2024屆湖南省邵陽市邵東縣第四中學數學高一第二學期期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數列的首項為，為等差數列，且（），若，，則（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角是()A． B． C． D．3．如果直線a平行于平面，則（）A．平面內有且只有一直線與a平行B．平面內有無數條直線與a平行C．平面內不存在與a平行的直線D．平面內的任意直線與直線a都平行4．2019年是新中國成立70周年，渦陽縣某中學為慶祝新中國成立70周年，舉辦了“我和我的祖國”演講比賽，某選手的6個得分去掉一個最高分，去掉一個最低分，4個剩余分數的平均分為91.現場制作的6個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法辨認，在圖中以表示，則4個剩余分數的方差為（）A．1 B． C．4 D．65．已知平面向量，，，，在下列命題中：①存在唯一的實數，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則.正確命題的序號是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③6．已知集合，集合為整數集，則（）A． B． C． D．7．若，則（）A． B． C． D．8．已知各項均為正數的等比數列，若，則的值為（）A．-4 B．4 C． D．09．把函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數解析式為（）A． B．C． D．10．已知函數相鄰兩個零點之間的距離為，將的圖象向右平移個單位長度，所得的函數圖象關于軸對稱，則的一個值可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數的取值范圍是______．12．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．13．設，，則______．14．若數列是正項數列，且，則_______．15．函數的反函數為____________.16．已知無窮等比數列滿足：對任意的，，則數列公比的取值集合為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若數列滿足：存在正整數，對任意的，使得成立，則稱為階穩(wěn)增數列.（1）若由正整數構成的數列為階穩(wěn)增數列，且對任意，數列中恰有個，求的值；（2）設等比數列為階穩(wěn)增數列且首項大于，試求該數列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數列（其中，常數為正實數），設為數列的前項和.若已知數列極限存在，試求實數的取值范圍，并求出該極限值.18．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大小；(2)求的面積.19．在中，，，，解三角形.20．已知圓過點和，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）求直線：被圓截得的弦長.21．如圖，在三棱錐中，，分別為，的中點，且.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】由題意可設等差數列的首項為，公差為，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,選B.2、B【解題分析】

先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【題目詳解】，可知，即，故選B【題目點撥】一般直線方程求傾斜角將直線轉換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．3、B【解題分析】

根據線面平行的性質解答本題．【題目詳解】根據線面平行的性質定理，已知直線平面.

對于A，根據線面平行的性質定理，只要過直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內有無數條直線與a平行；故A錯誤；

對于B，只要過直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內有無數條直線與a平行；故B正確；

對于C，根據線面平行的性質，過直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，所以C錯誤；

對于D，根據線面平行的性質，過直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，則在平面內與直線相交的直線與a不平行，所以D錯誤；

故選：B．【題目點撥】本題考查了線面平行的性質定理；如果直線與平面平行，那么過直線的平面與已知平面相交，直線與交線平行．4、B【解題分析】

由題意得x≥3，由此能求出4個剩余數據的方差．【題目詳解】由題意得x≥3，則4個剩余分數的方差為：s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．故選B．【題目點撥】本題考查了方差的計算問題，也考查了莖葉圖的性質、平均數、方差等基礎知識，是基礎題．5、D【解題分析】

分別根據向量的平行、模、數量積即可解決?！绢}目詳解】當為零向量時不滿足，①錯；當為零向量時④錯，對于⑤：兩個向量相乘，等于模相乘再乘以夾角的余弦值，與有可能夾角不一樣或者的模不一樣，兩個向量相等要保證方向、模都相同才可以，因此選擇D【題目點撥】本題主要考查了向量的共線，零向量。屬于基礎題。6、A【解題分析】試題分析：，選A.【考點定位】集合的基本運算.7、D【解題分析】

將指數形式化為對數形式可得，再利用換底公式即可.【題目詳解】解：因為，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查了指數與對數的互化，重點考查了換底公式，屬基礎題.8、B【解題分析】

根據等比中項可得，再根據，即可求出結果.【題目詳解】由等比中項可知，，又，所以.故選:B.【題目點撥】本題主要考查了等比中項的性質，屬于基礎題.9、D【解題分析】

函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），的系數變?yōu)樵瓉淼?倍，即為2，然后根據平移求出函數的解析式．【題目詳解】函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），得到，把圖象向左平移個單位，得到故選：．【題目點撥】本題考查函數的圖象變換．準確理解變換規(guī)則是關鍵，屬于中檔題．10、D【解題分析】

