2023-2024學(xué)年天津市五校高一下冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題(本題共9小題，每小題4分，共36分)

1.已知0—1)z=3-ι,其中i為虛數(shù)單位，則忖=()

A.√5B.5C.2D.√2

【正確答案】A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法求得復(fù)數(shù)z=2+i,再求其模.

3-i(3-i)(l+i)4+2i`..

【詳解】由Z==~—r-=2+1-故目lr

1-1(l-ι)(l÷ι)211

故選：A

2.已知向量Q=(-3,2),B=(Lx),若a〃B，則X=()

3232

A.-B.—C.----D.----

2323

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示，即可求解.

2

【詳解】因?yàn)椤辍˙，則—3x=2,得％=—

故選：D

3.已知B是夾角為60。的單位向量，則囚一2可=()

A.7B.13C.√7D.√13

【正確答案】C

【分析】對表達(dá)式直接平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】∣31—2萬(=(31—2行『=9萬2—12萬石+4戶=9—12xlxlXCoS60°+4=7,于是

∣35-2?∣=√7.

故選：C

4.已知a、6為兩條不同的直線，口、/為兩個不同的平面，則下列說法正確的是()

A.若a∕∕b,bua,則a∕∕a

B.若aua,bu/3,a∕∕b,則a〃Q

C若a〃夕，aua,則a/R

D.若a///?,aua,buβ,則a∕∕b

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對四個選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對于A：若a∕∕b,bua,則a//a或aua,故A錯誤；

對于B：若aua,buβ,a∕∕b,則a〃夕或a與夕相交，故B錯誤；

對于C：若aHβ,aua,則。///?,故C正確；

對于D：若a〃夕，aua,bu/,則a∕∕b或。與b異面，故D錯誤.

故選：C.

5.在“8C中，已知SirL4=2sin(4+C)cosC,那么一8。一定是()

A等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【正確答案】C

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理化簡題給條件即可得到b=C,進(jìn)而得到“BC

為等腰三角形.

【詳解】因?yàn)镾irL4=2sin(4+C)cosC,sin(4+C)=sin8,

所以SirL4=2sinBcosC,

所以由正弦定理和余弦定理得4=26>"-+”一。一,

2ab

化簡得∕>2=c2,所以b=c,所以。為等腰三角形.

故選：C

6.已知h=2同，若Z與5的夾角為120。，則涕―Z在Z上的投影向量為（）

-3-1-→

?-3-3QB.--aC.--aD.3α

【正確答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求2B-Z在［上的投影向量.

【詳解】2$-々在Z上的投影向量為12B-αIcos(26-a,β)?-,

'/⑷

一一一一一一2

2bya2aa

?2b-a?cθs(2h-a,a)=(~f=±~-,

—*——*2—?—?2

-左一■豆/耳石

rrK1L∣?Aι?∏÷ι2Q?6—Q-∣ci∣~cos120°—∣tz|~-3-

所以，2b—4在Q上的投影向更為---=^-----a—------------------TT------------------a=—a.

∣α∣21?|22

故選：B

7.在“8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊為。，b,c,若。=4,6=4百，A=-,則角8的大

6

小為()

ππ一2兀2ππ

A.—B.—或——C.——D.—

33336

【正確答案】B

【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求角8的大小.

【詳解】由，一=—竺，則Sin6=2當(dāng)且=3,而8e（0,π）,故5=二或0,

smAsinBa233

顯然，所得角5均滿足O<Z+B<兀.

故選：B

8.若一個正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則正方體與這個球的表面積之比為（）

π

D.

~τΓπ^2

【正確答案】C

【分析】設(shè)正方體的棱長為0,則外接球的直徑為正方體的體對角線，從而可得球的半徑，利用公式

求出兩者的表面積后可得它們的比值.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為“，外接球的半徑為R,則2&=小，

故球的表面積為4兀&=πX(2&『=3萬",而正方體的表面積為6片,

故正方體與這個球的表面積之比為?-=-

3πa'π

故選：C.

本題考查正方體和其外接球的表面積的計(jì)算，注意弄清楚球的半徑與正方體的棱長的關(guān)系，本題屬于

基礎(chǔ)題.

TT--?2—-且滿足"=加%+,方，

9.如圖，在“8C中，ABAC=-,AD=—AB,P為CD上一息

332

若西=2,西=3,則網(wǎng)的值為（）

A府R?/i?√13√13

A.7o?------Ir.-----Ln/.-----

234

【正確答案】B

【分析】由C,P,。三點(diǎn)共線，結(jié)合向量的線性運(yùn)算將萬用就,而表示，根據(jù)共線的條件得出參數(shù)

值加，然后對等式NR=加就+工方兩邊同時平方即可.

2

——?—?1——?2——?3—?——?——?—?3——?

【詳解】AP=mAC+-AB,又AD=-4B=—AD=4B,即ZP=m∕C+-AS,

2324

31—1—.1—

由C,P,。三點(diǎn)共線可知，m+-=?,即加=一，故∕P=-∕C+―/8.

