PAGE第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問(wèn)題1.視角視角是指觀察物體的兩端張開的角度.

2.仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在時(shí)叫俯角.

3.方位角從指北方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.其取值范圍為.

4.方向角與方位角是相同的角嗎?一、單選題1.從地面上觀察一建在山頂上的建筑物,測(cè)得其視角為α,同時(shí)測(cè)得建筑物頂部仰角為β,則山頂?shù)难鼋菫?()A.α+β B.α-βC.β-α D.α2.如圖所示,飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過(guò)1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)母叨葹?精確到0.1km,參考數(shù)據(jù):3≈1.732)()A.11.4km B.6.6kmC.6.5km D.5.6km3.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50m,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cosθ= ()A.22B.2-3C.3-1D.4.如圖,無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處,觀測(cè)到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知∠MCN=60°,則山的高度MN為 ()A.1503m B.2003mC.3003m D.300m二、多選題5.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則 ()A.甲樓高203米B.甲樓高203C.乙樓高403D.乙樓高403米6.一艘客船上午9:30在A處,測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向,之后它以每小時(shí)32nmile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得客船與燈塔S相距82nmile,則燈塔S可能在B處的 ()A.北偏東75°B.南偏東15°C.東北方向D.東南方向三、填空題7.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

8.(教材改編題)甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北行駛,若甲船的速度是乙船的3倍,則甲船應(yīng)沿方向行駛才能追上乙船;追上時(shí)甲船行駛了nmile.

四、解答題9.(教材改編題)在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α=60°,在塔底C處測(cè)得點(diǎn)A的俯角β=45°,已知鐵塔BC部分高32米,求山高CD.10.如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A,B,C.為增加景區(qū)人民的收入,景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8km處,位于景點(diǎn)B的正北方向上,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上,已知AB=5km,AD>BD.(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長(zhǎng);(2)求∠ACD的正弦值.一、選擇題1.飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔15000m,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°,經(jīng)過(guò)108s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?()A.15-B.15-C.15-D.15-2.在燈塔A的正東方向,相距40海里的B處,有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.海警船在燈塔A的南偏西30°,相距20海里的C處.現(xiàn)海警船要沿直線CB方向,盡快前往B處救援,則sin∠ACB等于 ()A.217B.2217C.321二、填空題3.(教材改編題)如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°,則塔高為米.

