第03講古典概型目標導航目標導航課程標準課標解讀了解基本事件的特點，理解古典概型的定義及特點；理解古典概型的概率公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；會應用古典概型的概率公式解決實際問題.通過本節(jié)課的學習，要求會判斷古典概型，會求隨機事件所包含的基本事件數(shù)，會應用古典概型的計算公式解決與古典概型有關的問題.知識精講知識精講知識點1.基本事件在一次試驗中，可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果叫做基本事件．基本事件有如下特點：任何兩個基本事件是互斥的．②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2.隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.3.古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.4.古典概型的概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).【微點撥】求古典概型概率的步驟：(1)確定樣本空間的樣本點的總數(shù)n(2)確定所求事件A包含的樣本點的個數(shù)m(3)P(A)＝eq\f(m,n)【即學即練1】將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點數(shù)依次記為a，b，設事件M為“方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解”，則事件M中含有樣本點的個數(shù)為（

）A．6 B．17 C．19 D．21【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得隨機事件中含有的基本事件的個數(shù).【詳解】∵方程有實數(shù)解，∴，則含有的樣本點為：，；

，，，，共19個，故選：C.【即學即練2】下列概率模型，其中屬于古典概型的是（

）A．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的所有點中任取一點B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．一只使用中的燈泡壽命長短【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型的特征依次判斷即可.【詳解】A不屬于，原因：所有橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點有無限多個，不滿足有限性；B不屬于，原因：命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)的概率不一定相同，不滿足等可能性；C屬于，原因：顯然滿足有限性，且任選1人與學生的性別無關，是等可能的；D不屬于，原因：燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù)，有無限多種可能，不滿足有限性．故選：C.【即學即練3】甲、乙兩人有三個不同的學習小組可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組（兩人參加各小組的可能性相同），則兩人參加同一個學習小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得所有參加學習小組的情況，找出滿足題意的情況，再根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，甲乙兩人所有可能的參加情況有如下種：，兩人參加同一個學習小組的情況有如下種：，故兩人參加同一個學習小組的概率.故選：.【即學即練4】小王同學有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時小王都將筆桿和筆帽套在一起，但偶爾也會將筆桿和筆帽隨機套在一起，則小王將兩支筆的筆桿和筆帽的顏色混搭的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為，，，與之相同顏色的筆帽分別為，，，利用古典概型的概率能求出小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率．【詳解】設三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為，，，與之相同顏色的筆帽分別為，，，將筆和筆帽隨機套在一起，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6個基本事件，小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭包含的基本事件有：，，，，，，，，，共有3個基本事件，小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是．故選：C【即學即練5】(多選題)下列試驗是古典概型的為（

）A．從6名同學中選出4人參加數(shù)學競賽，每人被選中的可能性大小相等B．同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用古典概型的定義和特點判斷.【詳解】由古典概型的定義和特點知：A，B，D是古典概型，C不是古典概型，因為不符合等可能性.故選：ABD【即學即練6】從長度為3，4，5，7，9的五條線段中任取三條，則取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的樣本空間是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊的關系用列舉法即可求解【詳解】從長度為3，4，5，7，9的五條線段中任取三條，則取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的樣本空間是故答案為：.【即學即練7】從0，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個，構(gòu)成數(shù)對，x為第一次取到的數(shù)字，y為第二次取到的數(shù)字.(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求出這個試驗基本事件的總數(shù)；(3)寫出“第一次取出的數(shù)字是2”這一事件.【答案】(1)；(2)6；(3)【分析】（1）根據(jù)事件的定義求解；（2）直接計數(shù)可得；（3）由（1）可得．【解析】(1)樣本空間：；(2)由（1）知基本事件總數(shù)為6．(3)由（1）得：．【即學即練8】一個正方體的表面涂滿了紅色，在它的每個面上切兩刀，可得27個小正方體，從中任取一個，求恰有一個面涂有紅色的概率．【答案】.【解析】【分析】求出恰有一個面涂有紅色的小正方體的個數(shù)，再利用古典概率公式計算作答.【詳解】依題意，試驗共有27個基本事件，它們等可能，從中任取一個小正方體恰有一個面涂有紅色的事件為A，于是得，所以恰有一個面涂有紅色的概率是.【即學即練9】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，試計算下列事件的概率：(1)兩枚骰子的點數(shù)相同；(2)兩枚骰子的點數(shù)之和是6；(3)兩枚骰子的點數(shù)之和不是6；(4)至少一枚骰子的點數(shù)是3．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，整個事件空間為有36個基本事件，列舉出（1），（2），（4）中的事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可得解，利用對立事件的概率關系可求解（3）【解析】(1)由題意，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用有序數(shù)對表示第一枚骰子點數(shù)為，第二枚骰子點數(shù)為，故整個事件空間為，有36個基本事件記兩枚骰子的點數(shù)相同為事件，故，有6個基本事件，由古典概型的概率公式，(2)記兩枚骰子的點數(shù)之和是為6為事件，故，有5個基本事件，由古典概型的概率公式，(3)記兩枚骰子的點數(shù)之和不是6為事件，由于事件為對立事件，故(4)記至少一枚骰子的點數(shù)是3為事件，故，有11個基本事件，由古典概型的概率公式，【即學即練10】按文獻記載，《百家姓》成文于北宋初年，表1記錄了《百家姓》開頭的24大姓氏：表1：趙錢孫李周吳鄭王馮陳褚衛(wèi)蔣沈韓楊朱秦尤許何呂施張表2記錄了2018年中國人口最多的前10大姓氏：表2：1：李2：王3：張4：劉5：陳6：楊7：趙8：黃9：周10：吳從《百家姓》開頭的24大姓氏中隨機選取1個姓氏，則這個姓氏是2018年中國人口最多的前10大姓氏的概率為__________．【答案】【解析】2018年中國人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是趙、李、周、吳、王、陳、楊、張，共8個，故所求概率為，故答案為：．【即學即練11】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的兩個黑球和編號為c，d，e的三個紅球，從中任意摸出兩個球．（1）求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率：（2）求至少摸出1個黑球的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）記事件恰好摸出個黑球和1個紅球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可知，；（2）事件至少摸出個黑球，則事件所包含的基本事件有：、、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可知，．能力拓展能力拓展考法01求基本事件【典例1】在抽查作業(yè)的試驗中，下列各組事件都是基本事件的是（

