內(nèi)蒙古包頭市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

一.分式方程的應(yīng)用（共1小題）

1.（2021?包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在

家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按

原路返回學(xué)校.已知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速

度是跑步的平均速度的1.6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說

明理由.

二.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

2.（2020?包頭）某商店銷售A、8兩種商品，A種商品的銷售單價(jià)比8種商品的銷售單價(jià)

少40元，2件4種商品和3件B種商品的銷售總額為820元.

（1）求4種商品和8種商品的銷售單價(jià)分別為多少元？

（2）該商店計(jì)劃購進(jìn)A,B兩種商品共60件，且A,B兩種商品的進(jìn)價(jià)總額不超過7800

元.已知A種商品和B種商品的每件進(jìn)價(jià)分別為110元和140元，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這

兩種商品全部售出后總獲利最多？

三.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

3.（2022?包頭）由于精準(zhǔn)扶貧的措施科學(xué)得當(dāng)，貧困戶小穎家今年種植的草藤喜獲豐收，

采摘上市16天全部銷售完.小穎對銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該草薄上市第x天（x

取整數(shù)）時(shí)，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

,12x,0<x<10,草莓價(jià)格折（單位：元/千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

-20x+320,10<x416

示.

（1）求第14天小穎家草莓的日銷售量；

（2）求當(dāng)4WxW12時(shí)，草莓價(jià)格〃?與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？

四.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

4.（2022?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a?+c（aWO）與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0）,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,4）,例是拋物線上一動點(diǎn)，且位于

第一象限，直線AM與y軸交于點(diǎn)G.

（1）求該拋物線的解析式;

（2）如圖1,N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接OM,記△AOG,△MOG的面

積分別為Si,S2.當(dāng)SI=2S2,且直線CN〃AM時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱;

（3）如圖2,直線BM與y軸交于點(diǎn)“，是否存在點(diǎn)例，使得2OH-OG=7.若存在,

拋物線y=-7+4x經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正

半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)MCm,n）是拋物線上一動點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)機(jī)>0,〃>0,且〃=3〃?時(shí),

①求點(diǎn)M的坐標(biāo);

②若點(diǎn)B（生，y）在該拋物線上，連接。M,BM,C是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)

4

M,B不重合），過點(diǎn)C作C/）〃MO,交x軸于點(diǎn)O,線段。。與MC是否相等？請說明

理由；

（2）如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)E（x,工）在對稱軸上，當(dāng)機(jī)>2,n

3

>0,且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M

G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,工8）,連接GF.若EF+NF=2MF,求證：射線

5

EE平分NAFG.

6.（2020?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線-2x經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸

3

正半軸交于點(diǎn)A,該拋物線的頂點(diǎn)為直線y=-1+3經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

2

連接0M.

（1）求人的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）將直線A8向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=mr+〃，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)。（2,0）,連接。求證：ZADM-ZACM=45°；

（3）點(diǎn)E是線段A8上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OA上一動點(diǎn)，連接EF,線段EF的延長線

與線段OM交于點(diǎn)G.當(dāng)NBEF=2/BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E,使得3GF=4EF?若存在,

求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到8修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選定C,

。兩個(gè)觀測點(diǎn)，如圖.測得AC長為之返&〃，CD長為3（近+娓）km,BD長為3km,

242

ZACD=60°,ZCDB=135°（A、8、C、。在同一水平面內(nèi)）.

（1）求A、。兩點(diǎn)之間的距離；

（2）求隧道AB的長度.

六.四邊形綜合題（共1小題）

8.（2022?包頭）如圖，在。ABCD中，AC是一條對角線，且AB=AC=5,BC=6,E,F

是A。邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)，AE^DF,連接CE,CE的延長線與BA的延長線

相交于點(diǎn)G.

（1）如圖1,用是BC邊上一點(diǎn)，連接AM,MF,MF與CE相交于點(diǎn)N.

①若AE=3,求AG的長；

2

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AML8C；

（2）如圖2,連接GF,，是G尸上一點(diǎn)，連接EH.若NEHG=NEFG+NCEF,且“尸

=2GH,求EF的長.

七.圓周角定理(共1小題)

9.(2021?包頭)如圖，在銳角三角形ABC中，A。是邊上的高，以為直徑的。。

交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作FGJ_A8,垂足為H,交標(biāo)于點(diǎn)G,交AO于點(diǎn)

M,連接AG,DE,DF.

