-2023學(xué)年浙江省杭州市建德市東城實驗中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（10小題，每小題3分）1．（3分）要使二次根式有意義，則x的取值范圍為（）A．x≠8 B．x＞﹣8 C．x≥8 D．x≤82．（3分）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）某小組7位同學(xué)的中考體育測試成績（滿分30分）依次為26，30，29，30，26，28，30．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．30 B．29.5 C．29 D．284．（3分）下列選項中的運算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）一個多邊形的每個內(nèi)角均為120°，則這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后得到的方程為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝57．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個解，則代數(shù)式3a2﹣6a+3的值為（）A．0 B．4 C．5 D．68．（3分）如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的長為10cm，連結(jié)矩形各邊中點E、F、G、H得四邊形EFGH，則四邊形EFGH的周長為（）cm．A．10 B．20 C．30 D．409．（3分）下列命題錯誤的是（）A．如果一個菱形的對角線相等，那么它一定是正方形 B．如果一個四邊形的對角線互相垂直平分，那么它一定是菱形 C．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 D．四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形10．（3分）《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來解形如x（x+5）＝24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25＝121，邊長為11，故得x（x+5）＝24的正數(shù)解為x＝＝3．小明按此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（）A．﹣1 B．+1 C． D．﹣1二、填空題（6小題，每小題4分）11．（4分）當(dāng)a＝﹣1時，二次根式的值為．12．（4分）甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m，方差分別為S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，則身高較整齊的球隊是隊．13．（4分）把關(guān)于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是，其中常數(shù)項是．14．（4分）在?ABCD中，∠B＝3∠A，則∠C＝度．15．（4分）對于實數(shù)m，n，定義一種運算*為：m*n＝mn+n．如果關(guān)于x的方程x*（a*x）＝﹣有兩個相等的實數(shù)根，則a＝．16．（4分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，則?ABCD的面積是．三、解答題（有7小題，共66分，解答需寫出必要的文字說明、演算或證明過程）17．（6分）計算：（1）；（2）．18．（8分）用合適的方法解方程：（1）x2﹣7x＝0；（2）（x+3）（x﹣1）＝9．19．（8分）某校組織學(xué)生開展讀書節(jié)活動．為了了解全校學(xué)生的借閱書刊情況，學(xué)校隨機抽查了30名學(xué)生的一周借書數(shù)量，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理如表：植樹數(shù)量（單位：本）12345人數(shù)（單位：人）714621（1）調(diào)查的周借書數(shù)量的眾數(shù)是本；（2）求這30名學(xué)生的一周借書數(shù)量的平均數(shù)；（3）若該校共有1200名學(xué)生，請根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)估計該校學(xué)生的一周借書總數(shù)約是多少本？20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點，延長BA到點D，使AD＝AB，連結(jié)DE、DF．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）若BC＝5，求DF的長．21．（10分）如圖，在菱形ABCD中，E為邊BC中點，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于點H，交AD于點G．（1）求證：四邊形AECG是矩形．（2）求∠CHA的度數(shù)．22．（12分）2022年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡，某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店2022年1月的“冰墩墩”銷量為1萬件，2022年3月的“冰墩墩”銷量為1.21萬件．（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；（2）該零售店4月將采用提高售價的方法增加利潤，根據(jù)市場調(diào)研得出結(jié)論：如果將進價80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可銷售500件，在此基礎(chǔ)上售價每漲0.5元，則每天的銷售量就會減少5件，該零售店要想每天獲得12000元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應(yīng)該定為多少元？23．（12分）如圖1，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，連結(jié)CP.（1）求證：△ADP≌△CDP；（2）如圖2，延長AP交線段DC于點Q，交BC的延長線于點G，點M是GQ的中點，連結(jié)CM．求證：PC⊥MC；（3）如圖3，延長AP交射線DC于點Q，交BC于點G，點M是GQ的中點，連結(jié)CM．若PM＝4，∠BAP＝30°，求AB的長．2022-2023學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)東城實驗中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（10小題，每小題3分）1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣8≥0，即x≥8．