）A．抽到第一組與抽到第二組 B．抽到第一組與抽到男學生C．抽到女學生與抽到班干部 D．抽到班干部與抽到學習標兵【答案】A【解析】【分析】利用基本事件是不可能同時發(fā)生的定義，即可得到答案；【詳解】在A中，抽到第一組與抽到第二組不能同時發(fā)生，都是基本事件，故A正確;在B中，抽到第一組與抽到男學生有可能同時發(fā)生，不都是基本事件，故B錯誤;在C中，抽到女學生與抽到班干部有可能同時發(fā)生，不都是基本事件，故C錯誤;在D中，抽到班干部與抽到學習標兵有可能同時發(fā)生，不都是基本事件，故D錯誤．故選：A【典例2】同時擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結(jié)果，記事件A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事件概念即可求解.【詳解】因為事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6個樣本點.故選：D.【典例3】我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究種取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如.在不超過30的素數(shù)種，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的取法有______種.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意列舉即可得答案.【詳解】解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為30的有，，這3種情況.故答案為：3【典例4】有4件產(chǎn)品，其中有2件是一等品，2件是二等品，從中任意摸出2件產(chǎn)品.（1）其對應的樣本空間為_________________________________；（2）樣本點的個數(shù)為___________；（3）“恰有一件是一等品”這一事件用集合表示為_________________________________.【答案】

（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）

4

（一等品，二等品），（二等品，一等品）【分析】用列舉法即可求解【詳解】有4件產(chǎn)品，其中有2件是一等品，2件是二等品，從中任意摸出2件產(chǎn)品.其對應的樣本空間為（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品），樣本點的個數(shù)為4，“恰有一件是一等品”這一事件用集合表示為（一等品，二等品），（二等品，一等品），故答案為：（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）；4；（一等品，二等品），（二等品，一等品）【典例5】同時拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出下列事件：(1)硬幣是正面，骰子的點數(shù)是奇數(shù)；(2)硬幣是正面，骰子的點數(shù)是偶數(shù)；(3)硬幣是正面；(4)骰子的點數(shù)是5.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面，后面寫出奇數(shù)；（2）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面，后面寫出偶數(shù)；（1）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面，后面寫出所有數(shù)；（1）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面或反面，后面寫5；【解析】(1)（正面，1），（正面，3），（正面，5）(2)（正面，2），（正面，4），（正面，6）(3)（正面，1），（正面，2），（正面，3），（正面，4），（正面，5），（正面，6）(4)（正面，5），（反面，5）考法02古典概型的判定并不是所有的試驗都是古典概型，只有同時滿足有限性和等可能性這兩個條件的試驗才是古典概型．兩個條件中只要有一個不滿足就不是古典概型．【典例6】下列試驗是古典概型的是（

）A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球}B．在區(qū)間[－1,5]上任取一個實數(shù)x，使x2－3x＋2＞0C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型的特征：①有限性；②等可能性即可判斷.【詳解】根據(jù)古典概型的兩個特征進行判斷.A項中兩個基本事件不是等可能的，B項中基本事件的個數(shù)是無限的，D項中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C項符合古典概型的兩個特征.故選：C【典例7】下列有關古典概型的說法中，正確的是（

）A．試驗的樣本空間的樣本點總數(shù)有限B．每個事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等D．已知樣本點總數(shù)為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發(fā)生的概率【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的定義逐項判斷即可.【詳解】由古典概型概念可知：試驗的樣本空間的樣本點總數(shù)有限；每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.故AC正確；每個事件不一定是樣本點，可能包含若干個樣本點，所以B不正確；根據(jù)古典概型的概率計算公式可知D正確．故選：ACD【典例8】（1）在數(shù)軸上0~3之間任取一點x，觀察x是否小于1．此試驗是否為古典概型？為什么？（2）從1，2，3，4四個數(shù)中任意取出兩個數(shù)，觀察所取兩數(shù)之一是否是5．此試驗是古典概型嗎？試說明理由．（3）投擲一顆質(zhì)地非均勻的骰子，觀察擲出的點數(shù)．此試驗是否為古典概型？為什么？【解析】（1）在數(shù)軸上0~3之間任取一點，此點可以在0~3之間的任一位置，且在每個位置上的可能性是相同的，具備等可能性．但試驗結(jié)果有無限多個，不滿足古典概型試驗結(jié)果的有限性．因此不屬于古典概型．（2）此試驗是古典概型，因為此試驗的所有基本事件共有6個：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，且每個事件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型．（3）投擲一顆質(zhì)地非均勻的骰子，擲出的點數(shù)不是等可能出現(xiàn)的，質(zhì)地較重的那一面朝下的可能性比較大，其對面的點數(shù)出現(xiàn)的可能性就比其他點數(shù)出現(xiàn)的可能性大，因此不屬于古典概型．考法03古典概型的計算求古典概型的概率的關鍵是正確列出基本事件，在寫出基本事件后最好檢驗一下各基本事件發(fā)生的概率是否相同．求隨機事件的概率的關鍵就是明晰它包含了幾個基本事件．要寫出所有的基本事件可采用的方法較多，例如列舉法、列表法、坐標系法、樹形圖法等．無論采用哪種方法，都要求按照一定的順序進行，以做到不重不漏．【典例9】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出所有抽取的基本事件，再找出滿足題意的基本事件，利用古典概型的概率計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，不妨用表示兩次抽取的基本事件，其中代表第一次抽取的數(shù)字，代表第二次抽取的數(shù)字.故所有抽取的可能有如下種：

