安徽許鎮(zhèn)2023年數(shù)學(xué)九上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.在Rt/VIBC中，ZC=90°,AC=5,5c=12,則cosB的值為（）

512八135

A.—B.—C.—D.—

1313512

2.已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為3k,所含的圓心角為120。，則半徑為（）

931

A.9B.3C.-D.—

22

3.等腰三角形一邊長(zhǎng)為2,它的另外兩條邊的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程xJ6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的值是

（）

A.8B.9C.8或9D.12

4.某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,3）,則此函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)（)

A.(2,-3)B.(-3,3)C.(2,3)D.(-4,6)

5.如圖，點(diǎn)/是A4BC的內(nèi)心，ZB/C==130°,貝！|N84C=()

C.70°D.80°

6.若拋物線+加r+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)AB（/n+8,n）,貝!]"=（）

A.0B.3C.16D.9

7.式子JUE在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x>-2C.x<-2D.x<-2

4

8.一張圓心角為。的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)都為4,已知tana=§,則扇形紙板和

圓形紙板的半徑之比是（）

9.已知G是方程x2-2，5x+c=0的一個(gè)根，貝!jc的值是（）

A.-3B.3C.73D.273

10.下列美麗的圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）

X區(qū)4>O

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.若點(diǎn)（P，2）與（-3,q）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則p+q=_.

k

12.如圖，已知點(diǎn)A,點(diǎn)C在反比例函數(shù)丫=一（*>O,x>0）的圖象上，AB_Lx軸于點(diǎn)3,OC交AB于點(diǎn)D,若

x

=OD,則與ABC。的面積比為

13.如圖，將正方形A8CO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。至正方形邊B'C交CD于點(diǎn)E,若正方形ABCO的

邊長(zhǎng)為3,則OE的長(zhǎng)為.

cB

14.布袋里有8個(gè)大小相同的乒乓球，其中2個(gè)為紅色，1個(gè)為白色，5個(gè)為黃色，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅色

的概率是.

3

15.已知A（X!,Ji）B（X2,J2）為反比例函數(shù)y=一圖象上的兩點(diǎn)，且X1VX2V0,貝!I：以"（填“〉”或"V”）.

X

16,將二次函數(shù)y=-2（x—1尸+3的圖象關(guān)于原點(diǎn)作對(duì)稱變換，則對(duì)稱后得到的二次函數(shù)的解析式為.

17.已知三個(gè)邊長(zhǎng)分別為2c加，3cm,5cm的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為.

18.如圖,AB是以點(diǎn)。為圓心的圓形紙片的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)￡,從8=10,8￡=3.將陰影部分沿著弦人（2翻折

壓平，翻折后，弧AC對(duì)應(yīng)的弧為G,則點(diǎn)。與弧G所在圓的位置關(guān)系為.

三、解答題（共66分）

19.（10分）甲口袋中有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，乙口袋中有1個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.分別從每

個(gè)口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球.

（1）求摸出的2個(gè)球都是白球的概率.

（2）請(qǐng)比較①摸出的2個(gè)球顏色相同②摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球，這兩種情況哪個(gè)概率大，請(qǐng)說(shuō)明理由

20.（6分）如圖，在正方形ABCO中，43=6,“是對(duì)角線3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)［0＜。加＜38。），連接AM，過(guò)點(diǎn)

“作交8c于點(diǎn)N.

（1）如圖①，求證：MA=MN；

S13

(2)如圖②，連接AN,O為AN的中點(diǎn)，MO的延長(zhǎng)線交邊A8于點(diǎn)P,當(dāng)既”=不時(shí)，求AN和PA7的長(zhǎng);

3ABe￡>13

(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)N作NHLBD于H,當(dāng)AM=2石時(shí)，求AHMN的面積.

DAD

國(guó)①圖②

(2)點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

AJ71

頷圖1,設(shè)々=—,當(dāng)k為何值時(shí)，CF=-AD.

AD2

函圖2,以A,F,。為頂點(diǎn)的三角形是否與AABC相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(8分)如圖，拋物線丫=加+加+2交x軸于點(diǎn)A(—3,0)和點(diǎn)8(1,0),交.V軸于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形AOCP面積的最大值.

