2023-2024學年九年級數學下冊?？键c微專題提分精練期末押題培優(yōu)02卷（考試范圍1.1-6.7）一、單選題(共18分)1．(本題3分)方程的解為（

）A．， B．， C．， D．，2．(本題3分)拋物線的頂點坐標是（）A．（，?2） B．（，2） C．（0，?2） D．（0，2）3．(本題3分)如圖，已知，那么下列結論中，正確的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．＝1：44．(本題3分)已知一組數據8，5，x，8，10的平均數是8，以下說法錯誤的是（

）A．極差是5 B．眾數是8 C．中位數是9 D．方差是2.85．(本題3分)如圖，四邊形是⊙O的內接四邊形，連接．若，則的度數為（）A．72° B．108° C．144° D．150°6．(本題3分)如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C，甲、乙、丙、丁四名同學在一起探究該函數的圖像與性質，下面是他們得出的結論，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題(共30分)7．(本題3分)若=，則=___________.8．(本題3分)某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特意將汽車倒車鏡設計在整個車身黃金分割點的位置（如圖所示），若車頭與倒車鏡的水平距離為2米，則該車車身總長約為_____米．（倒車鏡到車尾部分較長，結果保留根號）9．(本題3分)為方程的兩根，則的值為_____．10．(本題3分)設一個圓錐的底面積為10，它的側面展開后平面圖為一個半圓，則此圓錐的側面積是____________.11．(本題3分)將拋物線向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后，得到的拋物線解析式是______．12．(本題3分)汽車剎車后行駛的距離s（米）與行駛時間t（秒）的函數關系是，汽車從剎車到停下來滑行了______米．13．(本題3分)如圖，直線，另兩條直線分別交、、于點A、B、C及點D、E、F，且，，，則___________.14．(本題3分)二次函數的部分對應值如表：01234512500512利用二次函數的圖象可知，當函數值時，x的取值范圍是__________．15．(本題3分)如圖，AB是的直徑，點E、C在上，點A是弧EC的中點，過點A畫的切線，交BC的延長線于點D，連接EC，若，則______°．16．(本題3分)如圖，等邊的邊長是，點是線段上一動點，連接，點是的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，當是直角三角形時，則線段的長度為______．三、解答題(共92分)17．(本題6分)解方程：(1)(2)18．(本題8分)某公司在新冠疫情后投入復工復產中，現有甲、乙兩家農副產品加工廠到該公司推銷豬蹄，兩家豬蹄的價格相同，品質相近．該公司決定通過檢查質量來確定選購哪家的豬蹄，檢查人員從兩家分別抽取200個豬蹄，然后再從中隨機各抽取10個，記錄質量如下（單位：克）：甲加工廠73787675727775757574乙加工廠75757574747478787374(1)根據表中數據，求甲加工廠的10個豬蹄質量的中位數、眾數、平均數．(2)估計乙加工廠這200個豬蹄中，質量為75克的豬蹄有多少個？(3)根據豬蹄質量的穩(wěn)定性，該公司應選購哪家加工廠的豬蹄？19．(本題8分)小明在三張形狀、大小、質地均相同的卡片上各寫一個數字，分別為1、-4、-3.現將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后小明任意從中抽出一張，放回攪勻后再任意抽出一張記下數字．(1)第一次抽到寫有正數的卡片的概率是；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數字都為負數的概率．20．(本題8分)如圖，內接于，是的直徑，直線與相切于點，在上取一點使得，線段，的延長線交于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結果保留．21．(本題8分)如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C．點D是直線AC下方拋物線上一點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，與直線AC相交于點F．(1)求直線AC的解析式；(2)當線段DF的長度最大時，求點D的坐標．22．(本題8分)如圖，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，點E在AD上，BE與對角線AC交于點F．(1)求證：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．23．(本題8分)如圖所示：筆直的公路邊有甲、乙兩棟樓房，高度分別為和，兩樓之間的距離為，現有一人沿著公路向這兩棟樓房前進，當他走到與甲樓的水平距離為且筆直站立時（這種姿勢下眼睛到地面的距離為），他所看到的乙樓上面的部分有多高？24．(本題8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于65元，經市場調查、每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060(1)直接寫出y與x之間的函數表達式；(2)設商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數表達式，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？25．(本題8分)已知二次函數．(1)二次函數圖象的對稱軸是；(2)當時，y的最大值與最小值的差為3，求該二次函數的表達式．26．