2023-2024學(xué)年四川省眉山市仁壽重點(diǎn)中學(xué)高三(上)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)

試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)全集〃=/?,集合4={x|當(dāng)W0},集合BS1},則4n8是()

x一乙

A.(0,2]B.(2,e)C.(0,2)D.[—l,e)

2.已知復(fù)數(shù)Z],Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1),(0,1),則為=()

A.1+iB.-1+iC.-1—iD.1—i

3.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)

間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組，…，

第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的

有8人，則第三組中有療效的人數(shù)為()

A.8B.10C.12D.18

4.若曲線丫=e^T+Znx在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x+ay=0平行，則a=()

A.-iB.iC.-2D.2

22

5.設(shè)雙曲蜷l(a>0,b>0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為2/m，則雙曲線的漸近線方程為

()

A.y=+V-2xB.y=±2%C.y=±孕無(wú)D.y=±|x

6.優(yōu)章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問(wèn)題：“今有大夫、不

更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各兒何？”意思是：“有大夫、

不更、簪凄、上造、公士(爵位依次變低)5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)

列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問(wèn)題中，若不更出16錢，則公士出的錢數(shù)為()

A.12B.23C.24D.28

7.0為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C：y2=8%的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若|MF|=6,則aMOF的面積為（）

A.4口B.2nC.4。D.8

8.若E為正方體力8。。一41當(dāng)好。1的棱8名的中點(diǎn)，則異面直線4%與CE所成角的余弦值為（）

A.CB.土CTD.5

23510

9.已知定義在R上的奇函數(shù)/（乃滿足/?（%+2）=-/（X）,當(dāng)0<x<1時(shí)，/（x）=X2,貝好（2023）=（）

A.20192B.1C.0D.-1

10.如圖，△ABC中，/BAC=j,AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足Q=

g而，若力C=3,AB=4,則赤?荏的值為（）

C13

。~2

D焉

12

11.已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，則下列結(jié)論：①數(shù)列｛磷｝是等比數(shù)列；②若。3=2,。7=32,則恁=±8：

③若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=+r,則r=—1；④若的<。2<&3,則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列；其中正確

的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足ac=62,且a+b+c=ln（a+b）,則（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.從甲、乙等6名專家中任選2人前往某地進(jìn)行考察，則甲、乙2人中至少有1人被選中的概率為

14.已知圓C：X2+、2-2萬(wàn)一4、+巾=0.若圓。與圓/）：（%+2）2+（7+2）2=4有三條公切線，則m的值為

15.已知tan(a+^)=—?jiǎng)tsin2a=

16.已知某圓徘的內(nèi)切球的體積為嬰，則該圓錐的表面積的最小值為

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.(本小題12.0分)

在△力BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=ab=2，7c.

(I')^.tanCi

(II)若a=2，石，求△ABC的面積.

18.(本小題12.0分)

2022年2月4日，北京冬奧會(huì)盛大開(kāi)幕，這是讓全國(guó)人民普遍關(guān)注的體育盛事，因此每天有很多民眾通過(guò)手

機(jī)、電視等方式觀看相關(guān)比賽.某機(jī)構(gòu)將每天收看相關(guān)比賽的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，

否則稱為“非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行分析，得

到下表(單位：人):

冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者合計(jì)

女性2050

男性15

合計(jì)100

(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別與是否為“冰雪運(yùn)

動(dòng)愛(ài)好者”有關(guān)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從參與調(diào)查的女性人群中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的

3人中“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

2

附：K2=(a+盛端篇位+小其中…+b+c+d.

P(K2>ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小題12.0分)

如圖1所示，梯形ABC。中，AB=BC=CD=2,AD=4,E為40的中點(diǎn)，連結(jié)BE,4c交于凡將AABE沿

BE折疊，使得平面ABE1平面BCDE(如圖2).

(1)求證：AF1CD.

(2)求平面4尸C與平面AOE的夾角的余弦值.

AEDA

圖I

圖2

20.(本小題12.0分)

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：務(wù)，=l(a>b>0)的離心率為?，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P"石,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線，與橢圓C交于4,B兩點(diǎn),直線。4的斜率為%1，直線OB的斜率為七，且卜也=V,求畫?南的取

值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx—x+1,g(x)=minx+e~x(mG/?).

