平面向量的實(shí)際背景及基本概念1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。2.數(shù)量的概念：只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段的三要素：起點(diǎn)，大小，方向A(A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）a5.有向線段與向量的區(qū)別；（1）相同點(diǎn)：都有大小和方向（2）不同點(diǎn)：①有向線段有起點(diǎn)，方向和長(zhǎng)度，只要起點(diǎn)不同就是不同的有向線段比如：上面兩個(gè)有向線段是不同的有向線段。②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的兩個(gè)有向線段表示相同（等）的向量。③向量是用有向線段來(lái)表示的，可以認(rèn)為向量是由多個(gè)有向線段連接而成6.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；7.向量的模：向量的大小（長(zhǎng)度）稱為向量的模，記作||.8.零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量，記為：0。長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。9.平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.即：0∥ａ。說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.10.相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.說(shuō)明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).11.共線向量與平行向量關(guān)系：BAOCBAOCDEF說(shuō)明：（1）平行向量是可以在同一直線上的。（2）共線向量是可以相互平行的。例1.判斷下列說(shuō)法是否正確，為什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定義得出。（2）不是，當(dāng)兩個(gè)向量方向相同的時(shí)候，只要長(zhǎng)度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共線向量（平行向量（6）長(zhǎng)度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命題正確的是（）A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.例3.如右圖所示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與向量相等的向量。解：按照向量相等的定義可知：向量的加法運(yùn)算及其幾何意義１．向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.２．三角形法則（記憶口訣：“首尾相接，從頭指尾”）3.三角形法則的來(lái)由如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+aAABCa+ba+baabbaｂba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四邊形法則圖1如圖1,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.6.平行四邊形法則與三角形法則的區(qū)別：平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起做出平行四邊形，最終和向量的結(jié)果的起點(diǎn)和兩個(gè)分向量的起點(diǎn)是同一起點(diǎn)。三角形法則要求第一個(gè)向量終點(diǎn)和第二個(gè)向量的起點(diǎn)連接在一起，然后連接第一個(gè)向量的起點(diǎn)和第二個(gè)向量的終點(diǎn)組成三角形，最終和向量的結(jié)果是：由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)。一般結(jié)論當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|.二．例題講解例1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,=a,=b,=c,則|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．2 D．2.解：DCA作出正方形ABCD的圖形如上圖所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以選D.例2.化簡(jiǎn):(1)+;(2)++;(3)++++.例3.如圖所示,已知矩形ABCD中,||=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.解:過(guò)D作AC的平行線,交BC的延長(zhǎng)線于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四邊形ADEC為平行四邊形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。①向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；⑤共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。2.（1）．判斷下列式子是否正確，若不正確請(qǐng)指出錯(cuò)誤原因.①=0②.-=0若將所有單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)在同一起點(diǎn)，則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是___________.將所有共線向量移至同一起點(diǎn)，終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么圖形？___________3．下列說(shuō)法正確的是（）A.平行向量是方向相同的向量B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C.零向量的長(zhǎng)度為0D.共線向量是在同一條直線上的向量4．若非零向量與共線，則以下說(shuō)法下確的是（）A.與必須在同一直線上B.與平行，且方向必須相同`C.與平行，且方向必須相反D.與平行1、在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是()(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A、與為平行向量B、與為模相等的向量C、與為共線向量D、與為相等的向量3、下列命題中正確的是()A.單位向量都相等B.長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bD.對(duì)于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|平面向量的加法運(yùn)算用三角形法則和平行四邊形法則分別畫(huà)出2、下列命題中正確的是()A.單位向量都相等B.長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bD.對(duì)于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|3、已知正方形的邊長(zhǎng)為1，=a，=b，=c,則|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.24、兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是A、與為平行向量B、與為模相等的向量C、與為共線向量D、與為相等的向量5、在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是()(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形6、已知正方形的邊長(zhǎng)為1，，，，則等于()(A)0(B)3(C)(D)7、如果，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）(A)(B)(C)(D)選擇題已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(

)．A．1

B．2

C．

D．C

又∵，，，∴∴，∴的最大值為選擇題記，設(shè)為平面向量，則(

)A.

B.C.

