2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題08二次函數(shù)中的45度角1．在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（0，6）、B（6，0），AC、BD分別垂直于y軸、x軸，CA＝3，∠COD＝45°，二次函數(shù)y＝﹣x2+m與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是____．2．已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為二次函數(shù)圖像上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，對(duì)稱軸為直線．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)直線l過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)．（1）根據(jù)圖象確定a、b、c的符號(hào)，并說(shuō)明理由；（2）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△ACE面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠CAP＝45°？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A(?1，0)、B(4，0)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠PMA=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO＝45°，將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線l，求直線l的解析式；(3)在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，求m的取值范圍．8．拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)（n為任意實(shí)數(shù)），當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A，D到直線l的距離相等，求k的值；（3）M為拋物線在第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2－2mx－3(m≠0)與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為C點(diǎn)．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若∠ACB＝45°，求此拋物線的表達(dá)式．10．如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)（2，0）（6，0），與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．專題08二次函數(shù)中的45度角1．在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（0，6）、B（6，0），AC、BD分別垂直于y軸、x軸，CA＝3，∠COD＝45°，二次函數(shù)y＝﹣x2+m與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是____．【答案】【分析】將以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，證明，得到，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)推出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由二次函數(shù)圖象與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，列出滿足條件的不等式組，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴∴將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，作圖如下：∴又∵旋轉(zhuǎn)∴,，∴在與中：∴∴∵軸，軸，且AC=3∴∴設(shè)點(diǎn),則：∴，，∴解得：∴設(shè)線CD所在的直線表達(dá)式為：，將，代入得：，解得：∴線段CD所在的直線表達(dá)式為：（）又∵二次函數(shù)與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)∴∴又∵有兩個(gè)公共點(diǎn)∴，即解得：又∵與線段CD相交，，且的對(duì)稱軸為：∴解得：∴m的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等的判定和性質(zhì)、一元二次方程的判別式，以及二次函數(shù)與不等式的綜合，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．2．已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為二次函數(shù)圖像上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線則設(shè)拋物線代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出解析式；（2）過(guò)作，且，過(guò)作，過(guò)C作于，過(guò)作于，構(gòu)建，即可得出，求得直線的解析式為：與拋物線解析式聯(lián)立即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)，，分以AF為對(duì)角線時(shí)以AN為對(duì)角線時(shí)，以為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)行討論，列出方程組，即可解答問(wèn)題．（1）解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)拋物線，把，代入得：，∴，∴；（2）如圖過(guò)作，且，過(guò)作，過(guò)C作于，過(guò)作于，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）∵，∴，依題意設(shè)，，∵，對(duì)稱軸為直線，∴，∵，，，，當(dāng)以AF為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式求法，構(gòu)造全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形存在性問(wèn)題，是一道有關(guān)二次函數(shù)的綜合題，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，對(duì)稱軸為直線．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)直線l過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)P(6，7)或P(4，-5)(3)存在，(2，3)，(2，-7)，(2，1)，(2，-6)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接求二次函數(shù)解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則，由得：AM=PM，用含m的代數(shù)式分別表示AM和PM，據(jù)此得到關(guān)于m的方程，求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出，設(shè)設(shè)點(diǎn)，分類討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用勾股定理求解即可．(1)設(shè)，把代入得：，解得：∴∴拋物線的解析式為：．(2)設(shè)P（m，），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則，由得：AM=PM，∴，即或，解得：（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），∴P（6，7）或

