A的特征值,那么1/是A1的特征值.

(+

1/

)

是(A+A1)的特征值.

(A+A1)的特征值為：

例9.設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,3,則的特征值為即

11,

5,

3第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量32精選ppt設(shè)A是n階方陣,對(duì)于數(shù),存在n維非零向量,使得A=,那么稱為A的一個(gè)特征值。由A

=

得齊次線性方程組(E–A)

=

,它有非零解

|E–A|=0

E–A不可逆假設(shè)A為方陣,是A的一個(gè)特征值(EA)不可逆.A為方陣,

不是A的特征值

(EA)可逆.例10.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,1,4,那么可逆的矩陣:(A)EA(B)4EA(C)2EA(D)2E+A例11.假設(shè)方陣A不可逆，那么A的一個(gè)特征值為()0例12.假設(shè)方陣A滿足A2=2A,0不是A的特征值,那么A=A可逆A=2E第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量33精選ppt§4.2方陣的特征值和特征向量(1學(xué)時(shí))§4.1相似矩陣(1學(xué)時(shí))第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件(1學(xué)時(shí))§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化(1學(xué)時(shí))一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量二.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣一.方陣可相似對(duì)角化的條件

二.方陣可相似對(duì)角化的步驟34精選ppt定理4.1.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量1,2,…,n和n個(gè)數(shù)1,2,…,n滿足Ai=ii,i=1,2,…,n.假設(shè)令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.第四章矩陣的特征值和特征向量

方陣A的相似對(duì)角化問(wèn)題:求可逆矩P,使P–1AP=

.其中，對(duì)角陣

稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件定理4.3.n階方陣A相似于對(duì)角矩陣

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.35精選ppt注1：假設(shè)A有l(wèi)(<n)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么A不與對(duì)角矩陣相似.(但是假設(shè)有P–1AP=B,那么A=PBP–1=E=B.矛盾!)證明:

1=

2=1

n

r=12

A不與對(duì)角陣B相似.§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

定理4.3.n階方陣A相似于對(duì)角矩陣

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.1001,A不與B相似.例7.A=1011,B=

E

A=00

1036精選ppt定理4.4.設(shè)

1,

2為方陣A的兩個(gè)不同的特征值,

1,

,

s,與

1,

,

r分別為屬于

1,

2的線性無(wú)關(guān)的特征向量,證明

1,

,

s,

1,

,

r線性無(wú)關(guān).證明:設(shè)k1

1+

+ks

s+l1

1+

+lr

r

=0

(1)左乘A得

2

(1)(2),得(

2

1)k1

1+

+

(

2

1)ks

s

=0

2

1,

k1

1

1+

+ks

1

s+l1

2

1++lr

2

r

=0

(2)

k1

1+

+

ks

s

=0

1,

,

s,線性無(wú)關(guān)

k1

=

=

ks

=0

l1

1+

+lr

r

=0

1,

,

r線性無(wú)關(guān)

l1

=

=

lr

=0所以

1,

,

s,

1,

,

r線性無(wú)關(guān).對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).37精選ppt第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3矩陣可相似對(duì)角化的條件定理4.5.

1,

2,…,

s

不同值{

11,…,

k1

,

12,…,

k2

,

…,

1s,…,

ks

}12

s

1

1,…,

sl.i.

1,…,

rl.i.

2

A

{

1,…,

s,

1,…,

r}線性無(wú)關(guān)l.i.l.i.l.i.線性無(wú)關(guān)命題.對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).38精選ppt推論4.4.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似

A的每個(gè)ni重特征值

i有ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即r(

iE

A)=n

ni,

i=1,

,t.其中，n1+n2++nt

=n推論4.3.假設(shè)n階方陣A有n個(gè)不同的特征值,那么A與對(duì)角矩陣相似.定理4.3.n階方陣A相似于對(duì)角矩陣

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

推論4.2

A的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).39精選ppt一.特征值、特征向量的定義和計(jì)算二.特征值、特征向量的性質(zhì)

0,s.t.

A

=

.先解|E–A|=0,

求

;將

代入(E–A)

=0,

求非零通解.

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1設(shè)是A的特征值,那么f()是f(A)的特征值.注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.

A的任一特征值

都是零化多項(xiàng)式的根.A可逆

A的特征值均不為0,

1/

是A

1的特征值.是可逆陣A的特征值,那么|A|/是A*的特征值.假設(shè)是方陣A的特征值,那么也是AT的特征值.40精選ppt推論4.4.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似

A的每個(gè)ni重特征值

i有ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即r(

iE

A)=n

ni,

i=1,

,t.其中，n1+n2++nt

=nCor4.3.n階方陣A有n個(gè)不同的特征值,那么A與對(duì)角陣相似.Th4.3.n階方陣A相似于對(duì)角陣

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

推論4.2

A的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).n階方陣A,B相似,假設(shè)有可逆陣P,使P1AP=B.相似關(guān)系下的不變量為：特征值,跡,行列式,秩41精選ppt求|E–A|=0的根有重根嗎?無(wú)A可以相似對(duì)角化有r(

iE

A)=n

ni?否A不能相似對(duì)角化是求n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

1,…,

n,令P=(

1,…,

n)P–1AP=diag(

1,…,

n)§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

第四章矩陣的特征值和特征向量

注:特征向量要與特征值的順序相對(duì)應(yīng)相似對(duì)角化問(wèn)題解題步驟An與

相似

i(ni重),有r(

iE

A)=n

ni42精選ppt解:|

E–A|=(

+1)(

–2)2.