故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：B．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3．【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．【解答】解：從小到大排列為26，26，28，29，30，30，30，∵排在中間的數(shù)是29，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29．故選：C．【點評】本題主要考查的是學(xué)生對中位數(shù)定義的掌握情況，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知中位數(shù)的定義，由此即可解答．4．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和實數(shù)的計算順序和法則計算即可．【解答】解：A、＝≠，故選項A不符合題意；B、＝﹣≠3，故選項B不符合題意；C、＝，故選項C符合題意；D、＝2，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和實數(shù)的計算，熟練掌握其運算順序和法則是解題的關(guān)鍵．5．【分析】一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：外角是180°﹣120°＝60°，360÷60＝6，則這個多邊形是六邊形．故選：C．【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．6．【分析】移項，配方，根據(jù)完全平方公式變形，即可得出選項．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后將其代入所求的代數(shù)式并求值即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個解，∴a2﹣2a＝1，則3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a）+3＝3×1+3＝6．故選：D．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．8．【分析】根據(jù)三角形中位線定理易得四邊形EFGH的各邊長等于矩形對角線的一半，而矩形對角線是相等的，都為10，那么就求得了各邊長，讓各邊長相加即可．【解答】解：連接AC，∵H、G是AD與CD的中點，∴GH是△ACD的中位線，∴GH＝AC＝5（cm），同理EF＝5cm，根據(jù)矩形的對角線相等，得到：EH＝FG＝5cm，∴四邊形EFGH的周長為20cm．故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．9．【分析】根據(jù)正方形的判定定理、菱形的判定定理、平行四邊形的判定定理判斷即可．【解答】解：A、如果一個菱形的對角線相等，那么它一定是正方形，命題正確，不符合題意；B、如果一個四邊形的對角線互相垂直平分，那么它一定是菱形，命題正確，不符合題意；C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或梯形，故本小題命題錯誤，符合題意；D、四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形，命題正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．10．【分析】把方程變形得到x（x+m）＝n，設(shè)圖中長方形的長為（x+m），寬為x，則圖中小正方形的邊長為x+m﹣x＝m＝2，大正方形的邊長為x+m+x＝2x+m＝，解得x＝2，然后計算x（x+2）即可．【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，∴x（x+m）＝n，∴圖中長方形的長為（x+m），寬為x，∴圖中小正方形的邊長為x+m﹣x＝m＝＝2，大正方形的邊長為x+m+x＝2x+m＝，∴x＝＝﹣1，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．二、填空題（6小題，每小題4分）11．【分析】直接把a的值代入進而得出答案．【解答】解：當(dāng)a＝﹣1時，二次根式＝＝＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定解答即可．【解答】解：∵平均身高都為1.82m，3.7＜4.2，∴身高較整齊的球隊是甲隊．故答案為：甲．【點評】本題考查了方差的意義，方差是各數(shù)據(jù)值離差的平方和的平均數(shù)，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．13．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【解答】解：x（2x+1）＝3，2x2+x＝3，方程整理得：2x2+x﹣3＝0，∴常數(shù)項為﹣3．故答案為：2x2+x﹣3＝0，﹣3．【點評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．14．【分析】平行四邊形中，利用鄰角互補可求得∠A的度數(shù)，利用對角相等，即可得出答案．【解答】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠B＝3∠A，∴∠A+3∠A＝180°，∴∠A＝∠C＝45°，故答案為：45．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用鄰角互補的結(jié)論求四邊形內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．15．【分析】由于定義一種運算“*”為：m*n＝mn+n，所以關(guān)于x的方程x*（a*x）＝﹣變?yōu)椋╝+1）x2+（a+1）x+＝0，而此方程有兩個相等的實數(shù)根，所以根據(jù)判別式和一元二次方程的一般形式的定義可以得到關(guān)于a的關(guān)系式，即可解決問題．【解答】解：由x*（a*x）＝﹣得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，依題意有a+1≠0，Δ＝（a+1）2﹣（a+1）＝0，解得，a＝0，或a＝﹣1（舍去）．故答案為：0．【點評】此題考查了新定義，一元二次方程的判別式，解題時首先正確理解新定義的運算法則得到關(guān)于x的方程，然后根據(jù)判別式和一元二次方程的定義得到關(guān)系式解決問題．16．【分析】過D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝＝＝2，如圖1，AB＝4，∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝4，如圖2，AB＝2，∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝2，綜上所述，?ABCD的面積是4或2．