4442

■,■?..兀

由題知，^AC=4,∑5"=9'AC-AB=2×3×cos-=3.

將上式兩邊平方可得，AP2=—AC2+-AB2+-ABAC=-,即|"I=姮.

16444II2

故選：B

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，共24分)

10.若復(fù)數(shù)Z滿足z+(3+4i)=l,則Z的虛部是

【正確答案】-4

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求復(fù)數(shù)，即可確定其虛部.

【詳解】由題設(shè)Z=I-(3+4i)=-2-4i,故虛部為一4?

故-4

11.已知圓錐的底面半徑為2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為.

【正確答案】迪"##8其

33

【分析】先計(jì)算圓錐的底面周長，即為側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而求得側(cè)面展開圖的半徑，即為圓錐的

母線長，再求得圓錐的高，從而求得體積即可

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為，?，高為〃，

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以2πr=π∕,又r=2,

所以圓錐的母線長∕=2r=4,所以圓錐的高〃=，/2_尸=2百,

所以圓錐的體積P='mΛ?=迪?，

33

故答案為.號趙■乃

3

12.若一個圓柱和一個圓錐的底面周長之比為圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高與圓錐

的高的比為.

Q

【正確答案】一##8:3

3

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為R,高為九，圓錐的底面半徑為，高為〃2,結(jié)合題意得到∕?=2H,

結(jié)合圓柱和圓錐的體積公式，求得TL的值，即可求解.

fh

【詳解】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為R,高為九，圓錐的底面圓的半徑為〃，高為人2，

因?yàn)閳A柱和圓錐的底面周長之比為;，可得理=O=L,所以廠=2R,

22πrr2

22

πRht3ΛΛ13R2%3%C

又因?yàn)閳A柱的體積是圓錐體積的2倍，可得］兀7力=Rr=赤A=NT=2,

3π,2

A8-8

解得TL1=Z,即圓柱的高與圓錐的高的比為一.

h133

Q

故答案為?-

3

13.在C中，α,b,c分別為內(nèi)角4氏C所對的邊，若/=+6,J=p則-8C的面

積是.

【正確答案】舅1##：6

22

【分析】根據(jù)題意求得C?+/-/=2α—6,再由余弦定理列出方程求得be=6,結(jié)合三角形的面

積公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)?=(C-bp+6,可得/=C?+/一2bc+6,^c2+b2-a2=2hc-6,

又因?yàn)榱?1，由余弦定理可得CoSA=C-+b--a-=2bc二6=J_,解得/^=6,

32hc2bc2

所以^ABC的面積為S=LbCSin/=IX6xsin百=，.

2232

故地

2

14.一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時的速度沿直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東32。

方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時輪船與燈塔的距離為J歷海里，則燈塔與輪船原來的距離為

海里.

【正確答案】2

【分析】如圖，設(shè)Z為輪船原來的位置，8為輪船10分鐘后的位置，C為燈塔的位置，然后在“3C

中利用余弦定理求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)4為輪船原來的位置，8為輪船10分鐘后的位置，C為燈塔的位置，

由題意知Z6=18χW=3,BC=M，ZBAC=180o-32°-28°=120°.

60

由余弦定理得BC2AB2+AC2-IAB-ACcosABAC?

所以19=9+NC2+3NC,化簡得/C2+3NC—I。=。,

解得4C=2或4。=一5(舍去),

所以燈塔與輪船原來的距離為2海里,

故2.

15.如圖，在平面四邊形ZBCQ中，ABlBC,ADLCD,NBAD=120。,4B=4D=1.若點(diǎn)

E為邊CO上的動點(diǎn)(不與C、。重合)，則琢.麗的取值范圍為.

【分析】設(shè)詼=%比(0<4<l),根據(jù)條件找出Z)C=BC=G,I詼卜血，且詼與刀的

夾角為30°，E與益的夾角為60°，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出

EA-EB=fDA-DE)-iED+DA+AB),然后表示為關(guān)于4的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值

即可解決問題?

【詳解】延長CD,加交于點(diǎn)”，因?yàn)?B1BC,AD1CD,NB4D=120°,所以NBCZ)=60'，

ZDHA=30°>

在RtAZZV∕中，NDHA=3?，AD=\,所以AH=2,DH=小,

在Rta8C”中，KHB=30°，BH=3,所以C7∕=2√J,8C=√J,

所以Z)C=BC=百，不妨設(shè)方=4皮(0<2<l),貝”瓦卜&,且瓦與法的夾角為30。，

刀與刀的夾角為60°，

則或.麗=?-碼?(而+E+珂

=DA-ED+DA?DA+DA?AB一DE?ED-DE?DA-DE?AB

=0+∣Λ4∣2+∣Λ4∣-∣7s∣cos600+3Λ2-0-∣∕5^∣?∣AS∣COS300

=[+-+3λ2-0-yβλ×-=3λ2--λ+-，

2222

設(shè)/⑶=3/[2_?+：,(0<Λ<l)t

3

所以~2[時，/(2).=3x(』]2_2x，+3二可

幾二一百二I、7m,nUJ24216

2

/(Λ)<∕(l)=3×l-i×l+^=3,

則以?麗的范圍是當(dāng)3).