4.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四邊形ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,AN⊥DE于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)M.可證△ABE與△HBC全等,進(jìn)而得到矩形BENM與正方形ABHL面積相等;同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等.在該圖中,若tan∠BAE=13,則sin∠BEA=三、解答題5.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.6.如圖,某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時(shí)15km的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練,長(zhǎng)跑開始時(shí),在A市南偏東方向距A市75km,且與海岸距離為45km的海上B處有一艘劃艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā),要追上這位運(yùn)動(dòng)員.(1)劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員?(2)求劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角.(3)若劃艇每小時(shí)最快行駛11.25km,劃艇全速行駛,應(yīng)沿何種路線行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員,最快需多長(zhǎng)時(shí)間?第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問(wèn)題必備知識(shí)·落實(shí)1.視線2.水平視線水平視線上方水平視線下方3.順時(shí)針0°~360°({θ|0°≤θ<360°})4.方向角和方位角不是相同的角.方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,而方位角是從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角.知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.C如圖可知,山頂?shù)难鼋菫棣?α.2.B因?yàn)锳B=1000×160=503(km),所以BC=ABsin45°·sin30°=50所以航線離山頂?shù)木嚯xh=BC·sin75°=5032×sin75°=5032所以山頂?shù)母叨燃s為18-11.4=6.6(km).3.C在△ABC中,由正弦定理得:BC=AB·sin∠CABsin∠ACB在△BCD中,由正弦定理得:sin∠BDC=BC=50(6-因?yàn)棣?∠BDC-90°,所以cosθ=cos(∠BDC-90°)=sin∠BDC=3-1.4.D因?yàn)锳D∥BC,所以∠ACB=∠DAC=45°,所以AC=2AB=2002m,又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,所以∠AMC=45°,在△AMC中,MCsin∠MAC所以MC=2002sin60°所以MN=MCsin∠MCN=2003sin60°=300m.5.AC甲樓的高為20tan60°=20×3=203(米);乙樓的高為203-20tan30°=203-20×33=4033(6.AB畫出示意圖如圖,客船半小時(shí)航行的路程為32×12=16(nmile),所以AB=16nmile又BS=82nmile,∠BAS=30°,所以82sin30°所以sin∠ASB=22,所以∠ASB=45°或∠ASB=135°當(dāng)船在B處時(shí),∠ASB=45°,∠B'BS=75°;當(dāng)船在B'處時(shí),∠ASB'=135°,∠AB'S=15°.綜上,燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°.7.【解析】由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得600sin45°=解得BC=3002m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=3002×33=1006m答案:10068.【解析】如圖所示,設(shè)在C處甲船追上乙船,乙船到C處用的時(shí)間為t,乙船的速度為v,則BC=tv,AC=3tv,又B=120°,則由正弦定理BCsin∠CAB=ACsinB,所以sin∠CAB=12,所以∠CAB所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛.又∠ACB=180°-120°-30°=30°,所以BC=AB=anmile,所以AC=A=a2+a2-2a答案:北偏東30°3a9.【解析】由α=60°,β=45°易得∠BAD=60°,∠CAD=45°,設(shè)AD=x米,則CD=AD·tan∠CAD=AD·tan45°=x,BD=AD·tan∠BAD=AD·tan60°=3x,所以BC=BD-CD=3x-x=32,所以x=323-1=16(即山高為16(3+1)米.10.【解析】(1)在△ABD中,∠ADB=30°,AD=8km,AB=5km,設(shè)DB=xkm,則由余弦定理得52=82+x2-2×8×x×cos30°,即x2-83x+39=0,解得x=43±3,而43+3>8,舍去,所以x=43-3,所以這條公路的長(zhǎng)為(43-3)km.(2)在△ADB中,ABsin∠ADB所以sin∠DAB=BD·sin∠所以cos∠DAB=33在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+75°=105°,所以cos∠ADC=cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=2-sin∠ADC=sin105°=sin(60°+45°)=2+所以sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+∠ADC)]=sin(∠DAC+∠ADC)=sin∠DAC·cos∠ADC+cos∠DAC·sin∠ADC=43-310×2-64【素養(yǎng)提升組】1.D如圖,作CD⊥AB于點(diǎn)D,∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°,因?yàn)?08s=0.03h,所以AB=1000×0.03=30(km).在△ABC中,由正弦定理可得ABsin60°=可得BC=ABsin18°sin60因?yàn)镃D⊥AD,所以C到AB邊的距離為CD=BCsin∠CBD=BCsin78°=203sin18°sin78°,所以山頂?shù)暮０胃叨葹?15-203sin18°sin78°)km.2.A在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=1600+400-2×40×20×(-12所以BC=207,由正弦定理得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=40207×33.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,由正弦定理得BCsin∠BDC所以BC=30sin30°sin135°在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152tan60°=156(米).所以塔高AB=156米.答案:1564.【解析】設(shè)AB=k,AC=m,BC=n,可得k2+m2=n2,又△ABE≌△HBC,可得AE=CH=HL2+在△ABE中,tan∠BAE=sin∠BAEcos又sin2∠BAE+cos2∠BAE=1,解得sin∠BAE=110,cos∠BAE=3由cos∠BAE=A=k=2k2+2km2化為8k2-2km-m2=0,解得m=2k,又k2+m2=n2,可得n=5k,在△ABE中,ABsin∠BEA=BEsin∠BAE可得sin∠BEA=210答案:25.【解析】設(shè)建筑物的高度為h,由題圖知,PA=2h,PB=2h,PC=233所以在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理,得cos∠PBA=602cos∠PBC=602因?yàn)椤螾BA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度為306m.6.【解析】(1)設(shè)劃艇以vkm/h的速度從B處出發(fā),沿BC方向(如圖),th后與運(yùn)動(dòng)員在C處相遇,過(guò)B作AC的垂線BD,則BD=45,AD=60,在△ABC中,AB=75,AC=15t,BC=vt,則sin∠BAC=BDAB=35,cos∠BAC=由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,得v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×45整理得:v2=5625t2-=5625(1t-425)2當(dāng)1t=425,即t=254時(shí),v2取得最小值81,即所以劃艇至少以9km/h的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員.(2)當(dāng)v=9km/h時(shí)