23.(8分)A8C中，N4C8=90。，AC=BC,。是〃。上一點(diǎn)，連接AO,將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在8c的延長(zhǎng)線上。過(guò)點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)G,

A

(1)求證：FE=AE；

DE

（2）填空:

BF

A(~lAH

（3）若夕=k,求"的值(用含A的代數(shù)式表示).

DGEH

24.(8分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接對(duì)角線AC,過(guò)點(diǎn)。作OE4c與8C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

連接AE交。C于尸.

(1)求證：BC=CE；

(2)連結(jié)Bb,若NDAF=NFBE,且AD=2CF,求證：四邊形ABCD是正方形.

25.(10分)如圖，在矩形A3C。中，A5=10,動(dòng)點(diǎn)E、尸分別在邊AB、AD±.,S.AF=-AE.將A4EF繞點(diǎn)E順時(shí)

2

針旋轉(zhuǎn)10°得到AA'EF,設(shè)AE=x,AZTEF與矩形48。重疊部分面積為S,S的最大值為1.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

26.（10分）（1）解方程X?-3x=5（x—3）

⑵計(jì)算卜一碼+2cos45?！郏跩

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、B

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可.

【詳解】由勾股定理得，AB=ylAC2+BC2=A/52+122=13?

BC12

則nIcosBn=---=—,

AB13

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做NA的余弦是解題的關(guān)鍵.

2、C

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)半徑為r,

,??扇形的弧長(zhǎng)為34所含的圓心角為120。，

120*^xr

---------------=371,

180

._9

??r——，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是根據(jù)弧長(zhǎng)和圓心角求半徑，掌握弧長(zhǎng)公式是解決此題的關(guān)鍵.

3、B

【分析】根據(jù)一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時(shí)，

此時(shí)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，

AA=36-4k=0,

Ak=9,

此時(shí)兩腰長(zhǎng)為3,

V2+3>3,

*'?k=9滿足題意，

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2時(shí)，

此時(shí)x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，

代入得4—12+k=0,

Ak=8,

x2-6x+8=0

求出另外一根為：x=4,

V2+2=4,

???不能組成三角形，

綜上所述，k=9,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì).

4、A

【分析】設(shè)反比例函數(shù)y=8（k為常數(shù)，k#0）,由于反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,3）,則k=-6,然后根據(jù)反比例函

X

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，導(dǎo)0）,

X

??,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（.2,3）,

??k=-2x3="6，

而2x（-3）=-6,（-3）x（-3）=9,2x3=6,-4x6=-24,

...點(diǎn)（2,-3）在反比例函數(shù)y=-9的圖象上.

x

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，k#））的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x,y）

X

的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

5、D

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)接圓得到NABC=2NIBC,ZACB=2ZICB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NIBC+NICB,

求出NACB+NABC的度數(shù)即可；

【詳解】解：??,點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，

：.ZABC=2ZIBC,NACB=2NICB,

VZB/C=130°,

:.Z/BC+ZZCB=180°-NC7B=50°,

:.NA8C+N4c5=2x50°=100°,

AZBAC=180°-(NACB+NA8C)=80°.

故選O.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的內(nèi)心，掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、8的坐標(biāo)易求該拋物線的對(duì)稱軸是x=/?+L故設(shè)拋物線解析式為y=(x+m+1)2,直接將A(/n,

")代入，通過(guò)解方程來(lái)求"的值.

【詳解】..?拋物線過(guò)點(diǎn)A(m,n),B(機(jī)+8,"),

.-Ldz.口m+m+S

..對(duì)稱軸是x=-------------=m+l.

2

又拋物線y=x2+hx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.設(shè)拋物線解析式為7=(x-m-1)2,

把A(.m,n')代入，得

n=(w-m+1')2=2,即"=2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解答該題的技巧性在于找到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線的解析式.

7、B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x+220,再解不等式即可.

【詳解】解：由題意得：x+2>0,

解得：x>—2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

8、A

【分析】分別求出扇形和圓的半徑，即可求出比值.