P（4，-5）；(3)存在；拋物線的解析式為：，，對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得，即，整理得，解得或，或；當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得，即，整理得，解得，；當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得，即，整理得，解得，；綜上，（2，3），（2，-7），（2，1），（2，-6）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的存在性，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)．（1）根據(jù)圖象確定a、b、c的符號(hào)，并說(shuō)明理由；（2）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【答案】（1）a＞0，b＞0，c＜0，理由見解析；（2）y＝x2+（﹣1）x﹣3【分析】（1）根據(jù)開口方向可確定a的符號(hào)，由對(duì)稱軸的符號(hào)，a的符號(hào)，結(jié)合起來(lái)可確定b的符號(hào)，看拋物線與y軸的交點(diǎn)可確定c的符號(hào)；（2）已知OA＝3，解直角△OAB、△OAC可得B、C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式，把A、B、C代入即可求解析式．【詳解】解：（1）∵拋物線開口向上∴a＞0又∵對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)∴＜0，∴b＞0又∵拋物線交y軸的負(fù)半軸∴c＜0．（2）連接AB，AC∵在Rt△AOB中，∠ABO＝45°∴∠OAB＝45°，∴OB＝OA∴B（﹣3，0）又∵在Rt△ACO中，∠ACO＝60°∴OC＝OAtan30°＝∴C（，0）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）由題意：，解得：，∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝x2+（﹣1）x﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△ACE面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠CAP＝45°？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）當(dāng)x＝2時(shí)，S△ACE取得最大值4．（3）（﹣，﹣）【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A（4，0），C（0，2），用待定系數(shù)法求解即可得到答案．（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，用待定系數(shù)法得到直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x2+x+2），則F（x，﹣x+2），則EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，所以由S△ACE＝S△CEF+S△AEF得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)即可解答．（3）如圖2中，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AC′，則C′（2，?4），取CC′的中點(diǎn)H（1，?1），作直線AH交拋物線于P，此時(shí)∠PAC＝45°，求出直線AH的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+2，∴4k+2＝0，∴k＝﹣，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x2+x+2），則F（x，﹣x+2），則EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝EF?OA＝（﹣x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，S△ACE取得最大值4．（3）如圖2中，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AC′，則C′（2，﹣4），取CC′的中點(diǎn)H（1，﹣1），作直線AH交拋物線于P，此時(shí)∠PAC＝45°，∵A（4，0），H（1，﹣1），∴直線AH的解析式為y＝x﹣，由，解得或，∴P（，）．作直線AP′⊥PA，則直線AP′的解析式為y＝﹣3x+12，由，解得或（不合題意舍棄），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式的求法，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及線段中點(diǎn)公式是解題的關(guān)鍵．6．二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A(?1，0)、B(4，0)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠PMA=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：(1)把A(?1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4解得：所以二次函數(shù)為：．(2)如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作DM∥軸，交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．∵AM＝AE，∠MAE＝90°，∴∠AMP＝45°．將代入拋物線的解析式得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）．∴MD＝2，AD＝6．∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，∴∠DAM＝∠FAE．在△ADM和△AFE中∴△ADM≌△AFE．∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．∴E（5，-2）．設(shè)EM的解析式為．將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：解得∴直線EM的解析式為．所以解得：或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形、全等三角形求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO＝45°，將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線l，求直線l的解析式；(3)在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)y＝﹣x﹣1(3)﹣≤m＜0【分析】（1）直接利用根的判別式，結(jié)合完全平方公式求出△的符號(hào)進(jìn)而得出答案；（2）首先求出B，A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，再利用平移規(guī)律得出答案；（3）根據(jù)當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，當(dāng)p＝0時(shí)，q＝1；當(dāng)p＝﹣3時(shí)，q＝12m＋4；結(jié)合圖象可知：﹣（12m＋4）≤2，即可得出m的取值范圍．