D.D本題考查平面向量的模、數(shù)量積以及分段函數(shù)、函數(shù)最值，考查向量的加法和減法的幾何意義．中檔題．和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，所以選擇題平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（

）

B．

C．

D．D本題考查平面向量中的有關(guān)知識(shí)：平面向量基本定理、向量加法的幾何含義、向量數(shù)量積的定義以及利用數(shù)量積求夾角等基礎(chǔ)知識(shí)．單選不同的方法難易度不一樣，中檔題．方法一）因?yàn)椋?，所以，又，所以即．方法二）由幾何意義知為以，為鄰邊的菱形的對(duì)角線向量，又，故．選擇題設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不向的四點(diǎn)，若，，且，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2．已知點(diǎn)C(c，0)，D(d??0)，(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0，0)，B(1，0)，則下面說(shuō)法正確的是(

)．A．C可能是線段AB的中點(diǎn)

B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C，D可能同時(shí)在線段AB上

D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上D由題意得，，且，若C，D都在AB的延長(zhǎng)線上，則λ＞1，μ＞1，，這與矛盾，故選D．選擇題已知向量a,b滿足|a|=|b|=2,a?b=0，若向量c與a-b共線，則|a+c|的最小值為（

）A．1

B．

C．

D．2

B

如圖,設(shè)=b,=a,則=a-b作CD⊥AB于D∵向量c與a-b共線|a+c|的最小值即為||=

選擇題在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)，P(6，8)，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．B．

C．

D．

A

方法一：設(shè)，則．方法二：將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，

設(shè)=+，則=（14，2）

因?yàn)閨|=||，所以四邊形OMQ′P為正方形，所以向量在正方形之對(duì)角線上。

因?yàn)槭堑囊话?，所以向量與反向且||=||=||=10所以=－λ（λ>0）由|－λ|=10得，λ=，所以．

選擇題已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足=，=(1－λ)，λ∈R，若·=－，則=（

）A．B．C．D．

A

如圖，設(shè)，則，又，，由·=－得即也即，整理得，解得λ=．

選擇題如圖所示，、、是圓上的三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)，若

，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：由于、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則

，由于、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，與方向相反，則存在，使得，因此

，，所以，選C.

考點(diǎn)：1.共線的平面向量；2.平面向量的線性表示選擇題在平面直角坐標(biāo)中，的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）

（1）平面內(nèi)點(diǎn)G滿足，則G是的重心；（2）平面內(nèi)點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M是的內(nèi)心；（3）平面內(nèi)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P在邊BC的垂線上；

A.0

B.1

C.2

D.3【答案】B【解析】

試題分析：對(duì)（2），M為的外心，故（2）錯(cuò).

對(duì)（3），，所以點(diǎn)P在的平分線上，故（3）錯(cuò).易得（1）正確，故選B.

考點(diǎn)：三角形與向量.選擇題已知與是直線y=kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（

）A．無(wú)論k，如何，總是無(wú)解B．無(wú)論k，如何，總有唯一解C．存在k，，使之恰有兩解D．存在k，，使之有無(wú)窮多解【答案】B【解析】由題意，直線一定不過(guò)原點(diǎn)，是直線上不同的兩點(diǎn)，則與不平行，因此，所以二元一次方程組一定有唯一解．

【考點(diǎn)】向量的平行與二元一次方程組的解．選擇題如圖，空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c.點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則等于()

A．a(chǎn)－b＋cB．－a＋b＋cC．a(chǎn)＋b－cD．a(chǎn)＋b－c【答案】B【解析】＝－＝

(＋)－＝

(b＋c)－a＝－a＋b＋c.選擇題在四邊形ABCD中，=，且，則四邊形ABCD是（

）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】

試題分析：∵，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形ABCD是菱形.

考點(diǎn)：平行四邊形與菱形的判定，平面向量的數(shù)量積.選擇題在平行四邊形中，等于

（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】

試題分析：如圖，在平行四邊形ABCD中，,∴.

考點(diǎn)：平面向量的加法與減法運(yùn)算.選擇題已知為平行四邊形，若向量，，則向量為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：

考點(diǎn)：向量的減法選擇題在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2＋＝－，那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是()A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求兩三角形面積之比只需求出高的比，變換已知的向量等式即可得出兩三角形面積之比等于高的比值.2＋＝－，即2＋＝＋＝，即＝3，即點(diǎn)P在邊AC上，且PC＝AC，即△PBC與△ABC高的比是，兩三角形具有相同的底BC，故面積之比為.選擇題如圖，已知＝，用，表示，則等于()

A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋

(－)＝－＋，選C.選擇題設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－

e2－e1＝te1＋tλe2，由題意，e1，e2不共線，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故選D.選擇題四邊形OABC中，，若，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】

試題分析：,所以.

