山西省臨汾市職業(yè)高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文

測(cè)試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知函數(shù)?用)x+l,g(x)=H,若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,與

g(x)至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍是()

A.(0.2)B,c.(調(diào)

D.(-00，。)

參考答案：

B

略

2.下列復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是

，

A.3-3iB.UiMtC.i21*9D.產(chǎn)

參考答案：

C

3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f'(x),?xWR,有f(-x)+f(x)=xz,在(0,

+°°)上f'(x)<x,若f(4-m)-f(m)>8-4m.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.[-2,2]B.[2,+8)C.[0,+8)D.(-2]U[2,+<=°)

參考答案：

B

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】令g(x)=f(x)-2x~,由g(-x)+g(x)=0,可得函數(shù)g(X)為奇函數(shù).利

用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)在R上是減函數(shù)，f(4-m)-f(m)28-4m,即g(4-m)

(m),可得4-mWm,由此解得a的范圍.

1

【解答】解：令g(x)=f(x)-2x2,

1j.

*.*g(-x)+g(x)=f(-x)-2x2+f(x)-2x2=0,

...函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

Vx￡(0,+8)時(shí)，g'(x)=f'(x)-x<0,

故函數(shù)g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(-8,0)上也是減函數(shù)，

由f(0)=0,可得g(x)在R上是減函數(shù)，

12

f(4-m)-f(m)=g(4-m)+2(4-m)"-g(m)-2m~=g(4-m)-g(m)+8-

4mN8-4m,

g(4-m)(m),解得：m》2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔

題.

4.下圖為射擊使用的靶子，靶中最小的圓的半徑為1,靶中各圖的半徑依次加1,在靶中

隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分(7環(huán)到9環(huán))的概率是()

3乂2.工

A20B.25c.25D.20

參考答案：

A

5.函數(shù)/?)=的定義域?yàn)?

參考答案:

[-X1]

_a+1

6.已知a^R,且復(fù)數(shù)"TWR,則數(shù)等

于

（）

A.0B.-IC.2

D.1

參考答案：

D

x+jr-1^0

JF>1>0

7.已知點(diǎn)a&。），點(diǎn)W"）的坐標(biāo)滿足條件l,則闈的最小值是

（）

1迫

A.2B.2C.1D.叵

參考答案：

B

8.函數(shù)/（x）=xco$2x在區(qū)間；。,2捫上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

參考答案：

I)

略

/CO?*?1

hx

9.已知函數(shù)那么/09的值是（)

A.0B.1C.In(ln2)D.2

參考答案:

B

10.

a+31

若復(fù)數(shù)（〃即為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

A.-2B.4C.-6D.6

參考答案：

答案：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員2013年度參加了25場(chǎng)比賽，從中抽取5場(chǎng)，

用莖葉圖統(tǒng)計(jì)該運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)中的得分如圖1所示，則該樣本的方差

為?

19

2137

30

因1

A.25B.24C.18D.16

參考答案：

D

”2

12.已知變量X，了滿足約束條件以一則z=3x+_y的最大值為

參考答案：

13.函數(shù)的最小值為___________

參考答案:

?4

/(x)-siii(2x4--)-3cosx=—cos2x-3cosx=-2cos?x-3cosx+l

因?yàn)?aB知當(dāng)8?X=1時(shí)fW取最小值,

，㈤—）-3a?x

則2的最小值為?4.

X

14.若三角形三邊長(zhǎng)都是整數(shù)且至少有一個(gè)內(nèi)角為］,則稱該三角形為“完美三角

形”.有關(guān)“完美三角形”有以下命題：

（1）存在直角三角形是“完美三角形”

（2）不存在面積是整數(shù)的“完美三角形”

（3）周長(zhǎng)為12的“完美三角形”中面積最大為4、回；

（4）若兩個(gè)“完美三角形”有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且它們面積相等，則這兩個(gè)“完美三角

形”全等.

以上真命題有_.（寫出所有真命題的序號(hào)）.

參考答案：

(3)(4).

【解析】

試11分析?1（1》若點(diǎn)，中，C=90°./=?0°則三邊之比為：L^2,因此不存在?購(gòu)三雋姮是

“完美三角酎，Slit（1）罡假命題，

（2）由5?：曲切，?中小，若面積是整稔，蛹F在正WHx,M獨(dú)?4x,由于。整的，

此式不成立，因此不存在面積都是整料的“完美三魚界”，（2）是假第Bb

C——a+6+c=12.cJ=aa-iA5-2ahctu—

⑶設(shè)3,則3

,可得(12-。-加'="*〃ab,

化為（也由）'金31■福20,解得出^^44,即0<ai416,當(dāng)且僅當(dāng)a=^=4時(shí)

取等號(hào),

，16x也=訪

可得周長(zhǎng)為12的“完美三角”中面積最大為22，是真命題；

JTX

（4）設(shè)n,①若夾角可的兩條邊分別相等，滿足條件，則此兩個(gè)三角形全等；

XX

②若夾角至其中一條邊相等，由于面積相等，夾角可另一條邊必然相等，可得：此兩個(gè)

三角形全等.因此是真命題.以上真命題有（3）（4）.