(本題10分)如圖，點P在y軸的正半軸上，交x軸于B、C兩點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和于E、F兩點，連接AC、FC，AC與BD相交于點G．(1)求證：；(2)求證：；(3)______°；(4)若，，則△GDC的面積為______．27．(本題12分)如圖：在矩形中，，，點在線段上，其中，；以為半徑作圓交線段于點，并將線段繞點逆時針旋轉得線段（備注：若圓與有兩個交點，規(guī)定位于點上方的交點為點）（1）特例探究：如圖，當點在射線上時，______，點到直線的距離是______；變式研究：當點在上方時，（2）如圖，當點落在線段上時，求點、到直線的距離之比；（3）當圓與邊相切時，求線段的長；（4）若點到的距離為，直接寫出點到的距離．期末押題培優(yōu)02卷（考試范圍1.1-6.7）一、單選題(共18分)1．(本題3分)方程的解為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】把方程兩邊開方得到x+1＝±3，然后解兩個一次方程即可．【詳解】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．2．(本題3分)拋物線的頂點坐標是（）A．（，?2） B．（，2） C．（0，?2） D．（0，2）【答案】C【分析】由二次函數解析式求解．【詳解】解：，頂點坐標為，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握頂點式求拋物線的頂點坐標．3．(本題3分)如圖，已知，那么下列結論中，正確的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．＝1：4【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理，比例的性質和相似三角形的性質對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．【詳解】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DEBC，∴．∴．∴A選項的結論錯誤；∵DEBC，∴．∴．∴B選項的結論正確；∵DEBC，∴．∴．∴C選項的結論錯誤；∵DEBC，∴∴．設，則，∴，∴．∴D選項的結論錯誤．綜上所述，正確的結論是B，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．4．(本題3分)已知一組數據8，5，x，8，10的平均數是8，以下說法錯誤的是（

）A．極差是5 B．眾數是8 C．中位數是9 D．方差是2.8【答案】C【分析】先根據平均數求出x的值，然后分別根據極差、眾數、中位數以及方差的定義求解即可．【詳解】一組數據8，5，x，8，10的平均數是8，，解得，這組數據為：5，8，8，9，10，極差為10-5=5，故A選項正確，不符合題意；眾數是8，故B選項正確，不符合題意；中位數是8，故C選項錯誤，符合題意；方差=，D選項正確，不符合題意；故選C．【點睛】此題考查了極差、眾數、中位數以及方差的定義，熟練掌握并運用平均數、眾數、中位數以及極差的概念是解題的關鍵．5．(本題3分)如圖，四邊形是⊙O的內接四邊形，連接．若，則的度數為（）A．72° B．108° C．144° D．150°【答案】C【分析】根據圓內接四邊形的性質得出，求出∠D的度數，再根據圓周角定理得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵四邊形是⊙O的內接四邊形，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理等知識點，能熟記圓內接四邊形的對角互補是解此題的關鍵．6．(本題3分)如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C，甲、乙、丙、丁四名同學在一起探究該函數的圖像與性質，下面是他們得出的結論，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據二次函數與不等式的關系，二次函數與一元二次方程判斷甲、乙，根據拋物線與x軸的交點坐標得出其對稱軸，從而得出和的關系，進而判斷丙和丁．【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴，故甲同學結論正確；∵拋物線與x軸相交于點，，根據函數圖像可得，當時，或，故乙同學結論錯誤；∵拋物線與x軸相交于點，，∴拋物線的對稱軸為，即，∴，即，故丙同學結論錯誤；當時，，即，∵時，，∴，故丁同學結論正確；綜上，正確的結論有甲、丁兩位同學的兩個結論，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與不等式，二次函數與一元二次方程，根據二次函數的性質準確判斷式子的符號是解本題的關鍵．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題(共30分)7．(本題3分)若=，則=___________.【答案】【分析】根據比例的性質可得，代入計算即可求解．【詳解】解：∵=，設，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，掌握比例的性質是解題的關鍵．8．(本題3分)某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特意將汽車倒車鏡設計在整個車身黃金分割點的位置（如圖所示），若車頭與倒車鏡的水平距離為2米，則該車車身總長約為_____米．（倒車鏡到車尾部分較長，結果保留根號）【答案】3##【分析】設該車車身總長為xm，利用黃金分割點的定義得到汽車倒車鏡到車尾的水平距離為0.618x，則根據題意列方程xx＝2，然后解方程即可．【詳解】解：設該車車身總長為xm，∵汽車倒車鏡設計為整個車身黃金分割點的位置，∴汽車倒車鏡到車尾的水平距離為x，∴xx＝2，解得x3，即該車車身總長為（3）米．故答案為：3．【點睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．9．