(1)求/(x)的最小值；

(2)若0<a<1,且加1=1，求證：logab>1；

(3)若g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，x2,證明：l5(xi)-g(x2)l<1.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)4的極坐標(biāo)為

直線，的極坐標(biāo)方程為pcos(0-：)=a,且點(diǎn)4在直線，上

(I)求。的值和直線I的直角坐標(biāo)方程及，的參數(shù)方程；

(11)已知曲線0的參數(shù)方程為1二：曙；落，(a為參數(shù))，直線均C交于M,N兩點(diǎn)，求意+意的值

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=|x-1|+|x+2|.

(I)求不等式f(x)<5的解集：

(E)若不等式f(x)>x2-ax+1的解集包含［-1,1］，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：全集U=R,集合4={幻言WO}={x|—1Wx<2},

集合8={x\lnx<1}={x|0<x<10},

則力CB=(0,2).

故選：C.

求出集合A,集合B,利用交集定義能求出4nB.

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：???復(fù)數(shù)Zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1),(0,1),

**?Z1=1+i,z2=i.

._1+i__i(l+0_.

,?—―7-11?.

Z2i-r

故選：D.

由已知條件可得Zi，Z2,然后代入記,再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別

為0.24,0.16,所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為0.36,所以第三組的人數(shù)：18人，

第三組中沒(méi)有療效的有8人，

第三組中有療效的有10人.

故選：B.

由頻率=建舞:以及直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出第三組中有療效的

樣本容量

人數(shù)得到答案.

本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由丫=〃-1+仇工,得y'=eXT+%

y'\x=i=e°+1=2,

又曲線y=e，T+bix在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x+ay=0平行，

???—-=2,即a=―"

a2

故選：A.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由兩直線平行與斜率的關(guān)系列式求解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.

由題意知b=i,c=q,a=7c2-b2=C，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，由此可知漸近線方程為y=

,b,^2

=x-

【解答】

解：由已知得到b=1,c=a-Vc2—b2-，克，

因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在%軸上，

故漸近線方程為y=±gx=+

故選：C.

6.【答案】D

【解析】解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成等差數(shù)列｛aj.

設(shè)公差為d(d>0),前n項(xiàng)和為S“.

由題意可知，a2=16,S5=100,

則S5=5a3=100?解得。3=20，所以d=a3—a2=4,

所以公士出的錢數(shù)為as=+2d=20+2X4=28.

故選：D.

設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛an｝,根據(jù)題意可求得值，然后可

求得正確選項(xiàng).

本題考查等差數(shù)列應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由拋物線的方程可得F(2,0),設(shè)點(diǎn)M(xo，y。)，

由拋物線的性質(zhì)可得：|M可=&+2=6,得殉=4,|y0|=

所以△M。尸的面積S=1\0F\x\y0\=：x2x4c=4。.

故選：C.

首先根據(jù)焦半徑公式求點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入面積公式，即可求解.

本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：以。為原點(diǎn)，為支軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)正方體4BCD-4B1GD]的棱長(zhǎng)為2,

則4(2,0,0),8i(2,2,2),C(0,2,0),E(2,2,1),

麗=(0,2,2).CE=(2,0,1)，

設(shè)異面直線A&與CE所成角為。，

|炳?函_

則。2_/"To

COSI砧H函——io

???異面直線與CE所成角的余弦值為音.

故選：D.

以。為原點(diǎn)，為x軸，OC為y軸，0劣為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB】與CE

所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/Q)是定義在R上的奇函數(shù)，則有所以/(一功=

又由/(#+2)=-f(x),則/(x+4)=/[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

故/(x)是周期為4的周期函數(shù).

/(2023)=/(4x506-1)=/(-I)=-/(I),

因?yàn)?WxW1時(shí)，/(%)=i,則/(1)=I2=1,

故f(2023)=-/(I)=-1,

故選：D.

根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得/(%+4)=/[(X+2)+2]=-fix+2)=f(x),即可得f(x)是周期

為4的周期函數(shù)，由此可得“2023)=/(4x506-1)=/(-I)=一/⑴，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：因?yàn)槎?2而,所以而=:四，

設(shè)而=kCD(0<k<l),

則加_前=k(AD-AC)，

又麗=m前+g加

所以(m-1)而+g希=k^AB-AC),

m—1=—k&1

12,,解得k=pm=-,

｛2=3k44

所以喬?AB=+^AB)-AB=^AB2+^AB?前=8+“4x3xcosg=號(hào)

v42724432

故選:B.