(1)求證：ZGAD+ZEDF=\S0°；

(2)若NAC8=45°,AO=4,tanN4BC=2,求，尸的長.

A.切線的性質(zhì)(共1小題)

10.(2020?包頭)如圖，A3是。。的直徑，半徑OCLAB,垂足為O,直線/為。。的切線,

4是切點(diǎn)，。是。4上一點(diǎn)，C。的延長線交直線/于點(diǎn)E,尸是08上一點(diǎn)，CE的延長

線交。。于點(diǎn)G,連接AC,AG,已知的半徑為3,C￡=V34，5BF-5AD=4.

(1)求AE的長；

(2)求cosNCAG的值及CG的長.

EA

九.圓的綜合題（共2小題）

11.（2022?包頭）如圖，AB為。。的切線，C為切點(diǎn),。是。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作OF，

AB,垂足為F,OF交。。于點(diǎn)E,連接E。并延長交。。于點(diǎn)G,連接CG,OC,OD,

已知NOOE=2NCGE.

(1)若。。的半徑為5,求CG的長;

（請用兩種證法解答）

12.（2021?包頭）如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△A8C內(nèi)部的一點(diǎn)，連接BP,CP.

（1）如圖1,以BC為直徑的半圓。交A8于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)R,當(dāng)點(diǎn)P在靛上時(shí),

連接AP,在BC邊的下方作CD=AP,連接OP,求NCP。的度數(shù)；

（2）如圖2,E是8c邊上一點(diǎn)，且EC=38E,當(dāng)BP=CP時(shí)，連接E尸并延長，交AC

于點(diǎn)F,若百AB=4BP,求證：4EF=3AB；

（3）如圖3,M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM=2MC時(shí)，連接MP.若NCMP=150°,AB

=6"，MP=Ma,△ABC的面積為Si,ZiBCP的面積為52,求S1-S2的值（用含a的

代數(shù)式表示）.

o,R

圖1圖2圖3

一十.幾何變換綜合題（共1小題）

13.（2020?包頭）如圖，在RtZXABC中,NACB=90°,AC=4,BC=2,RtaABC繞點(diǎn)C

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt^A'B'C,A'C與AB交于點(diǎn)D

（1）如圖1,當(dāng)A'B'〃AC時(shí)，過點(diǎn)3作8E_L4'C,垂足為E,連接4E.

①求證：AD=BD-,

②求也處的值;

SAABE

(2)如圖2,當(dāng)A'CJ_48時(shí)，過點(diǎn)。作。歷〃A'B',交B'C于點(diǎn)M交4c的延

長線于點(diǎn)M,求理■的值.

NM

一十一.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

14.（2022?包頭）如圖，A8是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，測角

儀器的高OH=CG=1.5米.某數(shù)學(xué)興趣小組為測量建筑物AB的高度，先在“處用測角

儀器測得建筑物頂端A處的仰角ZADE為a,再向前走5米到達(dá)G處，又測得建筑物頂

端A處的仰角NACE為45°,已知tana=Z,ABLBH,H,G,B三點(diǎn)在同一水平線上,

9

求建筑物A8的高度.

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共1小題）

15.（2020?包頭）如圖，一個(gè)人騎自行車由A地到C地途經(jīng)B地，當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)

現(xiàn)他的北偏東450方向有一電視塔P.他由A地向正北方向騎行了3近km到達(dá)B地，

發(fā)現(xiàn)電視塔尸在他北偏東75°方向，然后他由8地向北偏東15°方向騎行了到達(dá)C

地.

（1）求A地與電視塔P的距離；

（2）求C地與電視塔P的距離.

一十三.頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）

16.（2022?包頭）2022年3月28日是第27個(gè)全國中小學(xué)生安全教育日.某校為調(diào)查本校

學(xué)生對安全知識的了解情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行測試，測試后發(fā)現(xiàn)

所有測試的學(xué)生成績均不低于50分.將全部測試成績單位：分）進(jìn)行整理后分為五

組（50?60,60?70,70WxV80,800V90,90WxW100）,并繪制成頻數(shù)分布

直方圖（如圖）.

請根據(jù)所給信息，解答下列問題：

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了名學(xué)生；

（2）若測試成績達(dá)到80分及以上為優(yōu)秀，請你估計(jì)全校960名學(xué)生對安全知識的了解

情況為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；

（3）為了進(jìn)一步做好學(xué)生安全教育工作，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你為學(xué)校提一條合理化建議.