故答案為.洌

C

三、解答題(本大題共4小題，共60分)

16.已知α=(4,3),B=(-1,2).

(1)求［與B夾角的余弦值;

(2)^(a-λb)1(2?+^),求實(shí)數(shù)九的值;

(3)若NW=2Z-B，^BC=a+mhy且A、B、。三點(diǎn)共線，求加的值.

【正確答案】(1)2叵

25

⑵T

9

(3)」

2

【分析】(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和夾角公式即可得出；

(2)依題意可得(a-aB)?(22+3=o,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，解得即可；

(3)首先求出荏，就的坐標(biāo)，依題意可得數(shù)〃刀，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【小問1詳解】

?.?Z=(4,3),^=(-1,2).

?,?5??=-l×4+3×2=2>同=J4。+3?—5>W=J(—1)-+2?=y∣5-

/_r?a-b22√5

麗=Rr石?

【小問2詳解】

???(3-花)-L(2a+B),

.-.(α-Λ6)?(2a+?)=0,

即252+(l-2λ)α??-Λ62=2∣α∣2+(l-2λ)a??-Λ∣?∣2=2×25+(l-2λ)×2-5Λ=0,

52

整理得92=52,解得4=一.

9

【小問3詳解】

因?yàn)榉?2%-B=2(4,3)-(-l,2)=(9,4),

BC=α+∕n6=(4,3)+w(-l,2)=(4-w,3+2w),

因?yàn)锳、8、C三點(diǎn)共線，

所以死〃刀,即9(3+2加)=4(4一加)，解得wj=-g.

17.在非等腰ΔA5C中，a,b,C分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且α=3,c=4,C=2A.

(?)求COSZ的值；

(2)求△/5C的周長；

(3)求COS24+的值.

k6√

2

【正確答案】(1)COSZ=一

3

28

(2)—

3

小√3+4√5

18

34

【分析】（1）由正弦定理得——二——,根據(jù)C=2力，解得cos∕?

sinAsinC

1A

（2）由余弦定理/=〃+/—2Z?CCOS/，建立方程b1——?+7=0,根據(jù)。，h,?；ゲ幌嗟龋?/p>

求得力，即可求出周長.

（3）由cos∕=2,得SinN=或，應(yīng)用二倍角的三角函數(shù)求得sin2∕,cos2Z,應(yīng)用兩角和差的三

33

（兀

角函數(shù)求COs[2τ4+-

【小問1詳解】

L

在“8C中，由正弦定理‘r=-J=——，a=3,c=4,

SinJSmBSinC

可得二一=^^,

sinAsinC

3434

因?yàn)镃=2∕,所以-----=------，即-----=------------,

sinAsin2JsinA2sin/cos4

2

顯然sin4wθ,解得cos/=—.

3

【小問2詳解】

在△?IBC中，由余弦定理/=^+c2-2bccosA，

得^b+7=0,解得6=3或6=1.

33

7

由已知。，b,?；ゲ幌嗟?，所以b=—,

3

728

所以=。+6+。=3+4+—=—.

“K33

【小問3詳解】

因?yàn)镃oSZ=∣?,所以SinZ=Jl-Co以/=正,

所以sin2/=2sin/cosA=——>COS2/-2cos2A-1=--,

99

LL1、I（c∕兀）c/兀?c∕?兀（1I√34√516+4五

Wr以cos2AH—I=cos2Acos—sin2?ISin———×------------×—=

I6J66（9j29218

18.如圖：在正方體ZBcD-44ClA中ZB=2,〃為。A的中點(diǎn).

(1)求三棱錐M-NBC的體積;

（2）求證：//平面ZMC；

（3）若N為CG的中點(diǎn)，求證：平面力MC//平面BNR.

2

【正確答案】（1）I

（2）證明見解析（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)線面平行的判定進(jìn)行證明；

（3）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.

【小問1詳解】

1112

顯然，平面于是％BC=-XMDXSXIX-

W/8C,tri~zAid_3a“∕iBD?-C=-32X2X2=-3.

【小問2詳解】

D\CI

設(shè)ZCnBD=。，連接OM,

???在正方體NBCD-44G。中，四邊形ZBC。是正方形，二0是8。中點(diǎn),

???M是DDl的中點(diǎn)，；.OM//BDi,

?.?BR<Z平面AMC,OMU平面AMC,

：.BDlH平面AMCx

【小問3詳解】

QN為Cq的中點(diǎn)，例為OA的中點(diǎn)，

.?CN//DlM,:.CN=D1M,

.?.四邊形CNz）也為平行四