【詳解】如圖，連接OD,

0

?四邊形ABCD是正方形，

.,.ZDCB=ZABO=90°,AB=BC=CD=4,

4AB

:tan。=—=---，

3OB

3

.\OB=-AB=3,/.CO=7

4

由勾股定理得：OD="2+72

如圖2,連接MB、MC,

■:四邊形ABCD是。M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形,

/.ZBMC=90o,MB=MC,

.,.ZMCB=ZMBC=45",

,.,BC=4,

；.MC=MB=2&=r2

...扇形和圓形紙板的半徑比是?。?近=」畫(huà)

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)；解此題的關(guān)鍵是求出扇形和圓的半徑，題目比較好，難度適中.

9、B

【分析】把*=百代入方程得到關(guān)于c的方程，然后解方程即可.

【詳解】解：把*=百代入方程X2-2QX+C=0,得

（x/3）2-2y/3XV3+c=0,

所以c=6-1=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是將方程的根代入原方程求出字母系數(shù).

10、B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【詳解】解：從左數(shù)第一、四個(gè)是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.第二是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，第三個(gè)

圖形是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)

稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、1

【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出p,q的值進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???點(diǎn)（p,2）與（-3,q）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，p=3,q=-2,

.*.p+q=3-2=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

12、1.

【分析】作CE_Lx軸于E,如圖，利用平行線分線段成比例得到要=處=空=,，設(shè)。(,〃，〃)，則C(2,〃，

2"),再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=4mn,則A(m,4n),然后根據(jù)三角形面積公式用m、”表示5號(hào)。0

和SABCD,從而得到它們的比.

【詳解】作CEJ_x軸于E,如圖，

'：DB//CE,

.OB_fi￡)_0D_1

**OE-cF-OC_2*

設(shè)O(/?,"),則C(2m,2"),

,.C(2m,2/i)在反比例函數(shù)圖象上，

k=2mx2n=4mn,

".A(m,4n),

1/、311

；SAAO&=—x(4/i-n)xm=—mn,SABCP=-xz(2m-mx)x?=—mn

2222

31

BCD的面積比=一“〃?：一機(jī)"=1.

22

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：平行線分線段成比例，反比例函數(shù)；數(shù)形結(jié)合，利用平行線分線段成比例，反比例函數(shù)定義求出點(diǎn)的坐

標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵.

13、百

【分析】連接AE,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AD=AB，=3、ZBAB'=30°,NB，AD=60。，證RtAADEgRSAB，E得NDAE=

-ZB,AD=30°,由DE=ADtanNDAE可得答案.

2

【詳解】解：如圖，連接AE,

???將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到正方形AB'CDS

.,.AD=AB'=3,NBAB'=30°,ZDAB=90°

.,.ZB,AD=60°,

在RtAADE和RtAAB'E中,

AD=AB

AE=AE'

：.RtAADE^RtAABT(HL),

.,.ZDAE=ZBrAE=-ZBrAD=30o,

2

：.DE=ADtanZDAE=3x=百，

故答案為內(nèi)?

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理.

I

14、-

4

【分析】直接根據(jù)概率公式求解.

21

【詳解】解：隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅色的概率=——

2+1+54

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

15、<

【解析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出該函數(shù)圖象所在的象限及在每一象限內(nèi)的增減性，再由xiVxiVO可判斷

出A(xi,yi)B(xi,yi)所在的象限，故可得出結(jié)論.

3

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=-一中k=-3<0,

x

其函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

Vxi<xi<0,

:.A、B兩點(diǎn)均在第二象限，

故答案為：＜.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意判斷出A、B所在的象限是解答此題的關(guān)鍵.

16、y=2(x+l)2-3

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)，可得答案.

【詳解】解：y=-2(x-l)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),

故變換后的拋物線為y=2(x+l)2-3,

故答案為y=2(x+l)2-3

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱變換后只是開(kāi)口方向改變，頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而開(kāi)口大

小并沒(méi)有改變.

17.3.75cw2.

【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖,

對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相似，

5x

根據(jù)相似的性質(zhì)可知?dú)v=],

解得x=2.5,

即陰影梯形的上底就是3—2.5=0.5(cm).

再根據(jù)相似的性質(zhì)可知==9=，

52.5

解得：y=i,

所以梯形的下底就是3—1=2(cm),

所以陰影梯形的面積是(2+0.5)x3+2=3.75(cm2).