(本題3分)為方程的兩根，則的值為_____．【答案】2028【分析】根據一元二次方程根的定義和根與系數的關系，可得，，進而即可求解．【詳解】解：∵為方程的兩根，∴，，∴，∴．故答案為：2028．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的定義和根與系數的關系，熟練掌握元二次方程根與系數的關系是關鍵．10．(本題3分)設一個圓錐的底面積為10，它的側面展開后平面圖為一個半圓，則此圓錐的側面積是____________.【答案】20【分析】根據圓錐底面周長得到半徑和母線的關系，然后計算側面積即可；【詳解】解：∵側面展開圖是半圓，∴∴∵∴故答案為20；【點睛】本題考查了圓錐的側面積，掌握并熟練使用相關知識，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關鍵．11．(本題3分)將拋物線向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后，得到的拋物線解析式是______．【答案】【分析】根據原拋物線的頂點坐標為，平移后的頂點坐標為，代入頂點式即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后的頂點坐標為，則平移后的解析式為：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的平移，也考查了二次函數的頂點式，二次函數的頂點式為：，頂點為，則二次函數的平移也可看作頂點的平移．12．(本題3分)汽車剎車后行駛的距離s（米）與行駛時間t（秒）的函數關系是，汽車從剎車到停下來滑行了______米．【答案】【分析】當汽車停下來時，s最大，故將寫成頂點式，則頂點縱坐標的值即為所求．【詳解】解：∵，∴當秒時，s取得最大值，即汽車停下來，∴汽車從剎車到停下來滑行了米，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，明確題意并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．13．(本題3分)如圖，直線，另兩條直線分別交、、于點A、B、C及點D、E、F，且，，，則___________.【答案】【分析】根據平行線分線段成比例定理，可得，即可求得的長，據此即可求得．【詳解】解：，，得，解得，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．14．(本題3分)二次函數的部分對應值如表：01234512500512利用二次函數的圖象可知，當函數值時，x的取值范圍是__________．【答案】【分析】由表格給出的信息可看出，對稱軸為直線x=1，，開口向上，與x軸交于、（3，0）兩點，則時，x的取值范圍即可求出．【詳解】解：根據表格中給出的二次函數圖象的信息，對稱軸為直線，∴頂點坐標為（1，?4），∴，開口向上，∴根據拋物線的對稱性知：與x軸交于、（3，0）兩點，則當函數值時，x的取值范圍是：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及其性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的對稱性進行解題．15．(本題3分)如圖，AB是的直徑，點E、C在上，點A是弧EC的中點，過點A畫的切線，交BC的延長線于點D，連接EC，若，則______°．【答案】31【分析】連接AE，根據切線的性質可求出，即可求出．再根據圓周角定理即可求出．由點A是弧EC的中點，可證明，即得出，從而可求出．【詳解】如圖，連接AE，∵AD為圓O切線，∴，∴，∴，∵點A是弧EC的中點，即，∴，∴，∴，故答案為：31．【點睛】本題考查圓的相關知識，涉及圓周角定理、切線的性質、等腰三角形的性質等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．16．(本題3分)如圖，等邊的邊長是，點是線段上一動點，連接，點是的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，當是直角三角形時，則線段的長度為______．【答案】或【分析】是直角三角形分三種情況討論：①當時，當點在上時，根據等邊三角形的性質得，根據旋轉的性質得，根據等腰三角形三線合一，得．②延長到使，連接、，過作交延長線于，根據相全等三角形的判定得≌，即，設，則，由旋轉性質得出，再由相似三角形的判定得出∽，再由相似的性質得出，即；③當時，，不成立．【詳解】解：當時，當點在上時，是等邊三角形且邊長為，，，，旋轉得到線段，，，，，是的中點，，，即時，，；，如圖，延長到使，連接、，過作交延長線于，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，，，設，則，是中點，，由旋轉性質可知，，，，，∽，，，，，，，；當時，，，不成立，綜上，或；故答案為：或．【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉問題．通過旋轉構造另外的等邊三角形以及全等手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．三、解答題(共92分)17．(本題6分)解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用配方法解該方程比較簡單．（2）用直接開方法解該方程比較簡單．（1）解：==∴，（2）解：或∴，【點睛】本題考查了解一元二次方程的解法，掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法，能夠根據方程選取合適的解法是解題關鍵．18．(本題8分)某公司在新冠疫情后投入復工復產中，現有甲、乙兩家農副產品加工廠到該公司推銷豬蹄，兩家豬蹄的價格相同，品質相近．該公司決定通過檢查質量來確定選購哪家的豬蹄，檢查人員從兩家分別抽取200個豬蹄，然后再從中隨機各抽取10個，記錄質量如下（單位：克）：甲加工廠73787675727775757574乙加工廠75757574747478787374(1)根據表中數據，求甲加工廠的10個豬蹄質量的中位數、眾數、平均數．