考點(diǎn)：向量的加減.選擇題在中，D為AB邊上一點(diǎn)，，，則=（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】

試題分析：由已知得，，故,故．

考點(diǎn)：1、平面向量基本定理；2、向量加法的三角形法則.選擇題設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題為真命題的是A．若B．若C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【解析】

試題分析：根據(jù)向量加法的幾何意義，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)向量共線時(shí)成立，由可得，其中，由此可知，只有C項(xiàng)是正確的，故選C.

考點(diǎn)：1、向量加法的幾何意義；2、數(shù)乘向量與共線向量.選擇題平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|的值為()A．B．2C．4D．12【答案】B【解析】由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，

所以|a＋2b|＝2．選擇題空間任意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則等于(

）

A．

B．

C．

D．【答案】C【解析】

試題分析：如圖，

，故選：B．

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．選擇題在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．若，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),,所以，

==

，

＝,故選C.

考點(diǎn)：1、向量的加法，減法幾何運(yùn)算；2、向量共線.選擇題在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn),若，，則(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】

試題分析：由題意可知，與相似，且相似比為，所以,由向量加減法的平行四邊形法則可知，，解得，，由向量加法的三角形法則可知，,故D正確。

考點(diǎn)：平面向量的加減法選擇題關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個(gè)命題：

①若a·b=a·c，則b=c；

②若a=（1，k），b=（-2，6），a∥b，則k=-3;

③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a－b|，則a與a+b的夾角為30o．

（參若a-（1，k），b=（-2，6），a

其中真命題的序號(hào)為（

）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】C【解析】

試題分析：①當(dāng)時(shí)，不一定相等，故①不正確；②若a∥b，則有，解得，故②正確；③令,則,因?yàn)閨a|=|b|=|a－b|，所以為正三角形。設(shè)以為臨邊的平行四邊形為,因?yàn)闉檎切?，所以為菱形且。由向量加法的平行四邊形法則可知。所以。故③正確。

考點(diǎn)：平面向量的加減法、平行及數(shù)量積的計(jì)算。選擇題已知向量，若，則(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：因?yàn)?，所以，解得，即，所以，，所?/p>

考點(diǎn)：向量共線數(shù)量積公式，向量加減法坐標(biāo)公式選擇題△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且，則的值為（

）A．B．1C．D．【答案】D【解析】

試題分析：∵,即，∴，為直徑，

∴.

考點(diǎn)：1.向量的加減法運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積.選擇題已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若且的面積，則三角形的形狀是（

）A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．有一個(gè)為的等腰三角形【答案】C．【解析】

試題分析：由知中的平分線垂直邊BC，所以，再由，故是等腰直角三角形，故選C．

考點(diǎn)：1．向量垂直的充要條件；2．三角形形狀的判斷；3．求三角形面積公式．選擇題如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A．B．9C．D．－9【答案】C．【解析】

試題分析：由題意設(shè)，則，所以

，當(dāng)時(shí)有最小值.

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算．選擇題已知不共線向量，，｜｜＝2，｜｜＝3，·（－）＝1，則｜－｜＝（

）A．B．2C．D．【答案】A【解析】

試題分析：由已知，可得，又，故選A．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算選擇題在所在的平面內(nèi)，點(diǎn)滿足，，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

試題分析：

過(guò)點(diǎn)作，交于，是邊上任意一點(diǎn)，設(shè)在的左側(cè)，如圖，

則是在上的投影，即，

即在上的投影，，

令，，

，

，

故需要，

，即，

為的中點(diǎn)，又是邊上的高，

是等腰三角形，故有,選C.

