文科數(shù)學(xué)A卷（副卷）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是得合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出兩集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】∵，，∴.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以.故選：D3.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，根據(jù)函數(shù)奇偶性求出.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.所以.故選：A.4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式和恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用任意角三角函數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，所以.故選：B.5.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A.5 B.9 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的圖像結(jié)合幾何意義即可得解.【詳解】由題意畫出可行域，如圖所示，由圖可知在點(diǎn)A處取到最大值，因?yàn)榇颂幍闹本€的截距最大，聯(lián)立，可得，即，所以的最大值為10.故選:C.6.現(xiàn)有10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)擅x手比賽一場(chǎng)）.規(guī)定兩人對(duì)局勝者得4分，平局各得2分，負(fù)者得0分，并按總得分由高到低進(jìn)行排序.比賽結(jié)束后，10名選手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的，則第二名選手的得分是（）A.24 B.32 C.40 D.48【答案】B【解析】【分析】依題意可得第二名選手至少得分，又全勝得分，假設(shè)第二名選手得分分推出矛盾，即可得解.【詳解】每個(gè)選手需要進(jìn)行場(chǎng)比賽，則全勝的選手得分，而最后五名選手之間賽場(chǎng)，至少共得分，所以第二名選手至少得分.又因?yàn)槊x手的得分各不相同，若第二名選手得分（贏了8場(chǎng)平1場(chǎng)），則第一名選手得分分（贏場(chǎng)），這時(shí)，第一全贏，第一贏了第二一局，第二輸了一局，所以矛盾.所以不可得分，所以第二名選手得分是分.故選：B.7.設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用角的變換，結(jié)合三角恒等變換及充分、必要條件的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，兩邊都除以，得，即．當(dāng)時(shí)，不能得出，所以，由甲不一定推出乙．當(dāng)時(shí)，即，兩邊都乘以，得，兩邊都加上，得，即．所以，由乙可推出甲．所以，甲是乙的必要非充分條件．故選：B．8.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為36，則圖中的值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的三視圖，作出原幾何體，再利用錐體的體積公式求解作答.【詳解】依題意，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是底面為等腰直角三角形，直角長(zhǎng)為，一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐體，如圖，三棱錐的高為，由體積，得，所以.故選：C9.，下列說(shuō)法正確的是（）①為偶函數(shù)；②的最小正周期為；③在區(qū)間上先減后增；④的圖象關(guān)于對(duì)稱．A.①③ B.①④ C.③④ D.②④【答案】A【解析】【分析】由題可得，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由輔助角公式可得：，對(duì)①，由題可知，為偶函數(shù)，①正確；對(duì)②，最小正周期，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，令，，在區(qū)間先減后增，復(fù)合函數(shù)同增異減易知，③正確；對(duì)④，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，④錯(cuò)誤.故選：A．10.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（）A.6 B.12 C. D.【答案】C【解析】分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.11.已知函數(shù)，若，，，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用不等式，，放縮不等式，利用單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】為偶函數(shù)，則.又當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞減，，∴在上單調(diào)遞減，設(shè)，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以，時(shí)，等號(hào)成立，所以，設(shè)，（），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，則，時(shí)，等號(hào)成立，所以，∴，∴，故選：B12.已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形（如圖所示），則該四面體中異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，得到平面，將四面體補(bǔ)成直三棱柱，再根據(jù)異面直線所成角的知識(shí)，求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)已知條件可知，平面，所以四面體中AD⊥平面BCD，將四面體補(bǔ)成直三棱柱（如圖），因?yàn)?，所以∠MAB為異面直線與所成角（或其補(bǔ)角）．在中，，，，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則______.【答案】13【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再由可得列方程可求得結(jié)果.【詳解】∵，，，又∵，∴，解得.故答案為：1314.在區(qū)間上隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為______.【答案】##【解析】【分析】先求解得，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】由，得，即，∴事件“”發(fā)生的概率為.故答案為：15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，B重合），則下列命題中：①平面平面；②一定是銳角；③；④三棱錐的體積為定值．其中真命題的有__________．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)正方體特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正確；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)是直角，即②錯(cuò)誤；易知平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可得，所以③正確；根據(jù)等體積法和線面平行判定定理可得三棱錐的體積為定值，即可知④正確.