(2)估計乙加工廠這200個豬蹄中，質量為75克的豬蹄有多少個？(3)根據豬蹄質量的穩(wěn)定性，該公司應選購哪家加工廠的豬蹄？【答案】(1)中位數是75；眾數是75；平均數75(2)質量為75克的豬蹄有60個(3)選乙，理由見解析【分析】（1）根據中位數、眾數和平均數的計算公式分別進行解答即可（2）用總數乘以質量為75克的豬蹄所占百分比即可（3）根據方差的定義，方差越小數據越穩(wěn)定即可得出答案（1）解：從小到大排列：72，73，74，75，75，75，75，76，77，78．∴中位數是，眾數是：75平均數：（2）解：（個）答：質量為75克的豬蹄有60個（3）解：∴∵乙的平均值為：∵甲，乙平均值一樣，乙的方差比甲的方差小∴乙更穩(wěn)定∴選購乙加工廠的豬蹄．【點睛】本題考查了方差、平均數、中位數、眾數，熟悉計算公式和意義是解題的關鍵．19．(本題8分)小明在三張形狀、大小、質地均相同的卡片上各寫一個數字，分別為1、-4、-3.現將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后小明任意從中抽出一張，放回攪勻后再任意抽出一張記下數字．(1)第一次抽到寫有正數的卡片的概率是；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數字都為負數的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）用正數的個數除以數字的總個數即可；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．（1）解：第一次抽到寫有正數的卡片的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果數，其中兩次抽出的卡片上數字都為負數的有4種結果，所以兩次抽出的卡片上數字都為正數的概率為．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率．20．(本題8分)如圖，內接于，是的直徑，直線與相切于點，在上取一點使得，線段，的延長線交于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結果保留．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直線l與⊙O相切于點A，則∠OCD＝∠OAD＝90°，可證得直線DC是⊙O的切線；（2）先證明△BOC是等邊三角形，則OC＝BC＝4，再根據勾股定理求出CE的長，由S陰影＝S△COE?S扇形COB求出圖中陰影部分的面積即可．（1）證明：如圖，連接OC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，∴∠OCD＝∠OAD，∵直線l與⊙O相切于點A，∴直線l⊥OA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且DC⊥OC，∴直線DC是⊙O的切線.（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OC＝BC＝4，∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝2×4＝8，∴CE＝，∴S陰影＝S△COE?S扇形COB＝．【點睛】此題考查圓的切線的判定與性質、圓周角定理、勾股定理、扇形的面積計算等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．21．(本題8分)如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C．點D是直線AC下方拋物線上一點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，與直線AC相交于點F．(1)求直線AC的解析式；(2)當線段DF的長度最大時，求點D的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數法求得直線AC的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，得到點D的坐標，進而得到點F的坐標，設DF的長度為d，構建二次函數即可解決問題．（1）22．解：∵拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，令∴∴，可得，解得或，∴，．令，得，∴，設直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為；（2）解：設點D的橫坐標為m，則點D的縱坐標為，F的縱坐標為，∴．當時，有最大值，當時，．∴．【點睛】本題主要考查了一次函數解析式的求法，二次函數的性質及其圖象與坐標軸的交點，設出D的坐標，利用二次函數最值得D點坐標是解答此題的關鍵．22．(本題8分)如圖，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，點E在AD上，BE與對角線AC交于點F．(1)求證：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【答案】(1)見解析(2)1：3【分析】（1）根據矩形的性質得到AD∥BC，然后根據相似三角形的判斷方法可判斷△AEF∽△CBF；（2）設AB=x，則BC=2x，利用矩形的性質得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接著證明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，則DE=x，從而可計算出AE：DE．（1）解：證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）設AB=x，則BC=2x，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴，即，∴AE=x，∴DE=AD-AE=，∴AE：DE==1：3．