工程力學AEngineeringMechanicsA主講教師：李榮濤建筑工程學院CollegeofCivilEngineeringandArchitecture§13-1引言§13-2平面應力形狀應力分析§13-3極值應力與主應力§13-4復雜應力形狀的最大應力§13-5廣義胡克定律第十三章應力形狀分析本章主要研討：應力形狀應力分析的根本實際應力、應變間的普通關系拉壓桿強度條件：強度條件：保證構造或構件不致因強度不夠而破壞的條件。圓軸強度條件：梁的強度條件：建立強度條件的根據？一、強度條件回想§13-1引言危險點處的應力形狀！單向應力形狀純剪切應力形狀單向應力形狀純剪切應力形狀由對應實驗建立強度條件低碳鋼鑄鐵拉伸實驗改動實驗低碳鋼和鑄鐵的拉伸與改動實驗:§13-1引言FFTA微體A采用拉伸強度條件、改動強度條件，還是其它強度條件？螺旋槳軸:§13-1引言c,d點處:單向應力；a點處:純剪切；b點處:s,t結協作用復雜應力形狀下〔普通情況下〕，如何建立強度條件？分別滿足?做實驗找破壞時的組合方式？任務量與難度?工字梁應力形狀微〔元〕體、單元體圍繞所研討點取無限小微六面體建立復雜應力形狀強度條件的研討思緒：資料物質點應力形狀·應力微體資料失效機理強度條件xyzyxxxyy微元體構件受力后，經過其內一點在不同方向面上應力的集合，稱之為該點的應力形狀。微體的尺寸無限小，邊長為1；每個面上應力均勻分布；對面上應力相等。選取原那么：面上應力知或可求平面〔二向〕應力形狀xy三向〔空間〕應力形狀yxz§13-1引言xyxy單向應力形狀(OneDimensionalStateofStresses)純剪應力形狀

(ShearingStateofStresses)三向應力形狀平面應力形狀單向應力形狀純剪應力形狀特例特例§13-1引言xyzyxxxyy微體僅有四個面作用有應力；應力作用線均平行于不受力外表；平面應力形狀xyz知x,y,x,y求恣意平行于z軸的斜截面上的應力平面應力形狀的應力分析微體有一對平行外表不受力的應力形狀。

§13-2平面應力形狀應力分析xxyyxxyyαα一、平面應力形狀斜截面應力§13-2平面應力形狀應力分析正負號規(guī)定：拉為正；壓為負τ：使微元體順時針轉動為正〔與剪力Fs規(guī)定一樣〕α：從坐標軸x正向逆時針旋轉至斜截面法線方向為正τx=?τy§13-2平面應力形狀應力分析平面應力形狀下恣意斜截面上應力表達式§13-2平面應力形狀應力分析⑵正應力：拉應力為正，壓應力為負；切應力：對單元體內恣意點的矩順時針為正，反之為負。⑶斜截面方位角：從x軸正向轉到斜截面外法線所轉過的角度，逆時針轉為正，順時針轉為負。⑴σx、τx是法線與x軸平行的面上的正應力與切應力，即x面上的正應力與切應力；σy、τy是法線與y軸平行的面上的正應力與切應力，即y面上的正應力與切應力。一、平面應力形狀斜截面應力§13-2平面應力形狀應力分析上述關系式是建立在靜力學根底上，與資料性質無關。換句話說，它既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題。斜截面上的應力公式解析法§13-2平面應力形狀應力分析斜截面上的應力公式