滿足抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的有如下種：，根據(jù)古典概型的概率計算公式可得：該事件的概率.故選：D.【典例10】有五條線段，長度分別為2，3，5，7，9，從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為__________．【答案】【解析】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，其中，事件“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”所包含的基本事件有：、、，共個，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”的概率為，故答案為：．【典例11】口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出黃球的概率是0.28．若紅球有21個，則藍球有__________個．【答案】15【解析】由題意摸出紅球的概率為0．42，并且紅球有21個，則總球數(shù)為個，所以藍球的個數(shù)為個．故答案為：15．【典例12】同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，計算以下事件的概率：(1)至少一枚反面朝上；(2)至少兩枚反面朝上；(3)恰好兩枚反面朝上．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，先列舉出整個事件空間有8個基本事件，分別列舉出（1），（2），（3）中的隨機事件的基本事件，由古典概型的概率公式，即得解【解析】(1)同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，記整個事件空間為，用表示正面向上，表示反面向上，則包含8個基本事件，記至少一枚反面朝上為事件，則包含7個基本事件，則.(2)記至少兩枚反面朝上為事件，則包含4個基本事件，則(3)記恰好兩枚反面朝上為事件，則包含3個基本事件，則.【典例13】甲袋中有5個球（3紅，2白），乙袋中有3個球（2紅，1白），從每袋中各任取1個球，求至少取到1個白球的概率．【答案】【解析】【分析】記甲袋中有5個球（3紅，2白）分別為、、、、；乙袋中有3個球（2紅，1白）分別為、、，用列舉法列出所有可能結(jié)果，再找出符合至少取到1個白球的事件，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】依題意記甲袋中有5個球（3紅，2白）分別為、、、、；乙袋中有3個球（2紅，1白）分別為、、；則從每袋中各任取1個球一共有、、、、、、、、、、、、、、共15個；至少有一個白球的有、、、、、、、、共9個；所以至少取到1個白球的概率【典例14】小明、小亮和小強三人準備下象棋，他們約定用“拋硬幣”的游戲方式來確定哪兩個人先下棋，規(guī)則如下圖所示．求一個回合能確定兩人先下棋的概率．【答案】【解析】【分析】利用列舉法求得所有情況，找出一個回合能確定兩人先下棋的情況，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，利用列舉法畫出樹狀圖，如圖所示：可共有8種情況，其中一個回合能確定兩人下棋的情況有6種情況，所以一個回合能確定兩人下棋的概率為.考法04易錯點提示：【典例15】從5名男生和3名女生中任選1人去參加演講比賽，求選中女生的概率．【錯解】從8人中選出1人的結(jié)果有“男生”“女生”兩種，則選中女生的概率為．【錯因分析】因為男生人數(shù)多于女生人數(shù)，所以選中男生的機會大于選中女生的機會，它們不是等可能的．【正解】選出1人的所有可能的結(jié)果有8種，即共有8個基本事件，其中選中女生的基本事件有3個，故選中女生的概率為．【名師點睛】利用古典概型的概率公式求解時，注意需滿足兩個條件：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）試驗的每個基本事件是等可能發(fā)生的．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．先后拋擲2枚均勻的一分、二分的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列事件包含3個基本事件的是（

）A．“至少一枚硬幣正面向上”B．“只有一枚硬幣正面向上”C．“兩枚硬幣都是正面向上”D．“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【解析】利用列舉法，直接列舉出總的基本事件，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】先后拋擲2枚均勻的一分?二分的硬幣，所包含的基本事件有{正，正}?{正，反}?{反，正}?{反，反}，“至少一枚硬幣正面向上”包含的基本事件有{正，正}?{正，反}?{反，正}共三個，故A正確；“只有一枚硬幣正面向上”包含的基本事件有{正，反}?{反，正}共兩個，故B錯；“兩枚硬幣都是正面向上”包含的基本事件有{正，正}共一個，故C錯；“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”包含的基本事件有{正，反}?{反，正}共兩個，故D錯.故選：A.2.下列試驗中是古典概型的是（

）A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球C．向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，觀察該點落在圓內(nèi)的位置D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性進行判斷．【詳解】解：古典概型滿足兩個條件：隨機實驗所有可能的結(jié)果是有限的；②每個基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的．在A中，這個試驗的基本事件共有“發(fā)芽”，“不發(fā)芽”兩個，而“發(fā)芽”或“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的，故不是古典概型；在B中，觀察球的顏色，滿足古典概型的兩個條件，故B是古典概型；在C中，實驗的結(jié)果是無窮的，故不是古典概型；在D中，不滿足基本事件是等可能的，故不是古典概型．故選：B．3.下列說法錯誤的是（