測試成績頻數(shù)直方圖

17.（2020?包頭）我國5G技術(shù)發(fā)展迅速，全球領(lǐng)先.某公司最新推出一款5G產(chǎn)品，為了

解用戶對該產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了30個(gè)用戶，得到用戶對該產(chǎn)品的滿意度評分如下

（單位：分）：

839268557771756273959294726459

667175698687798177688262776188

整理上面的數(shù)據(jù)得到尚不完整的頻數(shù)分布直方圖（如圖）.

請根據(jù)所給信息，解答下列問題：

（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）參與調(diào)查的一個(gè)用戶說：“我的滿意度評分在這30個(gè)用戶中是中位數(shù)”，該用戶的

滿意度評分是分；

（3）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級：

滿意度平分低于60分60分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計(jì)使用該公司這款5G產(chǎn)品的1500個(gè)用戶中，滿意度等級為“非常滿意”的人數(shù).

一十四.扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）

18.（2021?包頭）為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了學(xué)黨史知識競賽.參加知

識競賽的學(xué)生分為甲乙兩組，每組學(xué)生均為20名，賽后根據(jù)競賽成績得到尚不完整的統(tǒng)

計(jì)圖表（如圖），已知競賽成績滿分為100分，統(tǒng)計(jì)表中a,6滿足》=2a.請根據(jù)所給信

息，解答下列問題：

甲組20名學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表

成績（分）708090100

人數(shù)3ab5

（1）求統(tǒng)計(jì)表中“，匕的值；

（2）小明按以下方法計(jì)算甲組20名學(xué)生競賽成績的平均分是：（70+80+90+100）+4=

85（分）.根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識判斷小明的計(jì)算是否正確，若不正確，請寫出正確的算式并

計(jì)算出結(jié)果；

（3）如果依據(jù)平均成績確定競賽結(jié)果，那么競賽成績較好的是哪個(gè)組？請說明理由.

乙組20名學(xué)生競騫成績統(tǒng)計(jì)圖

/80分70分\

參考答案與試題解析

分式方程的應(yīng)用（共1小題）

1.（2021?包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在

家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按

原路返回學(xué)校.已知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速

度是跑步的平均速度的1.6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說

明理由.

【解答】解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x

米/分，

根據(jù)題意，得空%+45=當(dāng)”，

1.6xx

解得：x=150,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=150是所列方程的根，

答：小剛跑步的平均速度為150米/分.

（2）他不能在上課前趕回學(xué)校，理由如下：

由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，

則小剛跑步所用時(shí)間為18004-150=12（分），

騎自行車所用時(shí)間為12-4.5=7.5（分），

?.?在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，

小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3=22.5（分）.

又：22.5>20,

...小剛不能在上課前趕回學(xué)校.

二.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

2.（2020?包頭）某商店銷售A、B兩種商品，4種商品的銷售單價(jià)比B種商品的銷售單價(jià)

少40元，2件A種商品和3件B種商品的銷售總額為820元.

（1）求4種商品和B種商品的銷售單價(jià)分別為多少元？

（2）該商店計(jì)劃購進(jìn)4,B兩種商品共60件，且A,8兩種商品的進(jìn)價(jià)總額不超過7800

元.已知A種商品和B種商品的每件進(jìn)價(jià)分別為110元和140元，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這

兩種商品全部售出后總獲利最多？

【解答】解：（1）設(shè)A種商品的銷售單價(jià)是x元，8種商品的銷售單價(jià)是y元

根據(jù)題意得：（y-x"。，

|2x+3y=820

解得：卜=14。，

|y=180

答：A種商品的銷售單價(jià)是140元，B種商品的銷售單價(jià)是180元；

（2）設(shè)購進(jìn)A種商品a件，則購進(jìn)B種商品（60-〃）件，設(shè)總獲利為w元，

根據(jù)題意得：110。+140（60-a）<7800,

解得：a》20,

w=（140-110）a+（180-140）（60-a）=-10a+2400,

V-10<0,

隨a的增大而減小，

...當(dāng)“=20時(shí)，w有最大值；

答：商店購進(jìn)A種商品20件，購進(jìn)B種商品40件時(shí)，總獲利最多.