以荏，而為基底表示出Q，根據(jù)而=m前+g適可求m的值，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：｛an｝是等比數(shù)列,設(shè)公比為q,

2

對(duì)于①，可得誓=(等l)2=q2,故數(shù)列｛成｝是等比數(shù)列，①正確；

對(duì)于②，a3-a5-al>0,a7-a5=al>0,故。3，a7>0,則<25>0,②錯(cuò)誤；

n1

對(duì)于③，Sn=3-+r^a1=S1=r+l,若r=一1得的=0,不符合等比數(shù)列的性質(zhì)，③錯(cuò)誤;

-(a(q-1)>0

對(duì)于④，a1<a2<=%<fliQ<a[q7=(ax^fq-1)>0,

n2

若%>0=q>1,此時(shí)0n—a”_]=arq~?(q-1)>0.即｛an｝是遞增數(shù)列，

n2

若%<0=>l>q>0,此時(shí)即-an_j=atq~?(q-1)>0,即｛%｝是遞增數(shù)列,

故④正確.

故選:B.

根據(jù)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的定義與性質(zhì)一一判定即可.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】A

【解析】【分析】

先證明)xW%—1,可得ln(a+b)工a+b—1,即Q+b+cWa+b—1,即cW—1,再結(jié)合ac=b?的條

件，即可求解.

本題考查數(shù)值大小的比較，需要需要熟練掌握不等式變換的公式，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】解：令/(%)=Inx-%+1,則/(%)=：-1=9，

???當(dāng)OVxVl時(shí),f(%)>0,當(dāng)％>1時(shí)，f(x)<0,

???/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，(1,+8)上單調(diào)遞減，

故f(%)<f(l)=O

:.Inx<x—1,

Aln(a+b)<a+b—1,

，a+b+cWQ+b—1,即cW—1,

又1ac=b2>0,

Aa<0,

???a+b>0,

***b>—a>0,

:.b2>a1,

vac=b2,

???ac>a2-,

/.c<a<0,

c<a<b.

故選：A.

13.【答案】|

【解析】解：6名專家隨機(jī)選取2人的情況有此=15種，其中甲、乙2人都未被選中的情況有廢=6種，

則甲、乙2人中至少有1人被選中的概率為1-2=|.

故答案為：

先計(jì)算出甲、乙2人都未被選中的情況，再通過(guò)互斥事件關(guān)系即可得出甲、乙2人中至少有1人被選中的概率.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了對(duì)立事件的概率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一4

【解析】解：r圓C：x2+y2-2x-4y+m=0,(x—I)2+(y—2)2=5—m,(m<5).

???圓C的圓心為C(l,2),半徑為V5—m，

???圓。：(x+2)2+(y+2)2=4,.?.圓。的圓心為。(一2,—2),半徑為2,

???圓C與圓。有三條公切線，.??圓C與圓。相外切，

\CD\=J(1+2尸+(2+2/=V5-m+2，

解得m——4.

加的值為一4.

故答案為：-4.

根據(jù)已知條件得出兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.

本題考查兩圓位置關(guān)系，圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】￡

【解析】解：因?yàn)閠an(a+》=—%

則鬻里=一號(hào)所以tan。=7,

1—tana3

2sinacosa2tana_2x7_7

sin2a=2sinacosa

sin2a+cos2a1+tan2a-1+49-25

故答案為：意.

由已知得出tcrna=7,然后根據(jù)倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】327r

【解析】解：設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r,貝聽(tīng)兀/=券，解得「=2,

設(shè)圓錐頂點(diǎn)為4，底面圓周上一點(diǎn)為B,底面圓心為C,

內(nèi)切球球心為D,內(nèi)切球切母線4B于E,

底面半徑BC=R>2,4BDC=3,

D

則tan。=,,又ZJ10E=兀-2。，

由已知ABDE,ABDC為直角三角形,

又DC=DE,BD=BD,

所以aBDE=^BDC,

所以BE=BC=R,4BDE=乙BDC=6,

所以乙4DE=7T-20,

故AB=BE+AE=R+2tan(n-20)—R—2tan29,

2tan0_R_4R

\^tan20=

l-tan20-1R2_4，_R2,

8R/?(屋+4)

故AB=R-

4-R2R2-4'

故該圓錐的表面積為5=學(xué)產(chǎn)+〃R2=黑'

令t=R2-4>0,則5=2"丁)2=27r(t+y+8)>27r(2JtXy+8)=32兀，

當(dāng)且僅當(dāng)￡=芋，即￡=4,/?=24時(shí)取等號(hào).