1=–1,

2=

3=2.例13.設(shè),求可逆陣P和對(duì)角陣

,

使得P–1AP=

.

(2E–A)x=0的根底解系:1=(1,0,4)T,2=(0,1,–1)T.當(dāng)1=–1,(–E–A)x=0的根底解系:3=(1,0,1)T當(dāng)

2=

3=2,使得P–1AP=

.

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

第四章矩陣的特征值和特征向量

43精選ppt解:例13續(xù),求可逆陣P和對(duì)角陣

,

使得P–1AP=

.

并求出Ak.

使得P–1AP=

.

Ak=(P

P–1)k=P

kP–1P–1AP=

A=P

P–1第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

44精選ppt解:|

E–A|=(

–2)(

–1)2.

所以A的特征值為

1=2,

2=

3=1.例14.討論的相似對(duì)角化問(wèn)題.所以矩陣A

不能相似對(duì)角化，即不存在可逆陣P使得P–1AP=

.當(dāng)

2=

3=1,第四章矩陣的特征值和特征向量

§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

45精選ppt求|E–A|=0的根有重根嗎?無(wú)A可以相似對(duì)角化有r(

iE

A)=n

ni?否A不能相似對(duì)角化是求n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

1,…,

n,令P=(

1,…,

n)P–1AP=diag(

1,…,

n)§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件

第四章矩陣的特征值和特征向量

注:特征向量要與特征值的順序相對(duì)應(yīng)相似對(duì)角化問(wèn)題解題步驟An與

相似

i(ni重),有r(

iE

A)=n

ni46精選ppt§4.2方陣的特征值和特征向量(1學(xué)時(shí))§4.1相似矩陣(1學(xué)時(shí))第四章矩陣的特征值和特征向量§4.3方陣可相似對(duì)角化的條件(1學(xué)時(shí))§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化(1學(xué)時(shí))一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量二.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣一.方陣可相似對(duì)角化的條件

二.方陣可相似對(duì)角化的步驟47精選ppt§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量1.復(fù)矩陣的共軛矩陣設(shè)A=(aij)m

n,aij

C.A的共軛矩陣.

則稱A=(aij)m

n為共軛運(yùn)算的性質(zhì)：

(1)kA=kA;(2)A

B=A

B;(3)AT=;(4)AB=AB;(5)若A可逆,則A也可逆,且實(shí)對(duì)稱矩陣第四章矩陣的特征值和特征向量

48精選ppt2.實(shí)對(duì)稱矩陣定理4.7.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

從而另一方面,兩式相減得那么存在非零復(fù)向量x≠,滿足Ax=x,又因?yàn)閤≠

,故因此可見

為實(shí)數(shù).設(shè)復(fù)數(shù)

為實(shí)對(duì)稱陣A的特征值,證明:49精選ppt定理4.8.設(shè)1,2是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,p1,p2是對(duì)應(yīng)與它們的特征向量,那么p1與p2正交.定理4.8.實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量彼此正交.證明:設(shè)

1

2,

p1,

p2

0,s.t.Ap1=

1p1,

Ap2=

2p2

§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

此外,p1TAp2=p1TATp2=(Ap1)Tp2

=

1p1Tp2

,

于是(

1–

2)p1Tp2=0,從而p1TAp2

=p1T(

2p2)=

2p1Tp2.

但是

1

2,故p1Tp2=0.50精選ppt定理4.9.對(duì)于任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A,存在

正交矩陣Q,使得

Q–1AQ=QTAQ=

=diag(

1,

2,…,

n),

其中

1,

2,…,

n為A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對(duì)應(yīng)于

1,

2,…,

n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.二.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣推論.n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的ni重特征值都有ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

51精選ppt例15.把正交相似對(duì)角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

取

2=

2,將

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值為

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,52精選ppt解:所以A的特征值為1=–2,2=3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

取

2=

2,將

2,

3正交化,再單位化,即得例15.把正交相似對(duì)角化.53精選ppt例15.把正交相似對(duì)角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

取

2=

2,將

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值為

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,一個(gè)非零解為

2=(0,1,–1/2)T,設(shè)另一解為

3

2,

3=(5,1,2)T,再單位化,Q不唯一?54精選ppt例15.把正交相似對(duì)角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第四章矩陣的特征值和特征向量

取

2=

2,將

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值為

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,一個(gè)非零解為

2=(0,1,–1/2)T,設(shè)另一解為

3

2,

3=(5,1,2)T,