三.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

3.（2022?包頭）由于精準(zhǔn)扶貧的措施科學(xué)得當(dāng)，貧困戶小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，

采摘上市16天全部銷售完.小穎對銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該草薄上市第x天（x

取整數(shù)）時(shí)，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

,12x,0<x<10,草莓價(jià)格相（單位：元/千克）與*之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

-20x+320,10<x<16

示.

（1）求第14天小穎家草莓的日銷售量；

（2）求當(dāng)4<xW12時(shí)，草莓價(jià)格相與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？

.,.當(dāng)x=14時(shí)，>=-20X14+320=40（千克），

.?.第14天小穎家草莓的日銷售量是40千克.

（2）當(dāng)4WxW12時(shí)，設(shè)草莓價(jià)格〃?與x之間的函數(shù)關(guān)系式為〃?=丘+匕，

?.?點(diǎn)（4,24）,（12,16）在根=區(qū)+匕的圖象上，

...[4k+b=24,

*I12k+b=16，

解得：（k=-l.

lb=28

二函數(shù)解析式為m=-x+28.

（3）當(dāng)OWxWlO時(shí),y=12x,

二當(dāng)x=8時(shí)，y=12X8=96,

當(dāng)x=10時(shí)，y=12X10=120；

當(dāng)4WxW12時(shí)，m=-x+28,

.?.當(dāng)x=8時(shí)，膽=-8+28=20,

當(dāng)x=10時(shí)，m=-10+28=18

...第8天的銷售金額為：96X20=1920（元），

第10天的銷售金額為：120X18=2160（元），

V2160>1920,

.?.第10天的銷售金額多.

四.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

4.（2022?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+c（〃W0）與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0）,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,4）,M是拋物線上一動點(diǎn)，且位于

第一象限，直線A仞與y軸交于點(diǎn)G.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接0M,記△AOG,ZXMOG的面

積分別為Si,S2.當(dāng)SI=2S2,且直線CN〃4例時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于)，軸對稱；

(3)如圖2,直線與y軸交于點(diǎn)H,是否存在點(diǎn)使得20H-0G=7.若存在，

【解答】解：(1)???拋物線產(chǎn)oAc(a#0)與x軸交于(2,0),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,

4),

(4a+c=0

1c=4

:.該拋物線的解析式為曠=-7+4；

(2)證明：過點(diǎn)M作MOLy軸，垂足為￡),

VSi=252,

：.0A=2MD,

當(dāng)y=0時(shí)，貝!]-X2+4=0,

解得x=±2,

?:B(2,0),

???A(-2,0),

：.OA=2,MD=1,

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(加，-渥+4),

??,點(diǎn)M在第一象限，

??機(jī)=1,

:.-病+4=3,

即M(1,3),

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+bf

.f-2k+b=0

1k+b=3

解得尸=1,

lb=2

直線AM的解析式為y=x+2,

'：CN//AM,

設(shè)直線CN的解析式為y=x+r,

VC(0,4),

4,

即直線CN的解析式為y=x+4,將其代入產(chǎn)-?+4中,

得x+4=-X2+4,

解得x=0或-1,

：N點(diǎn)在第二象限，

：.N(-1,3),

VM(1,3),

.?.點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱；

(3)過點(diǎn)M作ME_Lx軸，垂足為E,令M(〃?，-w2+4),

*：B（2,0）,

：?OB=2,BE=2-m,

在RtABEM和中，

VtanZMBE=tan/HBO,

???—EM=—OH,

BEBO

；.0H=E見''BO=2（_m2+4）=2（2+,?）=2膽+4,

BE2-m

???OA=2,

*.AE=m+2,

在RtAAOG和RtAAEM中,

VtanZGAO=tanZMAE,

???—OG=—EM,

AOAE

.?.0G=P'「a。=2C+G=2（2-m）=4-2〃?，

AEm+2

?：2OH-OG=7,

：.2（2/W+4）-（4-2機(jī)）=7,

解得〃?=』，

2

當(dāng)機(jī)=」■時(shí)，2+4=」§_,

24

：.M（A,K）,

24

存在點(diǎn)M（工，」回），使得20”-OG=7.