故答案為：327r.

由球的體積公式求出內(nèi)切球的半徑，設(shè)底面半徑為R,結(jié)合圖形利用R表示母線48,根據(jù)圓錐表面積公式求

其表面積的解析式，利用基本不等式求其最小值.

本題主要考查球的體積，屬于中檔題.

17.【答案】解：（I）由5=2A/~~^C及正弦定理得=2y/~~2sinC-

???sinB=sin(午—C)=2yT~2sinC.

???ycos。+^~sinC=2^J~2sinC?

cosC=---sine?

即tcmC=

(II)va=2AT_5?且tcmC=g>0,則0VCV*

.「Isin3C-I_tan2cOo

StnC=JMc+cos2c="=R

由設(shè)7=旨入解得C=ASM^=2,

sinAsinCsinA

b=2y/~~2c=

???S=gbcsinA=1x4^2x2x^=4.

即△ABC的面積為4.

【解析】(I)根據(jù)正弦定理以及三角形內(nèi)角和，兩角差的正弦公式的應(yīng)用即可求得結(jié)論，

(II)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得s譏C,再結(jié)合正弦定理求得c,進(jìn)而求解結(jié)論.

本題主要考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔

題.

18.【答案】解:⑴2x2列聯(lián)表:

冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者合計(jì)

女性203050

男性351550

合計(jì)5545100

此時(shí)爛=…黑荔崢)=嗎黑55kX9.091>7.879,

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別與“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有關(guān);

(2)由題意可得X?8(3,|),

此時(shí)X的所有可能取值為0,1,2,3,

所以P(X=0)=以(|)。(|)3=備,P(X=1)=禺(|)1舄)2=哉,

P(X=2)=廢(|)2(|)】=母，P(X=3)=琰|)3(|)。=蒜

則X的分布列為：

X0123

2754368

P

125125125125

故E(X)=3x|=|.

【解析】(1)由題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，代入公式求出觀測(cè)值，將其與臨界值進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而即可求解:

(2)先得到X的所有可能取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

19.【答案】解：⑴證明：連接EC,則AABE、△BCE.^CDE均為正三角形，四邊形4BCE為菱形,

AF1BE,CF1BE,

又???平面ABE，平面BCDE,平面4BEn平面BCDE=BE,AFu平面ABE,

：.AFJL平面BCDE,

又CDu平面BCDE,

AF1CD；

(2)由(1)知，F(xiàn)B,FC,FA兩兩垂直，于是以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E(-1,O,O),。(一2,0,0),4(0,0,C)，

：.~ED=(-1,AT3,0),^4=(1,0,7~3).

設(shè)平面4DE的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),則1行,絲=一"+爐'=°,則可取記=(門,1,-1),

易知平面4FC的一個(gè)法向量為元=(1,0,0)，

設(shè)平面4FC與平面4DE的夾角為。，貝!Icos。=|cos<rn,n>|=|二||=\3''=上國(guó)，

111|m||n|1V5x15

???平面AFC與平面ZDE的夾角的余弦值為

【解析】(1)結(jié)合已知條件及面面垂直的性質(zhì)定理證明4尸1平面8CDE,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；

(2)根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面4FC和平面40E的法向量，利用空間向量的夾角公式即

可得到答案.

本題考查線線垂直的判定以及面面垂直的性質(zhì)定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想

象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

(￡=*

20.【答案】解：(1)由題意，:，又。2=/+。2,解得a=3,b=q.

匕+記=1

所以橢圓C為(+4=1.