）A．方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小B．抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關系對總體估計的準確程度C．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有且只有一個D．拋擲一枚圖釘針尖朝上的概率，不能用列舉法求得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各個選項中的說法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題.【詳解】對于，方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小，故選項A正確；對于，抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關系對總體估計的準確程度，故選項B正確；對于，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有一個或者幾個，故選項C錯誤；對于，拋擲一枚圖釘,針尖朝上和針尖朝下的可能性不相等，所以針尖朝上不是一個基本事件，所以不能用列舉法求得，故選項D正確；故選：C.【點睛】本題考查了一組數(shù)據(jù)的方差、眾數(shù)，考查了抽樣方式，屬于基礎題.4.為了治療某種疾病，研制了一種新藥，為確定該藥的療效，生物實驗室有只小動物，其中有3只注射過該新藥，若從這只小動物中隨機取出只檢測，則恰有只注射過該新藥的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將只注射過新藥的小動物編號為、、，只未注射新藥的小動物編號為、、，記事件恰有只注射過該新藥，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中事件所包含的基本事件個數(shù)為個，由古典概型的概率公式得，故選B．5.從標號分別為、、、、的張標簽中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則抽得的第一張標簽的標號與第二張標簽的標號恰好相差的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】從標號分別為、、、、的張標簽中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，所有的基本事件數(shù)為，其中，事件“抽得的第一張標簽的標號與第二張標簽的標號恰好相差”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：D.【名師點睛】本題考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.6.從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，所有的基本事件為：（12），（13），（14），（15），（16），（17），（18），（19），（23），（24），（25），（26），（27），（28），（29），（34），（35），（36），（37），（38），（39），（45），（46），（47），（48），（49），（56），（57），（58），（59），（67），（68），（69），（78），（79），（89），共有36種不同的情況，且這些情況是等可能發(fā)生的，其中抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有20種，故抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P==，故選C．7.從（40，30），（50，10），20，30），（45，5），（10，10）中任取一個點，這個點在圓內(nèi)部的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，，，，所以只有點（20，30），（10，10）這兩個點在圓內(nèi)部，因此這個點在圓內(nèi)部的概率是，故選B．8.某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售．該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設x（個）為每天商品的銷量，y（元）為該商場每天銷售這種商品的利潤．從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當時，，當時，，當時，，當時，，日利潤不少于96元共有5天，記作A、B、C、D、E，其中有2天日利潤是97元，假設分別為A、B，則從中任選2天的基本事件有（A、B），（A、C），（A、D），（A、E），（B、C），（B、D），（B、E），（C、D），（C、E），（D、E），共10個，選出的2天日利潤都是97元的基本事件有1個，為（A、B），故所求概率為，故選A．9.如果一個三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各數(shù)字之和等于10，則稱此三位數(shù)為“十全十美三位數(shù)”（如235），任取一個“十全十美三位數(shù)”，該數(shù)為奇數(shù)的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】任取一個“十全十美三位數(shù)”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40個，其中奇數(shù)有20個，∴任取一個“十全十美三位數(shù)”，該數(shù)為奇數(shù)的概率為．故選C．10.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如，在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不超過14的素數(shù)有2，3，5，7，11，13共6個，從這6個素數(shù)中任取2個，有2與3，2與5，2與7，2與11，2與13，3與5，3與7，3與11，3與13，5與7，5與11，5與13，7與11，7與13，11與13共15種結(jié)果，其中和等于14的只有一組3與11，所以在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為，故選D．11.數(shù)學上有種水仙花數(shù)，它是指各位數(shù)字的立方和等于其本身的三位數(shù)．水仙花數(shù)共有4個，其中僅有1個在區(qū)間內(nèi)，我們姑且稱它為“水仙四妹”，則從集合｛147，152，154，157，“水仙四妹”｝的5個元素中任意取3個整數(shù)，則這3個整數(shù)中含有“水仙四妹”，且其余兩個整數(shù)至少有一個比“水仙四妹”小的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題意求出“水仙四妹”為153，所以集合為，然后利用列舉法求解即可【詳解】設“水仙四妹”為且，，依題意，知，即有，可得，即“水仙四妹”為153，所以集合為，從該集合中任取3個元素，該試驗的樣本空間，共有10個樣本點．記事件表示“取出的3個整數(shù)中含有153，且其余兩個整數(shù)至少有一個比153小”，則事件包含的樣本點有，，，，，共5個，故．故選：D12.某班級的班委由包含甲?乙在內(nèi)的5位同學組成，他們分成兩個小組參加某項活動，其中一個小組有3位同學，另外一個小組有2位同學，則甲和乙不在同一個小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用列舉法求解即可【詳解】這五位同學分別記為：甲?乙???，分組情況有：(甲乙，)?(甲乙，)?(甲乙，)?(甲，乙)?(甲，乙)?(甲，乙)?(乙，甲)?(乙，甲)?(乙，甲)?(，甲乙)，共種，其中甲和乙不在同一個組的有：(甲，乙)?(甲，乙)?(甲，乙)?(乙，甲).(乙，甲)?(乙，甲)，共6種，所以所求概率為.故選：B.13.甲乙兩人進行撲克牌得分比賽，甲的三張撲克牌分別記為，，，乙的三張撲克牌分別記為，，.這六張撲克牌的大小順序為.比賽規(guī)則為：每張牌只能出一次，每局比賽雙方各出一張牌，共比賽三局，在每局比賽中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比賽之前彼此都不知道對方所出之牌，則六張牌都出完時乙得2分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依題意列出所有的可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意基本事件總數(shù)有種；分別有以下情況：，，，此時乙得1分；，，，此時乙得1分；，，，此時乙得1分；，，，此時乙得1分；，，，此時乙得2分；，，，此時乙得2分；故六張牌都出完時乙得2分的概率故選：D14.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．某天，齊王與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，則田忌獲勝概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為，列舉所有比賽的情況，利用古典概型的概率公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】設齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為，所有比賽的情況:：、、，齊王獲勝三局；、、，齊王獲勝兩局；、、，齊王獲勝兩局；、、，齊王獲勝兩局；、、，田忌獲勝兩局；、、，齊王獲勝兩局，共6種情況，則田忌勝1種情況，故概率為故選：B【點睛】本題考查了古典概型的概率計算問題，考查了理解辨析和數(shù)學運算能力，屬于中檔題目.15.兩枚相同的正方體骰子，六個面分別標有數(shù)字，同時擲兩枚骰子，則兩枚骰子朝上面的數(shù)字之積能被整除的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，列舉出所有的可能性，從而得到數(shù)字之積能被整除的概率.【詳解】由題意可得，同時擲兩枚骰子，所得的結(jié)果是：，，，共36種情況，所得結(jié)果之積為：,,,,