故答案為：3.75CM.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

18、點(diǎn)在圓外

【分析】連接OC,作OFJLAC于F,交弧AC于G,判斷OF與FG的數(shù)量關(guān)系即可判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：如圖，連接OC,作OFLAC于F,交弧AC于G,

VAB=10,BE=3,

:.OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,

VCD1AB,

:.CE2=OC2-OE2=52-22=21,

:.AC2=CE2+AE2=21+72=70,

VOF1AC,

I

.,.CF=-AC,

2

OF2=OC2-CF2=52--x70=—,

42

吟嶺,

：.OF>-,

2

：.FG<-,

2

：.OF>FG,

點(diǎn)。與弧G所在圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.

故答案是：點(diǎn)在圓外.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)和圓位置關(guān)系，利用垂徑定理進(jìn)行有關(guān)線段的計(jì)算，通過(guò)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)摸出的2個(gè)球都是白球的概率為1；(2)概率最大的是摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球.理由見(jiàn)解析.

3

【分析】(D先畫(huà)樹(shù)狀圖展示所以6種等可能的結(jié)果，其中摸出的2個(gè)球都是白球的有2種結(jié)果，然后根據(jù)概率定義

求解.

(2)根據(jù)樹(shù)狀圖可知：共有6種等可能的結(jié)果，其中摸出的2個(gè)球顏色相同的有3種結(jié)果，摸出的2個(gè)球中至少有1

個(gè)白球的有5種結(jié)果，根據(jù)概率公式分別計(jì)算出各自的概率，再比較大小即可.

【詳解】(1)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖知，共有6種等可能結(jié)果，其中摸出的2個(gè)球都是白球的有2種結(jié)果，

21

所以摸出的2個(gè)球都是白球的概率為-=-；

63

31

(2)?.?摸出的2個(gè)球顏色相同概率為一=一、

62

摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率為*,

6

???概率最大的是摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：先利用列舉法或樹(shù)形圖法不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出“，再?gòu)闹羞x出符合

事件A或B的結(jié)果數(shù)目，〃，求出概率.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)AN=2歷;PM=之姮；(3)面積為3.

3

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)M作MF_LAB于F,作MGLBC于G,由正方形的性質(zhì)得出NABD=NDBC=45。，由角平分線的

性質(zhì)得出MF=MG,證得四邊形FBGM是正方形，得出NFMG=90°,證出NAMF=NNMG,證明△AMFgZ\NMG,

即可得出結(jié)論；

(2)證明RSAMNsRt^BCD,得出學(xué)”"，求出AN=2萬(wàn)，由勾股定理得出BN=_筋2=%

SBCD

]OPOA

由直角三角形的性質(zhì)得出OM=OA=ON=-AN=JB，OM±AN,證明△PAOs^NAB,得出一=——，求出

2BNAB

OP=±姮，即可得出結(jié)果；

3

(3)過(guò)點(diǎn)A作AFJLBD于F,證明△AFMgZ\MHN得出AF=MH,求出AF=；BD=；X6壺=30，得出MH=3也，

MN=2逐，由勾股定理得出HN=JMN2—MH2=，由三角形面積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)M作于尸，作于G,如圖①所示:

圖①

ZAFM=NMFB=NBGM=ZNGM=90°,

四邊形ABC。是正方形，

/.NABC=ZDAB=90°,AD=AB,NABD=ZDBC=45°,

MF±AB,MG±BC,

:.MF=MG,

ZABC=90"，

，四邊形EBGM是正方形，

ZFMG=90°，

/FMN+NNMG=90°，

MNYAM,

ZAMF+4FMN=90°，

：.ZAMF=ZNMG,

"AFM=NNGM

在AAMF和AWG中，＜MF=MG

ZAMF=ZNMG

\AMF=ANMG(ASA),

:.MA=MN；

(2)解：在R/A4AW中，由(1)知：MA=MN,

NMAN=45°.

