函數(shù)及其應(yīng)用（三）

2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化小練

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題（共48分）

1.（本題8分）（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)

35

+c>+1c>+lc>+.-+1cy+-+-CX（k,〃為正奇數(shù)），/（x）是

35k〃

〃尤）的導(dǎo)函數(shù),貝ijr（i）+/（o）=（）

A.2"B.2'i

C.2"+lD.2,--'+l

2.體題8分）（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)〃x）=-三的圖像大致是（）

e

3.（本題8分）（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)〃x）=lnx,g（x）=gx3對(duì)任意的

士>%>0,不等式巾>當(dāng)二/3恒成立，則整數(shù)加的最小值為（）

g（XJ-g（/）

A.2B.1C.0D.-1

4.（本題8分）（2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)（理））已知a=ln2.1,^=log3e,

c=log754（則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

5.（本題8分）（2023?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)（文））已知/（x-1）是定義為R上的奇函數(shù)，

負(fù)1）=0,且#x）在上單調(diào)遞增，在［0,內(nèi)）上單調(diào)遞減，則不等式“2'-3）<0的

解集為（）

A.（1,2）B.（5）C.（2,+8）

D.（-oo,l）52,+8）

6.（本題8分）（2022.內(nèi)蒙古嗚蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)

/（x）=xe*-lnx-x-2,g（x）=幺+lnx-x的最小值分別為加，〃，貝!］（）

A.m<nB.m>nC.m-nD.北〃的大小關(guān)

系不確定

二、填空題（共32分）

7.（本題8分）（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））曲線y=扳及卜=/"20）圍成的平面區(qū)

域。如圖所示，向正方形OACB中隨機(jī)投入一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域的概

率為.

0<a<b,且/（。）=/0）,則a+2b的取值范圍是.

9.（本題8分）（2022?上海普陀?二模）設(shè)直線/:3x—y-”=0（〃wN*）與函數(shù)

/（x）=《產(chǎn)和g（x）=（少+3的圖像分別交于P?,Q,,兩點(diǎn)，則:吧㈤Ql=.

AA%

10.體題8分）（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=f（x）是定義域

為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)、/（x）=x+?+l.若函數(shù)y=/（x）在[3,”）上的最小值

為3,則實(shí)數(shù)“的值為.

三、解答題（共20分）

11.（本題20分）（2022?河南洛陽?模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)/（》）=加_加-1在

x=-l處取得極值4.

⑴求a,6的值；

⑵若存在xe[2,4],使3/l-4b〃x）成立，求實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

參考答案:

1.D

【分析】依題意求出/(O),再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征求出尸(1),即

可得解；

【詳解】解：因?yàn)閒(x)=C：+C%+；C：x3+(c：x5+―+：c：X+~+：c：x",

所以〃O)=C”1,

所以r(X)=c；+cv+cy+…+c+…+

則r(i)=q+c：+q+…+c：+…+c：,

其中c：+c：+c：+…+C+…+C：=2"T,

所以，'⑴=2"T,

所以r⑴+"0)=21+1；

故選:D

2.B

【分析】先由x>0時(shí):/。)<0,排除A,再利用導(dǎo)數(shù)法判斷.

【詳解】解：函數(shù)/(x)="4的定義域?yàn)镽，x>0時(shí)〃x)<(),排除A.

e

/曲)=土」，當(dāng)X<1時(shí)，r(x)<0,當(dāng)X>1時(shí)，f'(.x)>0,

e

所以?/Xx)在(Y,1)遞減，在遞增，

且Xf-co時(shí)，/(x)f+co,Xf+oo時(shí)，/(x)->0,

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)所給不等式轉(zhuǎn)化為方>々>0時(shí),f據(jù))>加8(%)-電/(8)恒成立，

構(gòu)造函數(shù)Mx)=mg(x)-xf(x)知其單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)恒大于等于0求解即可.

【詳解】因?yàn)間(x)=；x?單調(diào)遞增，玉>%>°，所以g(%)>g(X2)>0,即

g(X1)-g(X2)>0,

原不等式恒成立可化為"g(X1)-"取區(qū))>XI/(XI)-XJO?)恒成立，

答案第1頁，共7頁

即占>X,>0時(shí)，〃際(%)-%/(占)>，町(工2)-工2/02)恒成立,

即函數(shù)〃(x)=mg(x)-^f(x)=7工3-xlnx在(0,+<?)上為增函數(shù),

所以〃'(幻=g2-lnx-120在。XO)上恒成立，

、lnx+1人，/、lnx+1.、21nx+1

即nn加〉——,令-x)=——,則攵f'z(九)=-----—,

JCXX

當(dāng)0<x<e一時(shí)，攵'(］)>0，-X)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，％'(x)<0，攵。)單調(diào)遞減，故當(dāng)

時(shí)，函數(shù)&。)=電耍的最大值為

A-cx2

即〃?2］恒成立，由機(jī)eZ知，整數(shù)機(jī)的最小值為2.