,所得之積能被整除的概率，故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用列表法求古典概率，解題的關鍵是明確題意，列出相應的表格，計算出相應的概率.16.把分別寫有1，2，3，4的四張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么2，3連號的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)列舉法，列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件個數(shù)之比即為所求概率.【詳解】分三類情況，第一類1，2連號，則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為，，，，，，有6種分法；第二類2，3連號，則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為，，，，，，有6種分法；第三類3，4連號，則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為，，，，，，有6種分法；共有18種分法，則2，3連號的概率為.故選：B.【點睛】本題主要考查求古典概型的概率，屬于基礎題型.題組B能力提升練1.(多選題)下列試驗是古典概型的是（

）A．在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球為白球的概率C．向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率D．老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的特點：有限性、等可能性，判斷各選項的概率是否符合古典概型即可.【詳解】A：在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B：從中任取一球的事件有限，且任取一球為白球或黑球的概率是等可能的；C：向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率，不符合有限性；D：老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的；故選：BD2.(多選題)隨機地排列數(shù)字1，5，6得到一個三位數(shù)，則（

）A．可以排成9個不同的三位數(shù) B．所得的三位數(shù)是奇數(shù)的概率為C．所得的三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 D．所得的三位數(shù)大于400的概率為【答案】BD【解析】【分析】利用列舉法列出所有的基本事件，再根據(jù)概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】隨機地排列數(shù)字1，5，6可以得到的三位數(shù)有：156，165，516，561，615，651，共6個，故A不正確；其中奇數(shù)有：165，561，651，615，共4個，所以所得的三位數(shù)是奇數(shù)的概率為，故B正確；其中偶數(shù)有：156，516，共2個，所以所得的三位數(shù)是偶數(shù)的概率為，故C不正確；其中大于400的有：516，561，615，651，共4個，所以所得的三位數(shù)大于400的概率為，故D正確.故選：BD3.(多選題)以下結(jié)論中正確的有（

）A．投擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)的點數(shù)至少是5點”和“出現(xiàn)的點數(shù)至多是2點”是互斥事件B．投擲一枚硬幣，事件“結(jié)果為正面向上”和“結(jié)果為反面向上”是對立事件C．5個閹中有一個是中簽的閹，甲、乙兩人同時各抽一個，事件“甲中簽”和“乙中簽”是對立事件D．從兩男兩女四個醫(yī)生中隨機選出兩人組建救援隊，抽選結(jié)果的基本事件是“一男一女”、“兩個男醫(yī)生”、“兩個女醫(yī)生”，共三種【答案】AB【解析】【分析】A中事件“至少出現(xiàn)5點”和“至多出現(xiàn)2點”是互斥事件，所以該選項正確；B中事件“結(jié)果正面向上”的發(fā)生與“結(jié)果反面向上”是對立事件．所以該選項正確；C中事件“甲中簽”和“乙中簽”是互斥事件但不是對立事件．所以該選項錯誤；D中三種事件不能構(gòu)成基本事件，所以該選項錯誤.【詳解】A中事件“至少出現(xiàn)5點”和“至多出現(xiàn)2點”不可能同時發(fā)生，所以是互斥事件，所以該選項正確；B中事件“結(jié)果正面向上”的發(fā)生與“結(jié)果反面向上”的發(fā)生不可能同時出現(xiàn)，所以是互斥事件，但所有結(jié)果只有兩種，所以事件“結(jié)果正面向上"和“結(jié)果反面向上”是對立事件．所以該選項正確；C中事件“甲中簽”和“乙中簽”是不可能同時發(fā)生，但也可能是“甲，乙兩人都不中簽”發(fā)生，所以事件“甲中簽”和“乙中簽”是互斥事件但不是對立事件．所以該選項錯誤；D中設兩男為，，兩女為，，則“”，“”，“”，“”，“”，“”為等可能事件，可以組成一個基本事件空間，顯然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四種情況，“兩個男醫(yī)生”只包括“”一種情況，“兩個女醫(yī)生”也只包括“”一種情況，概率不相等，所以不能構(gòu)成基本事件．所以該選項錯誤.故選：AB4.(多選題)某次數(shù)學考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲?乙?丙?丁四位同學都不會做，下列表述正確的是（

）A．甲同學僅隨機選一個選項，能得3分的概率是B．乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是C．丙同學隨機至少選擇一個選項，能得分的概率是D．丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法，利用古典概型的概率計算公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，甲同學僅隨機選一個選項，有A?B?C?D四種情況，能得3分的有C或D，有2種，所以能得3分的概率是，故選項A正確；對于B中，乙同學僅隨機選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，能得5分的情況為CD只有1種情況，所以能得5分的概率是，故選項B正確；對于C中，丙同學隨機至少選擇一個選項，選一個選項，有A?B?C?D共4種情況；選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，選四個選項有ABCD共1種，所以共有種情況，能得分有C?D?CD共3種情況，所以能得分的概率是，故選項C正確；對于D中，丁同學隨機至少選擇兩個選項，選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，選四個選項有ABCD共1種，所以共有種情況，能得分有CD共1種情況，所以能得分的概率是，故選項D錯誤.故選：ABC5.(多選題)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則下列說法正確的是（