故答案為：4或2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用，30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．三、解答題（有7小題，共66分，解答需寫出必要的文字說明、演算或證明過程）17．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）先利用完全平方公式計算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣＝3；（2）原式＝4+2+1﹣2+3＝4+4．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．18．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，∴x1＝0，x2＝7．（2）（x+3）（x﹣1）＝9，x2+2x＝12，x2+2x+1＝13，即（x+1）2＝13，∴x+1＝或x+1＝﹣，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）找到出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是眾數(shù)；（2）利用平均數(shù)的計算公式進行計算即可；（3）用一周借書數(shù)量的平均數(shù)乘以總?cè)藬?shù)即可求得一周借書總數(shù)．【解答】解：（1）觀察表格發(fā)現(xiàn)：周借書數(shù)量2本的有14人，最多，所以周借書數(shù)量的眾數(shù)為2本；故答案為：2．（2）平均數(shù)為：＝2.2；答：這30名學(xué)生的一周借書數(shù)量的平均數(shù)是2.2；（3）1200×2.2＝2640（本），答：估計該校學(xué)生的一周借書總數(shù)約是2640本．【點評】本題考查了眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)及用樣本估計總體的知識，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的定義，難度不大．20．【分析】（1）連接EF、AE，證四邊形AEFD是平行四邊形即可．（2）注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，求得AE長即可．【解答】（1）證明：連接EF，AE．∵點E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，∴EF∥AB，EF＝AB．又∵AD＝AB，∴EF＝AD．又∵EF∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．∴AF與DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵E為BC的中點，BC＝5，∴AE＝BC＝．又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴DF＝AE＝．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確有中點時需考慮運用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．21．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB＝BC，由已知條件證出四邊形AECG是平行四邊形，再證出∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC，證明△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∵CG∥AE，∴四邊形AECG是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴四邊形AECG是矩形．（2）解：連接AC，如圖所示：∵E為BC中點，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴∠B＝∠BAC＝60°，在等邊三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，同理∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，∴AE∥CG，∴∠AHC＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形是解題的關(guān)鍵．22．【分析】（1）設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為x，由題意可列方程為1×（1+x）2＝1.21，求解即可．（2）設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為m元，根據(jù)題意可列方程求出m的值，再使其滿足銷量盡可能大即可．【解答】解：（1）設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為x，由題意可得，1×（1+x）2＝1.21，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%．（2）設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為m元，則每件商品的銷售利潤為（m﹣80）元，每天的銷售量為500﹣5×＝（1500﹣10m）件，依題意可得（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000，解得m1＝110，m2＝120，∵要使銷量盡可能大，∴m＝110，答：每件商品的售價應(yīng)該定為110元．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件列出方程是解答本題的關(guān)鍵．23．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，再由SAS證明△ADP≌△CDP即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠DAP＝∠DCP，即∠DCP＝∠DAG，再由平行線的性質(zhì)得∠DAG＝∠G，則∠DCP＝∠G，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CM＝QM，則∠MCQ＝∠MQC，證出∠DCP+∠MCQ＝90°，即可得出結(jié)論；（3）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得GM＝CM＝QM，則∠MCQ＝∠Q，再證△CGM為等邊三角形，得CG＝GM，∠CGM＝∠MCG＝60°，然后證△ABP≌△CBP（SAS），得