【詳解】對(duì)于①，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，所以平面平面，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，易得，滿足，此時(shí)是直角，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，連接，如下圖所示;由正方體可知，且平面，平面，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以，即③正確；對(duì)于④，三棱錐的體積，又因?yàn)榈拿娣e是定值，平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，所以三棱錐的體積為定值,即④正確.故答案為：①③④16.不與x軸重合的直線l過(guò)點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為____________．【答案】2【解析】【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故.故答案為：2三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考試都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）已知，為的前n項(xiàng)和，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1048【解析】【分析】（1）由結(jié)合定義證明即可；（2）由（1）得出，再討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合等比和等差求和公式得出．【小問(wèn)1詳解】由可得．又，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，即．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．所以．18.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）12【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，則由已知條件結(jié)合線面平行的判定可證得平面，平面，則平面平面，再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）過(guò)作交于，可證得，則，得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)樵谔菪沃?，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?wèn)2詳解】如圖，在梯形中，過(guò)作交于，則四邊形為平行四邊形，所以，在中，得，，，則，所以，因?yàn)?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，∴平面平面，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，所以，又平面面，平面，所以平面，因?yàn)樵诘冗呏?，，為的中點(diǎn)，所以，所以四棱錐的體積為：.19.2022年國(guó)際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國(guó)女籃團(tuán)結(jié)一心、頑強(qiáng)拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國(guó)女籃為國(guó)人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.男女合計(jì)喜愛(ài)30不喜愛(ài)40合計(jì)50100（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）在不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，完善列聯(lián)表，套公式求出，對(duì)照參數(shù)下結(jié)論；（2）利用古典概型的概率公式求解.【小問(wèn)1詳解】由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：男女合計(jì)喜愛(ài)301040不喜愛(ài)204060合計(jì)5050100計(jì)算，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，有男觀眾20人，女觀眾40人，按照分層抽樣的方式抽取6人，有男觀眾2人，記為、，女觀眾4人，記為1、2、3、4，從6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15個(gè)，記“所抽2人至少有一位男性”為事件，包含：，，，，，，，，，共9個(gè).所以20.已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明過(guò)程見(jiàn)詳解，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得到直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，整理可得到關(guān)于（含參）的一元二次方程，從而得到，，再根據(jù)，代入即可求解的值，進(jìn)而得到C的方程；（2）結(jié)合（1）中拋物線，得，設(shè)過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，則可得到過(guò)點(diǎn)E的切線方程，設(shè)點(diǎn)，，，從而得到，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則得到，，進(jìn)而得到的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，，從而得到直線的方程，進(jìn)而得到直線恒過(guò)的定點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得．所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由，得，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，則相應(yīng)的切線方程為，即，設(shè)點(diǎn)，由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，得，即，設(shè)，，則，是的兩實(shí)數(shù)根，可得，．設(shè)M是的中點(diǎn)，則相應(yīng)，則，即，又，直線的方程為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：小問(wèn)（2）解答的關(guān)鍵是先根據(jù)導(dǎo)數(shù)設(shè)拋物線的切線方程，設(shè)點(diǎn)，，，從而得到，是方程的兩實(shí)數(shù)根，再結(jié)合韋達(dá)定理得到，，進(jìn)而得到直線的方程．21.已知函數(shù)，（，為常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）1（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出端點(diǎn)值和極值進(jìn)行比較即可求解；（2）結(jié)合（1）可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，，且，滿足可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而得到證明.【小問(wèn)1詳解】令，解得，則當(dāng)時(shí)，，所以在遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，所以在上有最大值，且，，又，所以函數(shù)在的最小值為1；【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，由（1）知，，，且，滿足，即，由題意知，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，而，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決類似的問(wèn)題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別，求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在內(nèi)所有使的點(diǎn)，再