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等條件，同時利用相似三角形的性質進行幾何計算．也考查了矩形的性質．23．(本題8分)如圖所示：筆直的公路邊有甲、乙兩棟樓房，高度分別為和，兩樓之間的距離為，現有一人沿著公路向這兩棟樓房前進，當他走到與甲樓的水平距離為且筆直站立時（這種姿勢下眼睛到地面的距離為），他所看到的乙樓上面的部分有多高？【答案】【分析】作，交于M，如圖，把題中數據與幾何圖中的線段對應起來，,點A、E、C共線，則，，然后證明，利用相似比計算出，再計算進行計算．【詳解】解：作，交于M，如圖，，點A、E、C共線，則，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即他所看到的乙樓上面的部分有7.8m高.【點睛】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū)．合理使用相似的知識解決問題．24．(本題8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于65元，經市場調查、每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060(1)直接寫出y與x之間的函數表達式；(2)設商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數表達式，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當時，W取得最大值為1750【分析】（1）利用待定系數法求解可得；（2）根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”可得二次函數解析式，將其配方成頂點式，根據二次函數的性質即可得到結果．（1）解：設，將代入得：解得：∴；（2）解：由題意可得：，∵，∴當時，W隨x的增大而增大，∵，∴當時，W的最大值，∴W的最大值為1750，答：售價為65元時獲得最大利潤，最大利潤是1750元．【點睛】本題主要考查二次函數和一次函數的應用，熟練掌握待定系數法及二次函數的性質是解答本題的關鍵．25．(本題8分)已知二次函數．(1)二次函數圖象的對稱軸是；(2)當時，y的最大值與最小值的差為3，求該二次函數的表達式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次函數的性質解答即可；（2）利用二次函數的性質分別求得y的最大值與最小值，利用已知條件列出關于a的方程，解方程即可求得結論．（1）解：二次函數圖象的對稱軸是：．故答案為：；（2）∵，又∵，∴當時，y取得最小值為．由（1）知：拋物線y＝ax2+2ax﹣2的對稱軸為直線，∵，∴二次函數在范圍內，當時y取得最大值為，∵當時，y的最大值與最小值的差為3，∴，解得．∴二次函數的表達式為．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，對于二次函數（a，b，c為常數，），當時，開口向上，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大；當時，開口向下，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小．26．(本題10分)如圖，點P在y軸的正半軸上，交x軸于B、C兩點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和于E、F兩點，連接AC、FC，AC與BD相交于點G．(1)求證：；(2)求證：；(3)______°；(4)若，，則△GDC的面積為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)45(4)15【分析】（1）連接AB，由圓的軸對稱性可得AB=AC，則AB=AD，即可證明結論；（2）由∠ACD=∠ADC，∠ACF=∠ADF，則有∠ACD－∠ACF=∠ADC－∠ADF，即∠FCD=∠FDC，得CF=DF；（3）連接AF，由（2）知CF=DF，則AF是CD的垂直平分線，得AF平分∠CAD，再利用圓周角定理可得答案；（4）作CH⊥BD于H，利用勾股定理可得，，，再由△DCG∽△DBC，得，代入求出DG的長，從而得出答案．（1）證明：如圖，連接AB，∵OP⊥BC，∴BO＝CO，∴AB＝AC，又∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABD＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ADB；（2）解：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACF＝∠ADF，∵∠ACD－∠ACF＝∠ADC－∠ADF，∴即∠FCD＝∠FDC，∴CF＝DF；（3）解：如圖，連接AF，由（2）知CF＝DF，∴點F在CD的垂直平分線上，∵AC=AD，∴點A在CD的垂直平分線上，∴AF是CD的垂直平分線，∴AF平分∠CAD，∴，∴∠CBD＝∠CAF＝45°，故答案是：45；（4）解：如圖，作CH⊥BD于H，∵OB=OC=3，∠DBC=45°，∴，∵OA=6，OC=3，∴，∴，∴，∴，∵∠ACD=∠DBC，∠CDG=∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴，即：，∴，∴．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的對稱性、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等，利用前面探索的結論解決新問題是解題的關鍵．27．