考點(diǎn)：共線向量，向量的數(shù)量積.填空題已知兩個(gè)非零向量a與b，定義|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為_(kāi)_______．【答案】6【解析】|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根據(jù)定義可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×＝6.填空題在矩形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是________．[1，4]如圖所示，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)．設(shè)，則，．設(shè)M(2，t)，N(2－2t，1)，故，因?yàn)閒(t)遞減，所以，．填空題在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則．

∵=+,=+∴·=(+)·(+)=·+·+·+·

=1×1×-1×-1×+××=

填空題在直角三角形中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則·+·=

4

由題意知三角形為等腰直角三角形(如圖)．因?yàn)镻是斜邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以=．

又=+=+，所以·=2+·=4+×2×2cos1350=·=·+·=×2×2cos450=所以·+·=4

填空題在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，若N、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足=，則的取值范圍是

。

[2，5]

設(shè)==（0≤≤1），則=，=，則===+++，又∵=2×1×=1，=4，=1，∴=，∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范圍是[2，5]．

===============================================================================填空題在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=________．

－16

法一:此題最適合的方法是特例法．如圖，假設(shè)△ABC是AB＝AC的等腰三角形．∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝．cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16法二：=·=·===－16

填空題在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，+=λ，則λ=．

2

由平行四邊行的性質(zhì)知，AC與BD互相平分，又+==2所以λ=2

填空題設(shè)是已知的平面向量，向量，,在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個(gè)命題:

①給定向量,總存在向量,使;

②給定向量和,總存在實(shí)數(shù)和,使;

③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使;

④若=2，存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，,使，則

其中真命題是____________.【答案】①②④【解析】

試題分析：給定向量,總存在向量,使，即.顯然存在.所以①正確.由平面向量的基本定理可得②正確．給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使，當(dāng)分解到方向的向量長(zhǎng)度大于時(shí)，向量沒(méi)辦法按分解，所以③不正確.存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，,由于，向量、的模為1，由三角形的三邊關(guān)系可得..由.所以④成立.綜上①②④.

考點(diǎn)：1.向量的運(yùn)算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.填空題如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】∵O是BC的中點(diǎn)，

∴＝(＋)．

又∵＝m，＝n，

∴＝＋.

∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，

∴＋＝1，則m＋n＝2.填空題如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，且，則

.

【答案】1【解析】

試題分析：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，又

，

，

考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義填空題已知，，，，且∥，則＝

．【答案】【解析】

試題分析：由∥知，，那么原式．

考點(diǎn)：平行向量間的坐標(biāo)關(guān)系．填空題已知平面向量，，且∥，則

．【答案】【解析】

試題分析：∵∥，∴，∴，∴，∴.

考點(diǎn)：向量平行的充要條件、向量的模.填空題已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

．【答案】5【解析】

試題分析：根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），求出，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可求得，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最小值．

解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）

設(shè)P（0，b）（0≤b≤a）

則=（2，﹣b），=（1，a﹣b），

∴=（5，3a﹣4b）

∴=≥5．

故答案為5．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量模的求法，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．填空題在平行四邊形中，,,為中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為

．【答案】6【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得：，則，化簡(jiǎn)得：，解得：．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算填空題已知a、b為非零向量，，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，則向量a、b的夾角為_(kāi)__________.【答案】【解析】

試題分析：設(shè)向量的夾角為，則，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即時(shí)，函數(shù)有最小值，又，所以解得.

考點(diǎn)：1.向量；2.二次函數(shù).填空題在?ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則=______(用a,b表示).【答案】-a+b【解析】由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.填空題如圖，在△中，已知，，，，，則

．

【答案】【解析】

試題分析：因?yàn)?，所?/p>

因此

考點(diǎn)：向量表示填空題已知平行四邊形，是的中點(diǎn)，若，則向量=

（用向量表示）．【答案】【解析】

試題分析：在三角形中,將所求向量表示成已知向量的和與差,利用平幾性質(zhì)將共線向量等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)：向量三角形法則,填空題在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若＝，則P點(diǎn)的軌跡方程是___________。【答案】y2=2x－1【解析】

試題分析：設(shè)P(x，y)，則，又因?yàn)閨|＝||，所以(x－1)2+y2=x2，整理得．

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算，求軌跡方程．填空題已知=（2,0），，的夾角為60°，則

．【答案】【解析】

試題分析：.

考點(diǎn)：向量的基本運(yùn)算.填空題半圓的直徑AB＝2,O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________________；【答案】【解析】

試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，所以向量=.所以=.又因?yàn)橄蛄渴腔橄喾聪蛄?所以=-2=-2=.所以填.

考點(diǎn)