先求周期，從而求得，再由圖象變換求得．【題目詳解】函數相鄰兩個零點之間的距離為，則周期為，∴，，圖象向右平移個單位得，此函數圖象關于軸對稱，即為偶函數，∴，，．時，．故選D．【題目點撥】本題考查函數的圖象與性質．考查圖象平衡變換．在由圖象確定函數解析式時，可由最大值和最小值確定，由“五點法”確定周期，從而確定，再由特殊值確定．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析：記兩個切點為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標準方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點：直線和圓的位置關系.12、【解題分析】

先根據球的表面積公式求出半徑，再根據體積公式求解.【題目詳解】設球半徑為，則，解得，所以【題目點撥】本題考查球的面積、體積計算，屬于基礎題.13、【解題分析】

由，根據兩角差的正切公式可解得．【題目詳解】，故答案為【題目點撥】本題主要考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎知識的考查．14、【解題分析】

有已知條件可得出，時，與題中的遞推關系式相減即可得出，且當時也成立?！绢}目詳解】數列是正項數列，且所以，即時兩式相減得，所以（）當時，適合上式，所以【題目點撥】本題考差有遞推關系式求數列的通項公式，屬于一般題。15、【解題分析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數的反函數.【題目詳解】因為，所以，.所以的反函數是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查反函數定義，同時考查了三角函數的值域問題，屬于簡單題.16、【解題分析】

根據條件先得到：的表示，然后再根據是等比數列討論公比的情況.【題目詳解】因為，所以，即；取連續(xù)的有限項構成數列，不妨令，則，且，則此時必為整數；當時，，不符合；當時，，符合，此時公比；當時，，不符合；當時，，不符合；故：公比.【題目點撥】本題考查無窮等比數列的公比，難度較難,分析這種抽象類型的數列問題時，經常需要進行分類，可先通過列舉的方式找到思路，然后再準確分析.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）設，由題意得出，求出正整數的值即可；（2）根據定義可知等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩(wěn)增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩(wěn)增數列，分和兩種情況討論，列出關于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結合數列的極限存在，求出實數的取值范圍.【題目詳解】（1）設，由于數列為階穩(wěn)增數列，則，對任意，數列中恰有個，則數列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設數列中值為的最大項數為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數列為階穩(wěn)增數列，即對任意的，，且.所以，等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩(wěn)增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩(wěn)增數列.①當時，則等比數列中每項都為正數，由可得，整理得，解得；②當時，（i）若為正奇數，可設，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數時，可設，則，由，得，即，整理得，解得.所以，當時，等比數列為階穩(wěn)增數列.綜上所述，實數的取值范圍是；（3），由（1）知，則.①當時，，，則，此時，數列的極限不存在；②當時，，，上式下式得，所以，，則.（i）若時，則，此時數列的極限不存在；（ii）當時，，此時，數列的極限存在.綜上所述，實數的取值范圍是.【題目點撥】本題考查數列新定義“階穩(wěn)增數列”的應用，涉及等比數列的單調性問題、數列極限的存在性問題，同時也考查了錯位相減法求和，解題的關鍵就是理解新定義“階穩(wěn)增數列”，考查分析問題和解決問題能力，考查了分類討論思想的應用，屬于難題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(1)本題可根據三角函數相關公式將化簡為，然后根據即可求出角的大小；(2)本題首先可設的中點為，然后根據向量的平行四邊形法則得到，再然后通過化簡計算即可求得，最后通過三角形面積公式即可得出結果．【題目詳解】(1)由正弦定理邊角互換可得，所以.因為，所以，即，即，整理得.因為，所以，所以，即，所以.因為，所以，即．(2)設的中點為，根據向量的平行四邊形法則可知所以，即，因為，，所以，解得（負值舍去）.所以．【題目點撥】本題考查三角恒等變換公式及解三角形相關公式的應用，考查了向量的平行四邊形法則以及向量的運算，考查了化歸與轉化思想，體現了綜合性，是難題．19、當時，，，當，，【解題分析】

利用已知條件通過正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理轉化求解，即可求解．【題目詳解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因為，所以或，當時，因為，所以，從而，當時，因為，所以，從而＝．【題目點撥】本題主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理運用是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）設出圓心坐標和圓的標準方程，將點帶入求出結果即可；（Ⅱ）利用圓心到直線的距離和圓的半徑解直角三角形求得弦長.【題目詳解】解：（Ⅰ）由題意可設圓心坐標為，則圓的標準