）A．一共有種不同的結(jié)果B．兩枚骰子向上的點數(shù)相同的概率是C．兩枚骰子向上的點數(shù)之和為的概率是D．兩枚骰子向上的點數(shù)之差的絕對值小于的概率為【答案】ABD【解析】利用乘法原理可判斷A選項的正誤，利用古典概型的概率公式求出BCD選項中各事件的概率，由此可判斷BCD各選項的正誤.【詳解】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，一共有種不同的結(jié)果，A選項正確；對于B選項，事件“兩枚骰子向上的點數(shù)相同”所包含的基本事件有：、、、、、，共種不同的結(jié)果，所求概率為，B選項正確；對于C選項，事件“兩枚骰子向上的點數(shù)之和為”所包含的基本事件有：、、、，共種不同的結(jié)果，所求概率為，C選項錯誤；對于D選項，事件“兩枚骰子向上的點數(shù)之差的絕對值不小于”所包含的基本事件有：、、、、、，共種不同的結(jié)果，因此，事件“兩枚骰子向上的點數(shù)之差的絕對值小于”的概率為，D選項正確.故選：ABD.6.(多選題)某次數(shù)學考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是（

）A．甲同學僅隨機選一個選項，能得3分的概率是B．乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是C．丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是D．丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是【答案】ABC【解析】對各項中的隨機事件，計算出基本事件的總數(shù)和隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)，再計算出相應的概率后可得正確的選項.【詳解】甲同學僅隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為，隨機事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率為，故A正確.乙同學僅隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為：，隨機事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率為，故B正確.丙同學隨機選擇選項（丙至少選擇一項），由A、B中的分析可知共有基本事件種，分別為：選擇一項：；選擇兩項：；選擇三項或全選：，，隨機事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故C正確.丁同學隨機至少選擇兩個選項，有C的分析可知：共有基本事件11個，隨機事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故D錯.故選：ABC.【點睛】方法點睛：古典概型的概率的計算，關鍵是基本事件的總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)的計算，計算時可采用枚舉法、樹形圖等幫助計數(shù)（個數(shù)較少時），也可以利用排列組合的方法來計數(shù)（個數(shù)較大時）.7.(多選題)從集合中隨機選取一個數(shù)記為a，從集合中隨機選取一個數(shù)記為b，則（

）A．的概率是B．的概率是C．直線不經(jīng)過第三象限的概率是D．的概率是【答案】AC【解析】先列出所有可能的取法，再分別求出四個選項中事件發(fā)生包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型概率公式即可分別求出對應的概率，即可得正確答案.【詳解】由題意可得所有可能的取法有，，，，，，，，，，，共12種，對于選項A：滿足的取法有共6種，所以的概率，故選項A正確；對于選項B：滿足的取法有，共7種，所以的概率，故選項B不正確；對于選項C：因為直線不經(jīng)過第三象限，所以，所有滿足直線不經(jīng)過第三象限的取法有，共4種，所以直線不經(jīng)過第三象限的概率，故選項C正確；對于選項D：因為，所以，所有滿足的取法有，共3種，故的概率，故選項D不正確，故選：AC【點睛】思路點睛：求古典概型問題的思路（1）計算出可能發(fā)生的基本事件的總數(shù)；（2）隨機事件發(fā)生所包含的基本事件的個數(shù)；（3）利用古典概率公式計算事件發(fā)生的概率.8.有一批小包裝食品，其中質(zhì)量在90~95g的有40袋，質(zhì)量在95~100g的有30袋，質(zhì)量在100~105g的有10袋．從中任意抽取1袋，此袋食品的質(zhì)量在95~100g的概率為________，此袋食品的質(zhì)量不足100g的概率為________，此袋食品的質(zhì)量不低于95g的概率為________．（質(zhì)量在a~bg指的是質(zhì)量的數(shù)值在區(qū)間內(nèi)）【答案】