故選：A

4.C

【分析】三個(gè)對(duì)數(shù)底數(shù)不同，真數(shù)也不同，選取中間值比較大小

【詳解】a=ln2.1>ln2'=?^7.39

21n23]=E2.1^^In7.5-Ine2

ln2-=ln21=ln2->0

In7.5In7.5JIn7.5In7.5

即ln2>迎2,所以。>c

In7.5

又e3。20.09,2.14?19.45

o3—3

所以：=lne4=ln%3>山夜F=]n2.1，所以

44

又e"s=54.3,所以b=logse=log?>log?療=；

所以所以Z?>a>c

故選：C

5.D

【分析】由/(x-1)是定義為R上的奇函數(shù)可知函數(shù)/(x)關(guān)于(T,0)點(diǎn)對(duì)稱；再結(jié)合

/(-D=0,即可得出/(-3)=/(-1)=/(I)=0.再結(jié)合段)在［-1,0)上單調(diào)遞增,在［01+oo)上

單調(diào)遞減，可知函數(shù)Ax)在(9,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)

遞減.再分類討論即可你求出答案.

【詳解】因?yàn)?(x-1)是定義為R上的奇函數(shù)，

所以八*-1)=一/(一'一1)；函數(shù)/。)關(guān)于(一1,0)點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)x=2時(shí)：/(-3)=-_/⑴=0；

答案第2頁，共7頁

當(dāng)x=0時(shí):/(-D=0；

所以/Xx)在(r,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)2*-3v-2時(shí)2、-3>-3,解得x<0;

當(dāng)-242*-340時(shí)2,-3<-1,解得0W;

當(dāng)2*-3>0時(shí)2*-3>1,解得x>2;

綜上所述：不等式f(2'-3)<0的解集(-co,1)u(2,+8)

故選：D.

6.A

【分析】首先證明e-x+l,然后利用賦值法求得“力和g(x)的最小值機(jī)，〃，從而確定

正確選項(xiàng).

【詳解】令/z(x)=e'—x—l,則=

:當(dāng)x<0H寸，0<ev<1;當(dāng)xN0時(shí)，er>1,

所以"(6在(-8,0)上單調(diào)遞減，在[0,+?)上單調(diào)遞減，

所以人(力海(0)=0,

所以e'Nx+1,

/./(x)=x-ev-Inx—x-2=e,nv+A-lnx-x-2>lnx-Fx+l-lnx-x-2=-l

(當(dāng)且僅當(dāng)lnx+x=0時(shí)”="成立)，,m=-\

/\eVIn-+A-]

(p(x)=—+lnx-x=e*4-lnx-x>ln—+x4-l+lnx-x=l,

xx

所以g(x)Nl,n>\.

所以

故選：A

7.-##0.5

2

【分析】求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從圖中可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)曲邊圖形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求面積，然后除以整個(gè)正方形的面積即得所求概

率.

答案第3頁，共7頁

y=xfx=0fx=1

【詳解】由"=瓶，得八或，，

■[y=o[y=i

x>0

所以陰影部分的面積為S=『獨(dú)Zr-『丁公=3j匕--x41[=4-9="正方形的面積為

JoJo44442

1,

所以質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域的概率為:，

2

故答案為：

8.(3,4w)

【分析】由/(〃)=/(力)，0V4V?？傻?。<。<1,匕>1,-\na=\nb,得人=L所以

22

a+2b=a+-,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+—(O<x<l),利用可求出其單調(diào)區(qū)間，從而可求出

ax

其范圍

【詳解】/(x)=|lnx|的圖象如圖，

因?yàn)椤ā?=/優(yōu))，

所以M4=|ln@,

因?yàn)镺vavZ?,

所以lna<0,ln/;>0,

所以

所以|lna|=_lnRln母=ln》,

所以一lna=ln〃，所以lna+lnb=ln(")=O,

答案第4頁，共7頁

所以必=1,則

a

2

所以。+26=〃+—，

a

2,2x—2

令g(x)=x+-(O<x<l),則g'(x)=l——=-——,

XXX

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<o,

所以g(x)在(0,1)上遞減，

所以g(x)>g⑴=1+2=3,

所以a+?>3,

所以a+2b的取值范圍為(3,M),

故答案為：(3,y)

9.V10

【分析】?jī)蓷l曲線一條無限接近x軸，另一條無限接近y=3,畫出圖像分析即可

故答案為：>/10

10.3

【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的定義求出當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)。進(jìn)行分類討論，確定單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意可知，因?yàn)閤>0,所以—x<0,

所以，—X)=T-@+l,

X

答案第5頁，共7頁

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以/(x)=-/(-x)=x+：-l.

x

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在［3,+00)上的最小值為3

當(dāng)“V0時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f(x)在［3,田)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x=3時(shí)，，3取得最小值為/(3)=2+］,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在［3,+oo)上的最小值為3,所以2+?=3,解得〃=3(舍)，

當(dāng)0＜。49時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)/(A在［3,y)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取得最小值為/(3)=2+微，

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在［3,也)上的最小值為3,所以2+］=3,解得〃=3,

當(dāng)。＞9時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)/5)在［&,+=?)上單調(diào)遞增；在(。,6)上單調(diào)遞

減；

當(dāng)x=&i時(shí)，f(x)取得最小值為/(〃)=&+耳=+1=26+1,

7a

因?yàn)楹瘮?shù)、=/(幻在［3,+00)上的最小值為3,所以26+1=3,解得。=1(舍)，

綜上，實(shí)數(shù)。的值為3.

故答案為：3.

11.(1)67=1,h