24

5.（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--+4x經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正

半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)MCm,n）是拋物線上一動點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)加>0,〃>0,且〃=3瓶時(shí)，

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)B（1立，y）在該拋物線上，連接OM,BM,C是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)

4

M,8不重合），過點(diǎn)C作CO〃MO,交x軸于點(diǎn)。，線段。。與MC是否相等？請說明

理由；

（2）如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)E（x,工）在對稱軸上，當(dāng)機(jī)>2,n

3

>0,且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)尸時(shí);過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N,

G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,?），連接GF.若EF+NF=2MF,求證：射線

5

EE平分NAFG.

【解答】解（1）①..,點(diǎn)例Cm,n）在拋物線y=-7+4x上,

；?/1=-m2+4m(I),

*：n=3m(II),

m=0（舍去）或m=l

聯(lián)立（I）（n）解得,

n=0n=3

:.M(1,3)；

②OD=MC,理由：

如圖1,：點(diǎn)8（li,y）在該拋物線y=-7+4x上,

4

；.y=-（叵）2+4X叵=耳

4416

；.B（耳區(qū)），

416

由①知，M（1,3）,

，直線BM的解析式為y=-■|聲竽，

令y=0,則-3x+_l^=0,

44

??x=5,

延長MB交x軸于P,

：.P(5,0),

???OP=5,

TM(1,3),

???PM=V(5-1)2+(0-3)2=5=。尸，

:.NPOM=NPMO,

■:CD//MO,

:"PDC=/POM,/PCD=NPMO,

：.ZPDC=ZPCD9

:.PD=PC,

:.PO-PD=PM-PC,

：.OD=MC；

2

(2)???拋物線y=-』+4x=-(x-2)+4,

：.E(2,1)，

3

令y=0,則-7+4%=。，

.??x=0或x=4,

，A(4,0),

???AN_Lx軸，

，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4,

由圖知，NF=EF+EM+MN,MF=EF+EM,

?:EF+NF=2MF,

：.EF+EF+EM+MN=2(EF+EM),

：?MN=EM,

過點(diǎn)M作“MLi軸于H,

-,.MH是梯形EKAN的中位線，

的橫坐標(biāo)為3,

?.?點(diǎn)M在拋物線上，

，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-32+4X3=3,

：.M(3,3),

；點(diǎn)E(2,工)，

3

二直線EF的解析式為y=2r+l,

3

令y=0,則2x+l=0,

3

'.x--—,

2

：.F(-3,0),

2

:.OF=3,

2

令x=0,則y=l,

記直線EF與y軸的交點(diǎn)為，

：.L(0,1),

：.OL=l,

VG（0,歿）,

5

.?.一,

：.LG=OG-OL^^.

5

根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G=如2"=用)2+嚕)2譚，

過點(diǎn)L作LQLFG于0,

?e?S^FLG=^FG*LQ=1-LG*OF,

會＞4

._LG-0F_52_

zo毀-is

10

'JOLLFA,LQ±FG,

二產(chǎn)￡：平分/4/6,

即射線正?平分NAQG.

6.(2020?包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=&2_2x經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸

3

正半軸交于點(diǎn)A,該拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=-L+匕經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,

2

連接OM.

(1)求。的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)：

(2)將直線4B向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=/nx+〃，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)0(2,0),連接求證：ZADM-ZACM=45°；

(3)點(diǎn)E是線段AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OA上一動點(diǎn)，連接EF,線段EF的延長線

與線段交于點(diǎn)G.當(dāng)NBEF=2NB4。時(shí)，是否存在點(diǎn)E,使得3GF=4E/？若存在,

求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)解：對于拋物線了二12-〃，令y=0,得到匕2?2%=0,

33

解得冗=0或6,

AA(6,0),

,直線y=-經(jīng)過點(diǎn)A,

2

???()=-3+4

.??。=3,

(x-3)2-3,

33

：.M(3,-3).

(2)證明：如圖1中，設(shè)平移后的直線的解析式y(tǒng)=-1+”.

2

圖1

?.?平移后的直線經(jīng)過M(3,-3),

-3--—+?,

2

."=-3,

2

平移后的直線的解析式為尸-/-一?!，

過點(diǎn)。(2,0)作￡W_LMC于H,

則直線DH的解析式為y=2x-4,

y=2x~4

由＜13，解得

y一下｛言

：.H(1,-2),

VD(2,0),M(3,-3),

2222

DH=-^2+1=疾，HM=|+2=疾，

:.DH=HM.

：.ZDMC=45°,

,/NADM=ZDMC+ZACM,

：.ZADM-ZACM=45°.