或

或

或【解析】【分析】根據(jù)古典概型計算公式進行逐一求解即可.【詳解】此袋食品的質(zhì)量在95~100g的概率為：；此袋食品的質(zhì)量不足100g的概率為：；此袋食品的質(zhì)量不低于95g的概率為：，故答案為：；；9.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件給出下列事件：①都不是一等品；②恰有1件一等品；③至少有1件一等品；④至多有1件一等品．其中以為概率的事件是______（填序號）．【答案】④【解析】【分析】用列舉法求解出各事件的概率，再選出符合條件的事件即可.【詳解】記3件一等品為1，2，3；2件二等品為4，5．從5件產(chǎn)品中任取2件有10種不同的結(jié)果：，，，，，，，，，，都不是一等品的結(jié)果有1種，為，所以都不是一等品的概率為；至少有1件一等品的概率為；恰有1件一等品的結(jié)果有6種，為，，，，，，所以恰有1件一等品的概率為；2件均為一等品的結(jié)果有3種，為，，；所以至多有1件一等品的概率為．故答案為：.10.一次擲兩枚均勻的骰子，得到的點數(shù)為m和n，則關于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0無實數(shù)根的概率是________．【答案】【解析】【分析】樣本點的總數(shù)為36，由＝(m＋n)2－16<0，可得共3個樣本點滿足條件，由古典概型的概率公式，即得解【詳解】樣本點的總數(shù)為36，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．因為方程無實根，所以＝(m＋n)2－16<0.即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個樣本點．所以所求概率為＝.故答案為：11.將一個各個面上涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任取1個，觀察取到的小正方體的情況，則事件B為“從小正方體中任取1個，恰有兩面涂有顏色”，那么事件B含有________個樣本點．【答案】12【解析】【分析】直接分析27個小正方體的著色情況，即可得到答案.【詳解】將一個各個面上涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，其中三面有色的小正方體有8個，位于大正方體的6個頂點處；兩面有色的小正方體有12個，位于大正方體的12條棱的中間處；一面有色的小正方體有6個，位于大正方體的6個面的中心；各個面均無色的小正方體有1個，位于大正方體的中心處.所以事件B含有12個樣本點.故答案為：12.12.在1，2，3，4四個數(shù)中，可重復地選取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍的概率是________．【答案】【解析】【分析】用列舉法寫出從4個數(shù)中可重復選取兩個數(shù)的所有不同結(jié)果，并確定所求概率的事件的結(jié)果數(shù)即可得解.【詳解】從1，2，3，4四個數(shù)中，可重復地選取兩個數(shù)，有以下16個不同結(jié)果，它們等可能：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍的事件A有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)4個不同結(jié)果，，所以所求的概率為.故答案為：13.一疊卡片共有10張，分別寫上1～10十個數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任意抽出一張卡片，則P(抽到卡片上的數(shù)字大于6)＝________，P(抽到卡片上的數(shù)字大于7小于9)＝________，P(抽到卡片上的數(shù)字為偶數(shù))＝________．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)題意求出所有基本事件個數(shù)，再求出滿足條件的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】解析：從10張卡片中任抽一張有10種抽法，即10個基本事件，其中抽到卡片上的數(shù)字大于6包括4個基本事件．由于抽到每一張卡片的可能性都相等，故P(抽到卡片上的數(shù)字大于6)；抽到卡片上的數(shù)字大于7小于9包括1個基本事件，可得P(抽到卡片上的數(shù)字大于7小于9)；抽到卡片上的數(shù)字為偶數(shù)包括5個基本事件，P(抽到卡片上的數(shù)字為偶數(shù))．故答案為：；；.14.在一個古典型（或幾何概型）中，若兩個不同隨機事件、概率相等，則稱和是“等概率事件”，如：隨機拋擲一枚骰子一次，事件“點數(shù)為奇數(shù)”和“點數(shù)為偶數(shù)”是“等概率事件”，關于“等概率事件”，以下判斷正確的是__________.①在同一個古典概型中，所有的基本事件之間都是“等概率事件”；②若一個古典概型的事件總數(shù)為大于2的質(zhì)數(shù)，則在這個古典概型中除基本事件外沒有其他“等概率事件”；③因為所有必然事件的概率都是1，所以任意兩個必然事件是“等概率事件”；④隨機同時拋擲三枚硬幣一次，則事件“僅有一個正面”和“僅有兩個正面”是“等概率事件”.【答案】①④【解析】【詳解】對于①，由古典概型的定義知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之間都是“等概率事件”．故①正確．對于②，如在1,2,3,4,5五個數(shù)中，任取一個數(shù)的基本事件為5，事件“所取的數(shù)為奇數(shù)”和事件“所取的數(shù)大于2”，概率都是，是“等概率事件”．故②錯誤．對于③，由本題的條件可知“等概率事件”是針對于同一個古典概型的．故③不正確．對于④，隨機同時拋擲三枚硬幣一次共有8中不同的結(jié)果，其中“僅有一個正面”包含3種結(jié)果，其概率為；“僅有兩個正面”包含3種結(jié)果，其概率為．故這兩個事件是“等概率事件”．故④正確．綜上可得①④正確．故答案為：①④15.由1，2，3，…，1000這個1000正整數(shù)構(gòu)成集合，先從集合中隨機取一個數(shù)，取出后把放回集合，然后再從集合中隨機取出一個數(shù)，則的概率為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，，且，要使得，即：，分類討論當時，對應的的值，得出所有取法，即可求出的概率.【詳解】解：由題可知，，且，要使得，即：，則有：當時，或，有2種取法；當時，的取值增加3、4、5，有2+3種取法；當時，的取值增加6、7、8，有種取法；當時，有種取法；當時，都有1000種取法.故.故答案為：.【點睛】本題考查古典概型求概率，考查分類討論思想和計算能力.16.辛普森悖論(Simpson’sParadox)有人譯為辛普森詭論，在統(tǒng)計學中亦有人稱為“逆論”，甚至有人視之為“魔術”.辛普森悖論為英國統(tǒng)計學家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖論的內(nèi)容大意是“在某個條件下的兩組數(shù)據(jù)，分別討論時都會滿足某種性質(zhì)，可是一旦合并考慮，卻可能導致相反的結(jié)論.”下面這個案例可以讓我們感受到這個悖論：關于某高校法學院和商學院新學期已完成的招生情況，現(xiàn)有如下數(shù)據(jù)：某高校申請人數(shù)性別錄取率法學院200人男50%女70%商學院300人男60%女90%對于此次招生，給出下列四個結(jié)論：①法學院的錄取率小于商學院的錄取率；②這兩個學院所有男生的錄取率小于這兩個學院所有女生的錄取率；③這兩個學院所有男生的錄取率不一定小于這兩個學院所有女生的錄取率；④法學院的錄取率不一定小于這兩個學院所有學生的錄取率.其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②④【解析】根據(jù)題意，結(jié)合古典概型的概率計算公式，逐項進行判定，即可求解.