(本題12分)如圖：在矩形中，，，點在線段上，其中，；以為半徑作圓交線段于點，并將線段繞點逆時針旋轉得線段（備注：若圓與有兩個交點，規(guī)定位于點上方的交點為點）（1）特例探究：如圖，當點在射線上時，______，點到直線的距離是______；變式研究：當點在上方時，（2）如圖，當點落在線段上時，求點、到直線的距離之比；（3）當圓與邊相切時，求線段的長；（4）若點到的距離為，直接寫出點到的距離．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）【分析】（1）在中，用勾股定理求的長；過點作交于，證明≌，則可求；（2）過點作交于，過點作交于，可證明，從而求出，再證明，可求，則；（3）設切點為，延長交延長線于點，過點作交于，再求的長即可；（4）分兩種情況討論：當在左側時，過作交于，交于，交于，交于點，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，證明≌，再求；當點在右邊時，過作交于，交于，過點作交于，交于，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，證明≌，可求點到直線的距離為．【詳解】解：，，，，，，，如圖，過點作交于，，，，，，≌，，故答案為：，；，，，在中，，，如圖，過點作交于，過點作交于，，∽，，，，，，，∽，，即，，：：：；圓與邊相切，設切點為，則，如圖，延長交延長線于點，過點作交于，，，，，，，，；如圖，當在左側時，過作交于，交于，交于，交于點，四邊形是矩形，四邊形是矩形，，，，在中，，，，，，，，≌，，點到的距離；如圖，當點在右邊時，過作交于，交于，過點作交于，交于，四邊形是矩形，四邊形是矩形，，，，，，，，，≌，，，點到直線的距離為；綜上所述：點到直線的距離為或．【點睛】本題是圓的綜合題，熟練掌握圓的性質，圓與直線的位置關系，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定及性質，直角三角形勾股定理，數形結合，分類討論是解題的關鍵．專題01二次函數中的鉛垂線段1．如圖，在平面直角坐標系中，過點、兩點的拋物線的頂點C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點C的坐標；(3)為線段AB上一點，，作軸交拋物線于點M，求PM的最大值與最小值．2．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．3．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過A，B，C三點，點A的坐標是，點C的坐標是，動點P在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)若動點P在第四象限內的拋物線上，過動點P作x軸的垂線交直線AC于點D，交x軸于點E，垂足為E，求線段PD的長，當線段PD最長時，求出點P的坐標．4．如圖，二次函數的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為，頂點C的坐標為．(1)求二次函數的解析式和直線的解析式；(2)點P是直線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段長度的最大值．5．如圖，拋物線經過點和點．(1)試確定拋物線與直線的函數解析式；(2)已知直線與直線交于點M，與拋物線交于點N，若點M，N之間的距離為d，請寫出d關于m的函數解析式，并求m為何值時，d有最大值，最大值是多少？6．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，過點A的直線l交拋物線于點C(2，m)．（1）求拋物線的解析式．（2）點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，求線段PE最大時點P的坐標．7．如圖，在直角坐標系中，拋物線＋4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．（1）寫出拋物線頂點D的坐標；（2）點D1是點D關于y軸的對稱點，判斷點是否在直線AC上，并說明理由；（3）若點E是拋物線上的點，且在直線AC的上方，過點E作EF⊥x軸交線段AC于點F，求線段EF的最大值．8．如圖，直線與拋物線相交于和兩點，點是線段上異于的動點，過點作軸于點，交拋物線于點求拋物線的解析式是否存在這樣的點，使線段的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．9．如圖，已知拋物線分別交軸、軸于點、，點是線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點．若．（1）求拋物線的解析式；（2）當線段的長度最大時，求點的坐標；10．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，C（點A在點C的右側），與y軸交于點B（1）求點A，B的坐標及直線AB的函數表達式；（2）若直線l⊥x軸，且直線l在第一象限內與拋物線交于點M，與直線AB交于點N，求點M與點N之間的距離的最大值，并求出此時點M，N的坐標．11．如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．12．對稱軸為直線的拋物線y=x2+bx+c，與軸相交于，兩點，其中點的坐標為（3，0）．（1）求點的坐標．（2）點是拋物線與軸的交點，點是線段上的動點，作軸交拋物線于點，求線段長度的最大值．13．如圖，已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，其中點的坐標為，與軸交于點，點在拋物線上；（1）求拋物線的解析式；（2）若點是直線下方的拋物線上的一動點，過作軸的平行線與線段交于點，求線段的最大值．14．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為________．（2）求拋物線所對應的函數解析式．（3）①頂點D的坐標為________；②當0≤x≤4時，二次函數的最大值為_______，最小值為__________．（4）若點M是第一象限的拋物線上的點，過點M作x軸的垂線交BC于點N，求線段MN的最大值．