關于插值法均差與牛頓插值公式13.04.202422.3.1均差及其性質我們知道,拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復雜,計算量很大,并且重復計算也很多第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20243

拉格朗日插值公式可看作直線方程兩點式的推廣，若從直線方程點斜式出發(fā)，將它推廣到具有n+1個插值點的情況，可把插值多項式表示為第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20244當依次可得到

。為寫出系數(shù)的一般表達式，現(xiàn)引入差商（均差）定義。第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20245一、差商(均差)定義2.稱第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20246第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20247二、均差具有如下性質：第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20248例第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.20249這個性質也表明差商與節(jié)點的排列順序無關(差商的對稱性)。即第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202410性質3：若f(x)在[a,b]上存在n階導數(shù)，且節(jié)點則n階均差與導數(shù)關系如下：第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202411三、均差的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202412例1:已知下表，計算三階差商

1347021512解：列表計算一階差商二階差商三階差商10321415134712-1-3.5-1.25第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.2024132.3.2牛頓插值公式第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202414第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202415我們稱為牛頓(Newton)均差插值多項式。稱為牛頓均差插值多項式的截斷誤差。第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202416第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202417第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202418第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202419顯然：第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202420例2：依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過三次的Lagrange插值多項式及Newton插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。x0124f(x)19233第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202421解：(1)建立Lagrange插值多項式：基函數(shù)為Lagrange插值多項式為第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202422（2）Newton插值多項式：建立差商表為一階差商二階差商三階差商0119822314343-10-8第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202423Newton插值多項式為（3）唯一性驗證：將Newton插值多項式按x冪次排列，便得到第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202424練習：已知由數(shù)據(jù)(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)構造出的三次插值多項式P3(x)的x3的系數(shù)是6，試確定數(shù)據(jù)y。第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202425四、拉格朗日插值與牛頓插值的比較第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202426第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202427一、差分定義3.2.3.4差分及其性質第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202428依此類推第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202429差分表第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202430二、在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202431依此類推第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202432一、牛頓前插公式等距節(jié)點插值公式第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202433第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202434牛頓插值法的優(yōu)點是計算較簡單,尤其是增加節(jié)點時,計算只要增加一項,這是拉格朗日插值無法比的.但是牛頓插值仍然沒有改變拉格朗日插值的插值曲線在節(jié)點處有尖點，不光滑，插值多項式在節(jié)點處不可導等缺點.二、牛頓插值公式與拉格朗日插值相比第34頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13.04.202435TheEnd第35頁,共37