故答案為：（3）（4）.

考點(diǎn)：命題真假判斷，合情推理

【名師點(diǎn)睛】本題考查了解三角形、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性

質(zhì)、新定義、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

15.若函數(shù)/*）=--21+1在區(qū)間上。+2］上的最大值為4,則a的值為

參考答案：

1或-1

16.（5分）（2015?浙江模擬）已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為以頂點(diǎn)A為球

心，2為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于—.

參考答案：

5兀

【考點(diǎn)】：球內(nèi)接多面體.

【專題】：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的

三個(gè)面上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，且均為圓弧，分別求其長(zhǎng)度可得結(jié)果.

解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三

個(gè)面上，即面AABB、面ABCD和面AADD上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面

BBCC、面CCDD和面ABCD上.

在面AABB上，交線為弧EF且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)锳E=2,AAFVS,則

KK

NAAE=T.同理ZBAF=T,

nnIT

所以NEAF二石，故弧EF的長(zhǎng)為2?召工，這樣的弧共有三條.

在面BBCC上，交線為弧FG且在距球心為F的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，4

7T.

圓的圓心為B,半徑為1,ZFBG="2,所以弧FG的長(zhǎng)為這樣的弧也有三條.

nn5兀

于是，所得的曲線長(zhǎng)為與X3+NX3=￡".

5兀

【點(diǎn)評(píng)】：本題為空間幾何體交線問(wèn)題，找到球面與正方體的表面相交所得到的曲線是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題

17.設(shè)函數(shù)/(X)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xe[o/時(shí)，."xj=x+1,則

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期；函數(shù)的奇偶性.B3B4

3

【答案解析】才解析：因?yàn)楹瘮?shù)/3)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，所以

加?,而當(dāng)“網(wǎng)時(shí)”即成

/(3)=33

故1.2)22,所以，”2.故答案為2.

心電)

【思路點(diǎn)撥】先由函數(shù)的周期得到-[“人再結(jié)合題意得到結(jié)果.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.設(shè)數(shù)列｛aj的前n和為S0，ai=l,S?=na?-2n2+2n(nSN*).

(1)求證：數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列，并分別寫出a“和S.關(guān)于n的表達(dá)式；

$2S3Sn

(2)是否存在自然數(shù)n,使得Si+-T+T+…+k+2”=1124?若存在，求出n的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)設(shè)Cn=n(an+7)(neN,),TFS+CZ+CB+…+c,(nGN*),若不等式T>32

(mSZ),對(duì)ndN*恒成立，求m的最大值.

參考答案：

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.

S，n=l

【分析】⑴由Sn=nan-2n2+2n(nEN*),利用遞推關(guān)系一1，?2可

得a“-a…=4(n22).利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出：a?,S?.

Sn

(2)由(1)可得：n=2n-1.利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.

(3)利用“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

【解答】⑴證明：由SnEa/2n2+2n(n€N*),得

2

Sn-1=(n-1)an-j-2(n-1)+2(n-1)(n>2)

相減得a?=nan-(n-1)an-i-4n+4?(n-1)an-(n-1)an-i=4(n-1)?an-an-1=4

(n22).

故數(shù)列｛&,｝是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列..?.aFl+d(n-1)=4n-

n(l+4n-3)

3.S?=2=2n2-n.

Sn

(2)解：由(1)可得：n=2n-1.

n?11：n2n

S1+^+^+--^+2M+3+5+---+(2n-l)+2=^^^-+2=n+2

：.123n2,

由胡+2"=1124,得n=10,即存在滿足條件的自然數(shù)n=10.

(3)解：

Cn=n(a；+7)=而高內(nèi)■(￥擊+。2+。3一+、孝。R-*)]

—(1---—)2—

=2n+12(n+1),

T-T-―-----2----------------->0

?」n+l2(n+l)-2(n+2)(n+l),

(T)=T=-^-T-

.?.T?<Tntl,即T”單調(diào)遞增，故"4要使％32恒成立,只需324成立,

即m<8(mGZ).

故符合條件m的最大值為7.

19.(14分)如圖，ABCO為直角梯形，ZC=ZCDA=9(r,AD=2BC=2CD,P為平

面ABC。外一點(diǎn)，5.PB1BD.