（3）解：如圖2中，過點(diǎn)G作G”_LOA于H,過點(diǎn)E作EK_LOA于K.

?：NBEF=2NBA0,NBEF=NBAO+NEFA,

J.ZEFA^ZBAO,

?：NEFA=NGFH,tan/BAO=&=3=工,

OA62

.".tanZGFH=tanNEFK=工,

2

\'GH//EK,

，竺=里=魚設(shè)GH=4k,EK=3k,

EFEK3

則OH=HG=4k,FH=8k,FK=AK=6k,

：.OF=AF=\2k=3,

；.OF=3,FK=AK=旦，EK=S,

24

0K=9,

2

：.E（9,2）.

24

五.勾股定理的應(yīng)用（共1小題）

7.（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測量員在直線A8的同一側(cè)選定C,

。兩個(gè)觀測點(diǎn)，如圖.測得AC長為司氏皿，CD長為3（近+氓）km,BD長為3km,

242

NAC￡>=60°,ZCDS=135°(4、B、C、。在同一水平面內(nèi)).

(1)求4、。兩點(diǎn)之間的距離;

(2)求隧道AB的長度.

【解答】解：(1)過A作AELCD于E,如圖所示:

則NAEC=/AE￡)=90°,

VZACD=60°,

：.ZCAE=900-60°=30°,

CE=Lc=3點(diǎn)(km),AE=\[^CE=3娓(km),

244

DE=CD-CE=S(V2+V6)---J2-—V6(km),

444

：.AE=DE,

是等腰直角三角形,

(km)；

(2)由(1)得：△4￡>￡是等腰直角三角形,

(km),NAOE=45°,

*：ZCDB=]35°,

AZADB=135°-45°=90°，

=3(km),

即隧道A5的長度為3切E

B

E

六.四邊形綜合題（共1小題）

8.（2022?包頭）如圖，在。4BCD中，AC是一條對角線，且AB=AC=5,BC=6,E,F

是A￡）邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)，AE=DF,連接CE,CE的延長線與BA的延長線

相交于點(diǎn)G.

（1）如圖1,M是BC邊上一點(diǎn)，連接4M,MF,與CE相交于點(diǎn)N.

①若AE=3,求AG的長；

2

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AMLBC;

（2）如圖2,連接GF,“是GF上一點(diǎn)，連接EH.若NEHG=NEFG+NCEF,且HF

=2GH,求EF的長.

【解答】解：（1）①；四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB//CD,AD//BC,DC=AB=5,AO=8C=6,

:"GAE=NCDE,NAGE=NDCE,

：./\AGE^/\DCE,

>??AG=AE

DCDE

2

???￡>E=9,

2

???9AG=5X且，

22

???AG=9.

3

②證明：???AD〃8C,

:?/EFN=/CMN,

■:/ENF=/CNM,EN=NC,

：./\ENF^/\CNM(A4S),

工EF=CM,

,.?AE=2,AE=DF,

2

???￡)/=3,

2

：.EF=AD-AE-DF=3f

：.CM=-3,

?：BC=6,

???8M=3,

:?BM=MC,

：.AB=AC,

：.AM±BC.

(2)連接CR

9

：AB=ACfAB=DC,

：.AC=DC,

：.ZCAD=ZCDAf

?；AE=DF,

：.AAEC^ADFC(SAS),

：.CE=CF,

:?NCFE=/CEF,

：./EHG=NEFG+NCEF,

：.ZEHG=/EFG+/CFE=/CFG,

J.EH//CF,

.GH=GE(

"W而'

"：HF=2GH,

.GE_1

EC2

'：AB//CD,

:"GAE=NCDE,NAGE=NDCE,

：./\AGE^/\DCE,

.?.坐=”

"DECE'

???A“E—_—1—，

DE2

：.DE=2AEf

設(shè)則OE=2x,

VAD=6,

.?.x+2x=6,

??x=2,

即AE=2f

：.DF=2,

\EF=AD-AE-DF=2.

圖2

七.圓周角定理(共1小題)

9.(2021?包頭)如圖，在銳角三角形ABC中，4。是8c邊上的高，以AO為直徑的。0

交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作FGLA8,垂足為“，交源于點(diǎn)G,交A。于點(diǎn)

M,連接AG,DE,DF.

(1)求證：ZGA￡>+Z￡DF=180°；

(2)若NAC8=45°,AO=4,tan/ABC=2,求HF的長.