93

(2)設(shè)4(與,%),B(x2,y2)>

/y-kxt

若直線I的斜率存在，設(shè)l為y=kx+t,聯(lián)立注+乃=],

消去y得：(1+3fc2)%2+6ktx+3t2—9=0,4=3+9fc2—t2>0,

則f:23,又后七=轉(zhuǎn)=4

故y02=—：工1%2且?！悖?/—9。0，貝1]嚴(yán)03,又力=fcx1+3y2=kx2+t,

旭至+±22

所以ZlZZ—(-1+￡)(依2+￡)=k2+陽(yáng)勺+%2)+￡=+1+3/_t-9k=—工，

xtx2~xrx2-%ix2-3心-9-3產(chǎn)一9-3’

l+3/c2

整理得2t2=9/+323,則t22|且/>0恒成立.

OA-OB=%1打+y/2=x62-|xiX2=|/小=|?=3?卷=3(1-芬

Xt2>|,且t2義3,故3(1-1)6[—3,0)11(0,3).

當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí).，?=/，、2=-71-又k比2=一號(hào)=V，又a+9=1，解得后=￡則亦萌=

*一光=|*=3.

綜上，雨?礪的取值范圍為[-3,0)U(0,3].

【解析】(1)由橢圓的離心率及點(diǎn)在橢圓上，列方程組求橢圓參數(shù)，即可得橢圓C的方程：

(2)討論直線斜率的存在性，設(shè)4(孫乃),B(x2,y2)Rl^y=kx+t,聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用判別式求t、k的

關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理及已知條件求t的范圍，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到刀.南關(guān)于t的關(guān)系式，進(jìn)

而其范圍，注意直線斜率不存在時(shí)的值.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用，圓錐曲線中的最值與范

圍問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題.

21.【答案】(1)解:函數(shù)/。)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=Inx,

當(dāng)久e(1,+8)時(shí)，f(x)>o,所以f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)％6(0,1)時(shí),f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=1時(shí)取得最小值0.

1

(2)證明：由(1)知/(%)=x/nx—％+130,所以仇%>1—[(久>0)，

由於平=1?得b>0且伍b=1—，，

所以/nbTna=lT-1na<0,即伍b<松，從而0<b<a<l,

所以logab>logaa=1.

(3)證明：依題意，g，(x)=￡-2=0有兩個(gè)不等正根%,x2,不妨設(shè)修<%2，

由g'(x)=￡_±=0，得加=a，

設(shè)(p(x)=/，由d(x)=與，知9(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)汽6(0,+8)時(shí)，(p(x)>0,可得%1￡(0,1),x26(1,4-00).

X1X2

g(%i)=rnlnx^+e~=g(%2)=rnlnx2+e~=劃貸+\

令人(%)=隼口，則"(x)=

當(dāng)％E(0,1)時(shí)，(1一%)"％<0,所以//(%)V0,

當(dāng)％W(l,+8)時(shí)，(1一%)仇工<0,所以八'(x)V0,

所以九。)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

11

因?yàn)?</<1,x2>1,所以九。1)>h⑴=；，o</i(x2)<八(1)=;?

由(2)當(dāng)％>0時(shí)，有，nx>l—;，

所以In4>1—x,即一，nx>l-x,

X

所以"％<%—1,從而％/nx4-1<x(x—1)+1.

令沆(x)=+：+1(xe(0,1))'m'(x)=弋產(chǎn)-2<0)

所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以m(x)<m(0)=1,EP%(x-1)+1vex,

所以g(x])=笑瀘<氏*<1，

所以；<9(,Xi)<1-0<g(x2)<；，

所以IgQi)-g(%2)l<1-

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而即可求得最小值；

(2)由(1)知/'(X)=xlnx-%+1>0,即仇x>1-^(0<x<l),由獨(dú)平=1>得"b=1即bib<Ina,

從而0<bVQ<l,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得logab>log。。=1,從而得證；

(3)依題意可得d(x)=g-盤=0有兩個(gè)不等正根與,久2，不妨設(shè)與<X2，由g'(x)=0,得m=：設(shè)0(x)=:

利用導(dǎo)數(shù)可得匕6(0,1),%2G(l,+oo),令八。)=爺"，由導(dǎo)數(shù)可得h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，結(jié)合(2)

可得Rnx+1<%(%-1)+1,令m(x)==±l(xe(0,l))，利用導(dǎo)數(shù)得m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，從而得

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"<g(xi)vi，0Vg。2)即可得證?

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求