(1)求證：PA1BD；

(2)若代*與CD不垂直，求證：尸月wFD；

⑶若直線/過(guò)點(diǎn)P,且直線/〃直線BC,試在直線/上找一點(diǎn)E,

使得直線PC〃平面EBD

p

參考答案：

解析：（1）???ABC。為直角梯形，AD=gB?&BD,ABLBD,（1分）

PBLBD,ABCPB=B,AB,PBU平面PAB,BO_L平面PAB,（4分）

PA：面PAB,PA（5分）

（2）假設(shè)PA=P￡>,取AD中點(diǎn)N,連PN,BN,則PN1AD,BNLAD,（7分）

A。，平面PNB,得PBLAD,（8分）

又PBLBD,得PB,平面ABC。，

：.PBLCD（9分）

又?/BCLCD,CO_L平面PBC,

...COJ_PC,與已知條件R與CD

不垂直矛盾

：.PA^PD（10分）

(3)在上/取一點(diǎn)￡使PE=BC,(11分)

VPE//BC,四邊形BCPE是平行四邊形，(12分)

PC//BE,PCU平面BEU平面EBO

PC〃平面EBD.(14分)

22.—

工+，2技

O9-----

20.已知橢圓a，b=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F?(1,0),點(diǎn)H(2,3)在橢圓上.

(I)求橢圓的方程;

(II)點(diǎn)M在圓x?+y2=b2上，且M在第一象限，過(guò)M作圓x，y2=b2的切線交橢圓于P,Q兩

點(diǎn)，求證：△PEQ的周長(zhǎng)是定值.

參考答案：

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題.

分析：(D利用橢圓的定義及其性質(zhì)即可得出；

22

X1不，

(II)方法1：設(shè)P(Xi,y。，Q(X2,y2),利用兩點(diǎn)之間的距離公式與98,可

得?23,再利用切線的性質(zhì)可得|PM|=3X1,可得

|PF2I+|PM|=3--X1+-X1=3；同理|QF/+|QM|=3,即可證明；

方法2：設(shè)P(X”y.),Q(xz,y2),設(shè)PQ的方程為y=kx+m(k<0,m>0),與橢圓的

方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|PQ,利用PQ與圓(+/=8相切的性質(zhì)

____|PQ|=-6km

可得中2⑸ITS,得到8+9k2,利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得

|PF?I=3―|QF(9-x/=3—-

123,同理可得吃29i323,即可證明.

解答：(I)解：根據(jù)已知，橢圓的左右焦點(diǎn)為分別是用(-1,0),F2(1,0),c=l,

H(22啊

?；'3在橢圓上，

22

t2a=|HF1|+|HF2|=J(2+1)+(^2)(2-1)+(^^/=6

a=3,b'=a2-c2=8,

22

JJl

橢圓的方程是98；

(II)證明：方法1：設(shè)P(x“y,),Q(x2,y2),

22

x-11

則7+TL

|PF2H(X「l)2+y：=J(xi-l)2+8(1-V)=1號(hào)-3),

.X1

PF1=3--

,.,0<x.<3,23,

在圓中，M是切點(diǎn)，

.|PM|二J|0P|2-|0MI2=Jx；+y：-8=Jx：+8(1-^-)-8=^X[

.|PF2#|PM|=3-￡X[+=X[=3

同理|QFz|+|QM|=3,

/.|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6,

因此APaQ的周長(zhǎng)是定值6.

方法2：設(shè)PQ的方程為丫=1?+01(k<0,m>0),

y=kx+m

<22

x,x_

—+——1

由I98，得(8+9k2)x2+18kmx+9m2-72=0

設(shè)P(xi,yi),Q(X2,y2),

-18km9in2-72

X[+Xn-o'XiX<y-9~~

則8+9k,8+9kz,

-|PQ1=71+k2Ix1-x2|-Vl+k2J(X「X2)2_《X[X2=

-18km)(9k2：1n2+8)

8+9k28+9k2=V(8+9k2)

VPQ與圓x2+y2=8相切,

即np2Vz71+k2,

|pQ|=_6klTI

8+9k,

...IPF2l=J(x「l)2+1』(x「D2+8J,)=V-3)

V0<xi<3,

.x1

...回2仁3一丁,

1,、Xo

同理叫匕（一2）=3-區(qū)

x1+x26km6km6km

|FP|+|FQ|+|PQI=6--z-----2=64-----j------o=6

2238+9—8+9儲(chǔ)8+9

因此△PF?Q的周長(zhǎng)是定值6.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根

與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、直線與圓相切性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推

理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

_Y+注=1

21.已知圓C：(x-l)2+(y-l)2=2經(jīng)過(guò)橢圓「：a-卜(a>b>0)的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)B.

(1)求橢圓「的方程；

(2)如圖，過(guò)原點(diǎn)0的射線1與橢圓「在第一象限的交點(diǎn)為Q,與圓C的交點(diǎn)為P.M

為0P的中點(diǎn)，求Ki?質(zhì)的最大值.

參考答案:

解析：(1在C*(X—1—1F二：卬?，

令、?-0稱FQ.0＞即?2?令x?0.得氏0?3b?L，

由i:=b:+c-=S?/.WiSfi++*=1H分卜

，丁佳一?依題?時(shí)接：的斜聿存■在.設(shè)：：V=3JPO?DO卜設(shè)Pr..kx；).Qtx：.

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