A

【解答】（1）證明：由題可知NAGF=NAD產(chǎn)（同弧所對的圓周角相等）,

\-GFLAB,AO為圓的直徑，

/.ZAGF+ZGAE=90a,ZADF+ZMD=90°,

：.ZGAE^ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=NEAF,

:四邊形AEDF是圓的內(nèi)接四邊形，

AZEAF+ZEDF=180°,

：.ZGAD+ZEDF=]S00.

（2）解：如圖，

是圓的直徑，且A。是△ABC的高，GFYAB,

：.ZAED=ZADB=ZAHM=ZAFD=90Q,

,：ZHAM^ZDAB,

：.XAHMsXADB,

?AH=AD(

"IfflBD，

：tanNABC=^=2,

BD

?AH=?

HM

VZACB=45°,

AZDAC=ZADF=ZAFO=45°,

AZAOF=90Q,

:在RtAAHM與RtAFOM中：NAMH=NFMO（對頂角），

△AFWs△尸OM,

?世=迎=2

.而市一，

VAD=4,

OF=OA^2,

.".^2.=2,解得OM=1,AM=OA-OM=1,

OM

設(shè)則AH=2x,

在Rt/XAHM中有：AH2+HM2^AM2,

即（2x）2+）=1,解得X1=Y^_,X2=-（舍去），

_55

：.AH=2^3_,

5

\'OF=OA=2,

；.AF=2&,

在RtZiAHF中，有：AH2+HF2=AF2,

即（名叵）2+HF2^（2V2）2,

5

解得HF=時(shí)直,或HF=-型5.（舍去），

55

故HF的長為顯

5

八.切線的性質(zhì)（共1小題）

10.（2020?包頭）如圖，A8是。。的直徑，半徑0CLA8,垂足為O,直線/為。。的切線,

A是切點(diǎn)，。是。4上一點(diǎn)，CD的延長線交直線/于點(diǎn)E,F是上一點(diǎn)，CF的延長

線交。0于點(diǎn)G,連接AC,AG,已知。。的半徑為3,CE=V34，5BF-5AD=4.

（1）求4E的長；

（2）求cosZCAG的值及CG的長.

EA

B

【解答】解：（1）延長C。交。。于7,過點(diǎn)E作于兄

??,直線/是OO的切線，

C.AELOD.

OC_LAB,

AZEAO=ZAOH=ZEHO=90°,

???四邊形AE"。是矩形，

:.EH=OA=3,AE=OH,

V^=VEC2-EH2=V(V34)2-32=5>

：.AE=OH=CH-C0=5-3=2.

(2)'：AE//OC,

?膽=坦=2,

"ocDO3"

?.AD=2OA=旦，

55

：5BF-5AD^4,

,.BF=2,

22

\OF=OB-BF=1,AF=AO+OF=4,CF=VOC+OF=V32+l2='

：ZFAC=ZFGB,ZAFC=ZGFB,

..△AFCs^GFB,

?AF=CF

.而麗，

?4=百3

*FG~2~

\FG=

5

CG=FG+CF=^^-,

5

；CT是直徑，

，NCGT=90°,

,GT=V??^?二42T嚕）2:嚕,

Vbb

3面

cosZCTG=I^=——=也以

TC610

"：ZCAG=ZCTG,

.?.cosNC4G=^^.

不10

B

九.圓的綜合題（共2小題）

11.（2022?包頭）如圖，AB為。。的切線，C為切點(diǎn)，。是。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸，

AB,垂足為凡力產(chǎn)交。。于點(diǎn)E,連接E。并延長交。0于點(diǎn)G,連接CG,OC,0D,

已知NOOE=2NCGE.

（1）若。。的半徑為5,求CG的長；

（2）試探究OE與EP之間的數(shù)量關(guān)系，寫出并證明你的結(jié)論.（請用兩種證法解答）

備用圖

【解答】解：（1）連接CE,

vCE=CE>

：.ZCOE=2ZCGE9

?:/D0E=2/CGE,

：.ZCOE=ZDOE,

〈AB為。。的切線，C為切點(diǎn),

:.0C

：.ZOCB=90°,

9：DFLAB,

:?/DFB=96°,

???NOCB=NO/8=90°,

???OC//DF,

:?/COE=NOED,

：.ZDOE=ZOED,

：.OD=DE,

???OD=OE,

???△OOE是等邊三角形,

，/。。石=60°,

AZCGE=30°,

???。0的半徑為5,

AEG=10,

TEG是OO的直徑，

：.ZGCE=90°,

在RtZ\GCE中，GC=EG-cosZCGE=10Xcos300=10義亨=5百

(2)DE=2EF.