專題01二次函數中的鉛垂線段1．如圖，在平面直角坐標系中，過點、兩點的拋物線的頂點C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點C的坐標；(3)為線段AB上一點，，作軸交拋物線于點M，求PM的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)最大值是，最小值是4【分析】（1）根據題意設拋物線的解析式為，然后把點、代入關系式進行計算即可解答；（2）把代入（1）中所求的拋物線的解析式進行計算即可解答；（3）先求出解析式，然后計算當，，，的長度，然后設，，表示出的值，然后再進行計算即可解答．（1）解：∵拋物線的頂點在軸正半軸上，∴設拋物線的解析式為，把點、代入中可得：，解得：舍去或，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）把代入中可得：，∴，∴點的坐標為；（3）設的解析式為：，把點、代入中可得：，解得：，∴的解析式為：，∵點為線段上一點，點為拋物線上一點，且，軸，∴當時，，，∴，當時，，，∴，當時，，，∴，設，，∴，當時，的最大值為：，∴的最大值是，最小值是4．【點睛】本題考查了二次函數的最值，待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．【答案】(1)，y=﹣x﹣1(2)【分析】（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數法可求出直線AC的解析式．（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值．(1)解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．將C點的橫坐標x=2代入，得y=-3，∴C（2，-3）；設直線AC的解析式為，把點A（﹣1，0），C（2，-3）代入得：，解得：，∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1；(2)解：設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P（x，﹣x﹣1），F（x，）；∵P點在E點的上方，∴PF=（﹣x﹣1）﹣（）=，∴當x=時，PF的最大值為．【點睛】此題考查了一次函數、二次函數解析式的圖象和性質，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過A，B，C三點，點A的坐標是，點C的坐標是，動點P在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)若動點P在第四象限內的拋物線上，過動點P作x軸的垂線交直線AC于點D，交x軸于點E，垂足為E，求線段PD的長，當線段PD最長時，求出點P的坐標．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）利用待定系數法求解析式即可；（2）求出直線AC的表達式為y＝x－3，設點，則點，表示出，所以當時，PD的最大值為．此時，點P的坐標．（1）解：將點A，C的坐標代入函數表達式，得，解得：，∴函數的表達式為．（2）解：設直線AC的表達式為y＝kx＋m，則，解得：，∴直線AC的表達式為y＝x－3．設點，則點，∴．∵，拋物線開口向下，∴當時，PD的最大值為．此時，點P的坐標．【點睛】本題考查二次函數和一次函數的綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法求二次函數解析式，一次函數解析式，表述出，掌握二次函數的性質．4．如圖，二次函數的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為，頂點C的坐標為．(1)求二次函數的解析式和直線的解析式；(2)點P是直線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段長度的最大值．【答案】(1)，(2)線段長度有最大值為【分析】（1）把拋物線解析式設為頂點式，然后利用待定系數法求解出二次函數解析式，再求出點D的坐標，即可求出直線BD的解析式；（2）設P點的橫坐標為，則，則，由此求解即可．（1）設二次函數的解析式為：將B的坐標代入得：∴二次函數的解析式為：即：，∵點D是二次函數與y軸的交點，∴D點坐標為：設直線的解析式為：將B的坐標代入得：∴直線的解析式為：；（2）解：設P點的橫坐標為，則，∴，∵，∴當時，線段長度有最大值為．【點睛】本題主要考查了一次函數與二次函數綜合，待定系數法求函數解析式，熟知一次函數與二次函數的相關知識是解題的關鍵．5．如圖，拋物線經過點和點．(1)試確定拋物線與直線的函數解析式；(2)已知直線與直線交于點M，與拋物線交于點N，若點M，N之間的距離為d，請寫出d關于m的函數解析式，并求m為何值時，d有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)，當時，d有最大值，最大值是4【分析】（1）利用待定系數法即可確定拋物線和直線的解析式；（2）將點M和N的縱坐標用含m的式子表示出來，即可確定d和m之間的關系，再由二次函數的性質即可得出答案．（1）解：∵拋物線經過點和點，∴，解得，∴拋物線的函數解析式為；設直線的函數解析式為，根據題意得，解得，∴直線的函數解析式為；（2）解：當時，，∴點M坐標為；，∴點N坐標為.∴；，∵，∴拋物線開口向下，又，∴當時，d有最大值，最大值是4．【點睛】本題主要考查二次函數與一次函數的應用，關鍵是要會用待定系數法求函數的解析式，能根據橫坐標求出對應函數圖象上點的坐標．6．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，過點A的直線l交拋物線于點C(2，m)．（1）求拋物線的解析式．（2）點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，求線段PE最大時點P的坐標．