二、應力圓〔圖解法〕§13-2平面應力形狀應力分析—坐標系下的圓方程圓心坐標：半徑：

o(x+y)/2R結論：平面應力形狀下各方向的應力軌跡為一個圓——應力圓§13-2平面應力形狀應力分析

o(x+y)/2R繪制方法1：為半徑作圓為圓心，以缺陷：需用解析法計算圓心坐標和半徑沒有反映應力圓上的點與微體截面方位的對應關系三、應力圓的繪制§13-2平面應力形狀應力分析OcD(sx,tx)BE(sy,tx)建立坐標系找兩點確定圓心和半徑三、應力圓的繪制§13-2平面應力形狀應力分析繪制方法2〔重點〕σ?τostDEsxtxsytyC(sx+sy)/2F(sx-sy)/2證明分析§13-2平面應力形狀應力分析點面對應：微體截面上的正應力和切應力與應力圓點的坐標值一一對應。四、應力圓與微體對應關系§13-2平面應力形狀應力分析OcD(sx,tx)E(sy,tx)H夾角2倍、轉向一致：四、應力圓與微體對應關系§13-2平面應力形狀應力分析cD(sx,tx)E(sy,tx)H夾角2倍：應力圓半徑轉過的角度是微體截面法線旋轉角度的兩倍。轉向一致：應力圓半徑旋轉方向與微體截面法線旋轉方向一致。O2a同理：ostsxtxDsytyEC(sx+sy)/2sH2a02aH(sa,ta)tHF(sx-sy)/2五、應力圓的運用§13-2平面應力形狀應力分析計算斜截面上的應力利用應力圓明晰的幾何關系推導并記憶一些根本公式，防止死記硬背；在運用過程中，該當將應力圓作為思索、分析問題的工具，而不是計算工具；解析法才是計算重點。§13-2平面應力形狀應力分析五、應力圓的運用ostsxtxDsytyEC(sx+sy)/2sH2a02aH(sa,ta)tHF(sx-sy)/2解：例13-1求圖示，單位：MPa并畫應力圓。單位：MPa建立坐標系找兩點確定圓心和半徑σ?τOcD(100,?20)E(30,20)H80°畫應力圓微體內最大與最小正應力？最大與最小切應力？微體內最大正應力與切應力方位？斜截面應力公式一、平面應力形狀的極值應力§13-3極值應力與主應力ostsxtxDsytyEC(sx+sy)/2sH2a02aH(sa,ta)tHF(sx-sy)/2法一：解析法一、平面應力形狀的極值應力§13-3極值應力與主應力當時，正應力有極值。最大正應力方位角α0：法一：解析法一、平面應力形狀的極值應力§13-3極值應力與主應力當時，切應力有極值。最大切應力方位角α1：最大切應力方位角α1與最大正應力方位角α0差45°§13-3極值應力與主應力一、平面應力形狀的極值應力法二：應力圓法正應力極值在A和B點：〔應力圓與橫軸交點〕最大正應力方位：〔負號表示x截面至最大正應力所在截面為順時針〕最大切應力在K和M點〔應力圓半徑〕：s極值與t極值所在截面，成夾角主平面——切應力為零的截面主應力——主平面上的正應力主應力符號與規(guī)定——主平面微體(主單元體)——三對相互垂直主平面構成的正六面體微體〔按代數值陳列〕二、主應力§13-3極值應力與主應力主平面:主應力：平面應力形狀二、主應力§13-3極值應力與主應力另有yxxxyy三、應力形狀分類:單向應力形狀：僅一個主應力不為零的應力形狀二向應力形狀：兩個主應力不為零的應力形狀三向應力形狀：三個主應力均不為零的應力形狀思索：以下單元體屬于哪種應力形狀？平面應力形狀和二向應力形狀區(qū)別？二向應力形狀單向應力形狀復雜應力形狀四、純剪切形狀的最大應力FF主平面微體位于方位三、單向拉伸時的最大切應力§13-3極值應力與主應力應力圓與縱軸相切應力圓圓心在原點低碳鋼圓軸改動時滑移與剪斷發(fā)生在τmax的作用面：鑄鐵圓軸改動時斷裂發(fā)生在σmax的作用面：例：純剪應力形狀下不同的斷裂機理：§13-3極值應力與主應力解：1.解析法例13-2用解析法與圖解法，確定主應力的大小與方位2.圖解法??畫應力圓2b313acd

2b131acd

1232

xyzxyz123三向應力圓一、三向應力圓§13-4復雜應力形狀的最大應力三向應力形狀21

321

---與主應力平行的斜截面上應力ABCoxzy123321

---其它恣意斜截面上的應力A與任一截面相對應的點，或位于應力圓上，或位于由應力圓所構成的陰影區(qū)域內?！?3-4復雜應力形狀的最大應力一、三向應力圓三向應力圓41321

max=1min=3max=(1-3)/2一點處的最大與最小正應力分別為最大與最小主應力；最大切應力位于與1及3均成450的截面以上結論對于單向與二向應力形狀均成立二、最大應力§13-4復雜應力形狀的最大應力42例圖示單元體最大切應力作用面是圖______單位：MPa§13-4復雜應力形狀的最大應力1=100、2=50、3=?50例試作圖示平面應力形狀微體的三向應力圓。單位：MPa最大切應力為多少？留意區(qū)分面內最大切應力'與一切方向面中的最大切應力max——一點處的最大切應力最大切應力§13-4復雜應力形狀的最大應力max例：求圖示應力形狀的主應力及最大切應力。解：由題可得〔主應力〕主應力最大切應力xxxyyy純剪應力形狀的胡克定律：單向應力形狀的胡克定律：如何確定復雜應力形狀下，應力與應變關系？？§13-5廣義胡克定律xyxyxxxyyy研討方法：利用〔變形〕疊加原理，由單向受力和純剪形狀的胡克定理推導復雜應力形狀的廣義胡克定律。xxyy=++平面應力形狀的廣義胡克定律三向應力形狀的廣義胡克定律以上結果成立的條件：各向同性資料線彈性范圍內小變形§13-5廣