ZD8C=45°，

：.AMAN=ADBC,

.-.RtAAA^-RtABCD,

...5AAMV=陷

S^BCDvBD)

在Rt/\ABD中，AB=AD=6，

BD=6叵,

,AN213

(6V2)2F，

解得：AN=2岳,

在Rt^BN中，BN=y]AN2-AB2=7(2V13)2-62=4，

在用A4W中，M4=MN,O是AN的中點(diǎn)，

■,0M=OA=ON=-AN=屬。M，AN,

2

ZAOP=90°>

：.ZAOP=ZABN,

/PAO=ZNAB,

:.\PAO~^NAB,

OPOAOPV13

..——=——，即：——=--,

BNAB46

解得：。2=2姮，

3

PM=OM+0P=y/\3+=^=；

33

(3)解：過(guò)點(diǎn)A作AE于/，如圖③所示：

/.ZFAM+ZAMF=90)>

MN±AM

ZAMN=90°，

ZAMF+ZHMN=90°，

:"FAM=/HMN,

NH1BD,

ZAFM=NMHN=90，

在AARW和AMUN中，

ZFAM=NHMN

<ZAFM=NMHN

AM=MN

\AFM三^MHN(AAS),

：.AF^MH,

在等腰直角AABZ)中，AF±BD,

：.AF==BD=Lx6近=3立,

22

:.MH=3上，

AM=2也

MN=2下

HN=飛MN二MH=依府-(3揚(yáng)2=叵，

S.mvily=、MH.HN=LX3正義叵=3,

.?.A/TMN的面積為3.

【點(diǎn)睛】

本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解題

的關(guān)鍵.

21、(1)y=-x2-2x+3,D的坐標(biāo)為(-1,4)；(2)①%=,；②以A,F,O為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，F(xiàn)點(diǎn)

-2

的坐標(biāo)為或(-2,2).

【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，可求得頂點(diǎn)

D(-l,4)；

(2)①由A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)求出AC=30，DC=0，AD=26，可得AACD為直角三角形，若CF=：AD,

則點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，可求出k的值；

②由條件可判斷NDAC=NOBC,則NOAF=/ACB,若以A,F,O為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，可分兩種

情況考慮：當(dāng)/AOF=/ABC或NAOF=/CAB=45°時(shí)，可分別求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

【詳解】⑴拋物線丫=2*2+6*+3過(guò)點(diǎn)人(-3,0),B(1,O),

9。-3b+3=0fa=—1

>解得：〈，

。+。+3=0[b=-2

???拋物線解析式為y=-x2-2x+3；

y=-x,2-2x+3=—(x+l)~+4,

二頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)；

⑵①在RtAAOC中，0A=3,0C=3,

.-.AC2=OA2+OC2=18.

D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

CD2=12+12=2?

/.AD2=22+42=20.

.-.AC2+CD2=AD2，

.?.△ACD為直角三角形，且/ACD=90°，

CF=-AD,

2

:.F為AD的中點(diǎn)，

AF1

--------=-9

AD2

k=—；

2

②在RtAACD中，tan^ACD=-==-

AC3拒3

OHI

在RtAOBC中，tan/OCB-----——,

OC3

../ACD=/OCB,

OA=OC,

/OAC=NOCA=45",

...4AO=/ACB,

若以A,F,O為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，則可分兩種情況考慮:

當(dāng)—AOF=/ABC時(shí)，AAOFs^CBA,

OF|BC,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

k+b=Ok=-3

b=3'解得:

b=3

直線BC的解析式為y=-3x+3,

直線OF的解析式為y=-3x,

設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n,

—k+b-4k=2

，解得:

-3k+b^Ob-6

二直線AD的解析式為y=2x+6,

6

x=——

y=2x4-65

,c'解得:

y=-3x18

y=T

當(dāng)—AOF=NCAB=45°時(shí)，AAOF^ACAB，

./CAB=45°,

.-.OF1AC,

直線OF的解析式為廣—x,

y=-xx=-2

C，，解得：i

y=2x+oy=2

??.F（-2,2）,

綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（一或（-2,2）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性

質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2417

22、（1）y=一§/一§元+2；（2）S的最大值為

【分析】（1）根據(jù)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得出函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)尸1工,一—3X+2],根據(jù)S=

四邊形八。

SCP=SGAPO+SMPO-SAODC列出S關(guān)于X的二次函數(shù)表達(dá)式，再

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

2

a_——

9a—30+2=0,3'

【詳解】解：（1）將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，<,c八解得:

a+b+2=0,,4

、

ID=3.