【詳解】設申請法學院的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則，法學院的錄取率為，設申請商學院的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則，商學院的錄取率為，由，該值的正負不確定，所以①錯誤，④正確；這兩個學院所有男生的錄取率為，這兩個學院所有女生的錄取率為，因為，所以②正確；③錯誤.故答案為：②④.【點睛】本題主要考查了古典概型的概率公式的應用，其中解答中正確理解題意，結(jié)合古典概型的概率計算公式求得相應的概率是解答的關鍵，著重考查數(shù)學閱讀能力，屬于基礎題.C培優(yōu)拔尖練1.．已知口袋中有3個小球，，．(1)若從中任取2個，寫出這個試驗的樣本空間；(2)每次任取1個，連續(xù)取兩次①若每次取出后不放回，寫出這個試驗的樣本空間；②若每次取出后放回，寫出這個試驗的樣本空間．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）①利用列舉法求得正確答案.②利用列舉法求得正確答案.【解析】(1)依題意這個試驗的樣本空間為：.(2)①依題意這個試驗的樣本空間為：.②依題意這個試驗的樣本空間為：.2.將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù).(1)寫出試驗的樣本空間Ω；(2)記“第一次出現(xiàn)的點數(shù)為4”為事件A，“第一次出現(xiàn)的點數(shù)為4?第二次出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)”為事件B，寫出A，B所包含的樣本點，并用集合的語言分析A與B的關系；(3)記“兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為8”為事件C，“兩次出現(xiàn)的點數(shù)之差大于3”為事件D，分別寫出C+D與CD所包含的樣本點.【答案】(1)答案見解析(2)A={（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}.B={（4，2），（4，4），（4，6）}，B?A(3)C+D={（1，5），（1，6），（2，6），（3，5），（4，4），（5，1），（5，3），（6，1），（6，2）}，CD={（2，6），（6，2）}【分析】直接列舉基本事件，分別寫出（1）、（2）、（3）所對應的事件.【解析】(1)一顆骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示.如圖所示：因此，試驗的樣本空間Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.(2)由（1）知，事件A={（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}.事件B={（4，2），（4，4），（4，6）}.顯然B?A.(3)由（1）知，事件C={（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）}事件D={（1，5），（1，6），（2，6），（5，1），（6，1），（6，2）}，則C+D={（1，5），（1，6），（2，6），（3，5），（4，4），（5，1），（5，3），（6，1），（6，2）}，CD={（2，6），（6，2）}.3.小李在做一份調(diào)查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．【答案】(1)0.6(2)0.48【分析】（1）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求得；（2）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求得.【解析】將三道選擇題依次編號為1，2，3，兩道填空題依次編號為4，5.(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的．記“每一次選1題(不放回)，所選的題不是同一種題型”為事件A，則A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，包含12個樣本點，所以P(A)＝＝0.6.(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的．記“每一次選1題(有放回)，所選的題不是同一種題型”為事件B，則B＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，包含12個樣本點，所以P(B)＝＝0.48.4.某中學調(diào)查了某班全部名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書法社團未參加書法社團參加演講社團未參加演講社團（1）從該班隨機選名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；（2）在既參加書法社團又參加演講社團的名同學中，有5名男同學名女同學現(xiàn)從這名男同學和名女同學中各隨機選人，求被選中且未被選中的概率．【解析】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有人，故至少參加上述一個社團的共有人，所以從該班隨機選名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為（2）從這名男同學和名女同學中各隨機選人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，共個．根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共個．因此被選中且未被選中的概率為．5.某班在一次個人投籃比賽中，記錄了在規(guī)定時間內(nèi)投進個球的人數(shù)分布情況：進球數(shù)（個）012345投進個球的人數(shù)（人）1272其中和對應的數(shù)據(jù)不小心丟失了，已知進球3個或3個以上，人均投進4個球；進球5個或5個以下，人均投進2.5個球．（1）投進3個球和4個球的分別有多少人？（2）從進球數(shù)為3，4，5的所有人中任取2人，求這2人進球數(shù)之和為8的概率．【答案】（1）投進3個球和4個球的分別有2人和2人；（2）．【解析】（1）設投進3個球和4個球的分別有，人，則，解得．故投進3個球和4個球的分別有2人和2人．（2）若要使進球數(shù)之和為8，則1人投進3球，另1人投進5球或2人都各投進4球．記投進3球的2人為，；投進4球的2人為，；投進5球的2人為，．則從這6人中任選2人的所有可能事件為：，，，，，，，，，，，，，，．共15種．其中進球數(shù)之和為8的是，，，，，有5種．所以這2人進球數(shù)之和為8的概率為．6.設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會分別選派3，1，2名運動員參加某次比賽，甲協(xié)會運動員編號分別為，，，乙協(xié)會編號為，丙協(xié)會編號分別為，，若從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽．（1）用所給編號列出所有可能抽取的結(jié)果；（2）求丙協(xié)會至少有一名運動員參加雙打比賽的概率；（3）求參加雙打比賽的兩名運動員來自同一協(xié)會的概率．【答案】（1）15種；（2）；（3）．【解析】（1）由題意，從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽，所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種．（2）設“丙協(xié)會至少有一名運動員參加雙打比賽”為事件，因為丙協(xié)會至少有一名運動員參加雙打比賽，所以編號為，的兩名運動員至少有一人被抽到，其結(jié)果為：，，，，，，，，，共9種，所以丙協(xié)會至少有一名運動員參加雙打比賽的概率．（3）兩名運動員來自同一協(xié)會有，，，，共4種，參加雙打比賽的兩名運動員來自同一協(xié)會的概率為．7.某校高三年級有男生105人，女生126人，教師42人，用分層抽樣的方法從中抽取13人進行問卷調(diào)查．設其中某項問題的選擇只有“同意”，“不同意”兩種，且每人都做了一種選擇．下面表格中提供了被調(diào)查人答卷情況的部