方法一：

證明：'：ZCOE=ZDOE=GO°,

???CE=DE.

：.CE=DE,

"：OC=OE,

...△OCE為等邊三角形，

AZOC￡=60°,

'：ZOCB=9Q0,

.,.ZECF=30°,

:.EF=LCE,

2

:.EF=LDE,

2

即DE=2EF；

方法二：

過點(diǎn)。作OHLDF于H,

.?.NOH尸=90°,

VZOCB=ZDFC=90",

四邊形OCFH是矩形，

：.CF=OH,

/\ODE是等邊三角形，

：.DE=OE,

'：OH±DF,

：.DH=EH,

"：ZCOE=ZDOE,

CE=DE，

：.CE=DE,

:.CE=OE,

,:CF=OH,

：.RtACFE^RtAOWE(HL),

：.EF=EH,

：.DH=EH=EF,

:.ED=2EF.

12.(2021?包頭)如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△48C內(nèi)部的一點(diǎn)，連接BP,CP.

(1)如圖1,以BC為直徑的半圓。交AB于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)R,當(dāng)點(diǎn)P在同上時(shí)，

連接AP,在BC邊的下方作CD=AP,連接。P,求NCPO的度數(shù)；

(2)如圖2,E是BC邊上一點(diǎn)，且EC=38E,當(dāng)BP=CP時(shí)，連接EP并延長，交4c

于點(diǎn)尸，若J74B=48P,求證：4M=3AB；

(3)如圖3,M是4c邊上一點(diǎn)，當(dāng)4M=2MC時(shí)，連接MP.若NCMP=150°,AB

=6a,MP=Ma,△ABC的面積為Si,△BCP的面積為S2,求S1-S2的值(用含。的

代數(shù)式表示).

【解答】解：(1)如圖1,連接8。,

V/\ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,NABC=60°,

在△BAP和△BCD中，

'AB=BC

<ZBAP=ZBCD?

AP=CD

：./\BAP^/\BCD(SAS),

：.BP=BD,NABP=/CBD,

'：ZABP+ZPBC=60°,

：.ZCBD+ZPBC=60°,

即/尸20=60°,

」.△BOP是等邊三角形，

：.ZBPD=6Q°,

是。。的直徑，

：.ZBPC=90°,

:.NCPD=NBPC-/BPD=90°-60°=30°；

(2)如圖2,連接4P交BC于。，

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,/ABC=/ACB=60°,

,:BP=CP,

J.ADLBC,BD=CD=1.BC=1AB,

22

：.AD=AB-sinZABC=AB-sin600=^-AB,

2

4____________________

*',PD=dBp2_BI)2={2_?AB)2=4~AB,

：.PD=1AD,即點(diǎn)尸是AO的中點(diǎn)，

2

；EC=3BE,

：.BE=1BC,BC=4BE,

4

；BD=LBC,

2

???BE=1BD,即點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，

2

；.EP是△AB。的中位線，

：.EF//AB,

：./\CEF^^CBA,

?EF^CE=3BE=3

**AB麗屈丁

；.4EF=3AB；

(3)如圖3,過點(diǎn)A作AO_LBC于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作尸ELBC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)凡作

PH_L4c于點(diǎn)H,

由(2)得：AD=?AB=3如a,NACB=60°,BC=AC=AB=6a,

2

VZCMP=150°,

...NPMF=180°-NCMP=180°-150°=30°,

?.,/CHP=90°,

PH=PM?sinZPMF=禽a*sin30°=^-a,

2

MH=PM?cosNPMF=Ma?cos30°=區(qū)，

2

"：EF±BC,

AZC￡F=90°,

：.ZCFE=90°-/AC8=90°-60°=30°,

:.NCFE=NPMF,

：.PF=PM=Ma,

FH=PF,cosZPFH=V3?*cos30°—^-a,

2

?：AM=2MC,

：.CM=^AC=^X6a=2a,

33

:.CF=CM+MH+HF=5a,

.?.EF=Osin/ACB=5a?sin60°

_2

：.PE=EF-PF=E凰-正。=漢3,