22c4

故拋物線的表達(dá)式為：y=--x--x+2;

-33

（2）連接OP,設(shè)點(diǎn)尸卜,一|一一：x+2）,

由（1）中表達(dá)式可得點(diǎn)。（0,2）,

則S=S四邊形ADCP=S^APO+SACPO-S^ODC=-xAOxyp+—xOCx⑷-5xCOxOD

=lxxp^4、11

3—jv+2l+-x2x(-x)——x2x1=--3x+2,

2I3

V-l<0,故S有最大值，當(dāng)x=-=3時(shí)，S的最大值為1U7.

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)表達(dá)式的求法以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有一定的綜合性.對(duì)于二次函數(shù)中的面積問(wèn)題，常需

用到“割補(bǔ)法”.

AH2

23、(1)證明見(jiàn)解析；(2)如；(3)

EH\k+\

【分析】(1)由=得NABC=N84C,由NAGH=NECH=90°可得NDAC=NBEF,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到

ZDAC=ZEAC,從而可得NBEF=NEAC,利用三角形外角的性質(zhì)得到“方=NE4E,即可得到結(jié)論成立：

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM_LBE,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作AN_LME于N,先證明BEF三MEA,得到BF=AM,再利用

等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到BF=gAN，DE=2CE=2AN,即可得到答案；

先利用相似三角形的判定證明?得到絲些，從而得到巴

(3)VAOCVEZ5G,==再證明

DEDGm

NAGHZECH,即可得到—=kJ—.

EHU+l

【詳解】(1)證明：AC=3C,

:.ZABC=ZBAC,

V石/_1_4。垂足為點(diǎn)6,

:.ZAGE=ZDGE=90°,

,：ZACB=90°,

ACLBE,

VAE^AD,

..ZDAC^ZEAC,

VAC^BE,

NACE=90。，

在RrAAGH和RtAECH中,ZDAC^900-ZAHG,/BEF=90。—/EHC,ZAHG=/EHC,

:.ZDAC=ZBEF,

:.NBEF=NEAC,

???ZAFE=ZABC+ZBEF,ZEAE=ZBAC+ZEAC,

:.ZAFE=ZFAE,

：.FE=AEx

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM_LBE,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作ANLME于N,

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZB=45°,

VEM±BE,

.,.ZM=ZB=45°,

由（1）已證：ZAFE=NFAE,

：A800-ZAFE^180°-ZFAE,即ZB在/MAE,

ZB=ZM

在.BEF和JWE4中，<NBFE=ZMAE,

FE=AE

：.^BEF=MEA（AAS）,

.\BF=AM,

VAN±ME,ZM=45°,

是等腰直角三角形，

.\AN=MN,AM=y/2AN=BF>

易知四邊形ACEN是矩形，

/.CE=AN=MN,

VDE=2CE=2AN,

,DE_24V_￡

故答案為：0;

（3）VAE=AD,AC1BE,

CE-CD,

VZACB=90°,

由（1）知NZ）GE=90°,

ZACB=/DGE,

由（1）知/DAC=NBEF,

ADC-EDG,

ADDC

而一訪’

設(shè)CD=m,DG=n,則CE=/〃，DE-2m,AG=kn,AD=(k+1)n,

(k+l)n_m

2mn

"：ZAHG^ZCHE,ZAG"=ZACE=90。，

:.J^GH-^ECH,

.AH_AG_kn_]I2

"~EH~~CE~~m~Vl+T'

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及

等角對(duì)等邊等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題，注意角度之間的相互轉(zhuǎn)換.

24、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD〃BC,AD=BC,又由平行四邊形的判定得：四邊形ACED是平行四邊形,

又由平行四邊形的對(duì)邊相等可得結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）：四邊形ACED是平行四邊形，對(duì)角線互相平分可得：力尸=。/=，。力=,48,結(jié)合4）=2。/,

22

從而證明AD=AB,即鄰邊相等，證明四邊形A8C。為菱形，再證明從而NABC=90°,根據(jù)有一

個(gè)角是直角的菱形是正方形可得結(jié)論.

【詳解】證明：（1）???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AD=BC,

VAC/7DE,

二四邊形ACED是平行四邊形，

.\AD=CE