【答案】（1）；（2）P【分析】（1）將將A（-1，0），B（3，0）兩點坐標分別代入拋物線解析式中進行計算即可得；（2）將點C（2，m）代入拋物線解析式中得點C的坐標為（2，-3），設直線AC的解析式為y=kx＋d，將A（一1，0）和點C（2，-3）的坐標分別代入，得直線AC的解析式為，設點P的坐標為（x，），則點E的坐標為（x，）且-1≤x≤2，即可得PE=，根據二次函數的性質進行解答即可得．【詳解】解：（1）將A（-1，0），B（3，0）兩點坐標分別代入拋物線解析式中，得解得：，∴拋物線的解析式為；（2）將點C（2，m）代入拋物線解析式中，得∴點C的坐標為（2，-3），設直線AC的解析式為y=kx＋d，將A（一1，0）和點C（2，-3）的坐標分別代入，得解得：，∴直線AC的解析式為，設點P的坐標為（x，），則點E的坐標為（x，）且-1≤x≤2，∴PE=－==∵-1＜0，∴拋物線的開口向下，∴當時，PE有最大值，最大值為此時點P的坐標為（，）．【點睛】本題考查了二次函數，解題的關鍵是掌握待定系數法和二次函數的性質．7．如圖，在直角坐標系中，拋物線＋4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．（1）寫出拋物線頂點D的坐標；（2）點D1是點D關于y軸的對稱點，判斷點是否在直線AC上，并說明理由；（3）若點E是拋物線上的點，且在直線AC的上方，過點E作EF⊥x軸交線段AC于點F，求線段EF的最大值．【答案】（1）；（2）點在直線上，理由見解析；（3）【分析】（1）根據二次函數的解析式直接寫出即可；（2）先根據二次函數求出A、C的坐標，再用待定系數法確定直線AC的關系式，再求出點，把它代入直線判斷是否再直線上；（3）設，則，，求出線段的表達式，即可求解．【詳解】解：（1）拋物線，則頂點坐標為（2）點在直線上，理由如下：將代入拋物線解析式，可得，即將代入拋物線解析式，可得，解得，即設直線解析式為，將和代入解析式得，解得，即解析式為由（1）得，則當時，∴點在直線上（3）拋物線解析式點E是拋物線上的點，且在直線AC的上方設，則，所以，線段EF的最大值為．【點睛】此題主要考查了二次函數的圖像與性質，根據題意求出與坐標軸的交點，數形結合的思想表示出線段是解題的關鍵．8．如圖，直線與拋物線相交于和兩點，點是線段上異于的動點，過點作軸于點，交拋物線于點求拋物線的解析式是否存在這樣的點，使線段的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．【答案】；存在，最大值為；理由見詳解．【分析】（1）根據題意先求出直線的解析式，然后把點代入直線解析式求解，最后求出拋物線解析式即可；（2）由（1）可設點，則點C可用含k的代數式表示出來，進而根據兩點距離得到PC的長，最后根據二次函數的性質求解最值即可．【詳解】解：（1）把點代入直線得：，解得，，把代入直線解析式得：，即，把，代入拋物線得：，解得，拋物線解析式為；（2）存在，最大值為；理由如下：由（1）及題意可設點，則點，，，開口向下，當時，PC為最大值，即．【點睛】本題主要考查二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解題的關鍵．9．如圖，已知拋物線分別交軸、軸于點、，點是線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點．若．（1）求拋物線的解析式；（2）當線段的長度最大時，求點的坐標；【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點的坐標是．【分析】（1）把、可得關于的方程組，結合可求得的值，從而得出答案；（2）先根據點的坐標得出直線解析式，設點坐標為，則，從而得出，即可得出答案；【詳解】解：（1）把、代入，得，∵，∴，∴拋物線的解析式為；（2）設直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，設點坐標為，則，∴，∴當時，線段的長度最大，此時點的坐標是．【點睛】本題是二次函數的綜合問題，解題關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，二次函數的性質．10．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，C（點A在點C的右側），與y軸交于點B（1）求點A，B的坐標及直線AB的函數表達式；（2）若直線l⊥x軸，且直線l在第一象限內與拋物線交于點M，與直線AB交于點N，求點M與點N之間的距離的最大值，并求出此時點M，N的坐標．【答案】（1）A（3，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）MN有最大值，M，N.【分析】(1)求出B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，待定系數法求解析式；(2)M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，M在點N的上方，MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，由0＜a＜3，即可求MN的最大值；【詳解】(1)由y＝﹣x2+2x+3可得：B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，設直線AB的解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3；(2)設直線l的解析式為x＝a，∴0＜a＜3，∴M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，∵MN在第一象限，∴點M在點N的上方，∴MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，∴當a＝時，MN有最大值，∴N(，)，M(，)；【點睛】本題考查二次函數圖象及性質，一次函數的圖象及性質；掌握待定系數法求解析式，利用二次函數求最大值是解題的關鍵．11．如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（