（1）解：令m﹣（m＋n）x＋n＝0，則＝﹣4mn＝，∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴＝＞0，∴該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）令﹣（m＋n）x＋n＝0，解得：＝1，＝，由（1）得＜0，故B的坐標(biāo)為（1，0），又因?yàn)椤螦BO＝45°，所以A（0，1），即n＝1，則可求得直線AB的解析式為：y＝﹣x＋1．再向下平移2個(gè)單位可得到直線l：y＝﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣（m＋1）x＋1．∵M(jìn)（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴q＝﹣（m＋1）p＋1．∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（p，﹣q）．∴M′點(diǎn)在二次函數(shù)y＝﹣＋（m＋1）x﹣1上．∵當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，當(dāng)p＝0時(shí)，q＝1；當(dāng)p＝﹣3時(shí)，q＝12m＋4；結(jié)合圖象可知：﹣（12m＋4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范圍為：﹣≤m＜0．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和一次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．8．拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)（n為任意實(shí)數(shù)），當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A，D到直線l的距離相等，求k的值；（3）M為拋物線在第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）＜＜﹣1【分析】（1）將點(diǎn)B（﹣c，0）、D(2，﹣3)代入拋物線的解析式中，求解b、c值即可解答；（2）分①當(dāng)A、D位于直線l的兩側(cè)；②當(dāng)A、D位于直線l的同側(cè)兩種情況討論求解即可；（3）由∠AMB=45°，可作過(guò)點(diǎn)A、M、B三點(diǎn)的圓R，根據(jù)圓的性質(zhì)可得△ARB為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M（t，s），由勾股定理可得t與s的關(guān)系式，結(jié)合拋物線解析式求得s、t值，即可求得的取值范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴C（0，c），OC=﹣c，∵OB=OC，∴B（﹣c，0），將B（﹣c，0）、D（2，﹣3）代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）當(dāng)y=0時(shí)，由得：x=﹣1或x=3，∴A(﹣1，0)，∵，∴直線l的表達(dá)式為y=4kx+1，∵點(diǎn)A，D到直線l的距離相等，∴分以下兩種情況：①當(dāng)A、D位于直線l的兩側(cè)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)A、D的中點(diǎn)（，），將（，）代入y=4kx+1中，得：=4k·+1，解得：k=；②當(dāng)A、D位于直線l的同側(cè)時(shí)，直線l與AD平行，設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=px+q，將A(﹣1，0)、D(2，﹣3)代入，得：，解得：直線AD的表達(dá)式為y=﹣x﹣1，∴4k=﹣1，解得：k=，綜上，k的值為或；（3）當(dāng)∠AMB=45°，過(guò)點(diǎn)A、B、M三點(diǎn)的圓R，圓心為R，如圖，則∠ARB=90°，∴R（1，2），圓的半徑為AR=，設(shè)點(diǎn)M（t，s），且t＜0，s＞0，，由得：，即，解得：s=3或s=0（舍去），由=3解得：t1=，t2=(舍去)，∵點(diǎn)M在第二象限，∴由圖象可知，當(dāng)∠AMB＞45°時(shí)，M的橫坐標(biāo)的取值范圍為＜＜﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)分求函數(shù)的解析式、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程、圓的有關(guān)性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，尋找相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2－2mx－3(m≠0)與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為C點(diǎn)．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若∠ACB＝45°，求此拋物線的表達(dá)式．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－3)；點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)．（2）y＝x2－2x－3．【分析】（1）令拋物線解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，找到拋物線的對(duì)稱軸即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)∠ACB＝45°可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出答案.【詳解】解：（1）∵拋物線y＝mx2－2mx－3(m≠0)與y軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－3)；∵拋物線y＝mx2－2mx－3(m≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)．（2）∵∠ACB＝45°，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－4)，把點(diǎn)C代入拋物線y＝mx2－2mx－3得出m＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10．如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)（2，0）（6，0），與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)B(6，0)在，∴將點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)B(6，0)代入得：，解得：，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做軸于點(diǎn)．∵∠ACD=45°，∠CAM=90°，∴△CAM為等腰直角三角形，∴CA=AM，又∵∠CAO+∠MAB=90°，∠AMN+∠MAB=90°，∴∠CAO=∠AMN，在△AOC和△MNA中，∴（AAS），∴MN=OA=2，AN=OC=6，∴M(8，2)，∴設(shè)直線MC的解析式為：，將C(0，6)，M(8，2)，代入得：，解得：，∴直線MC的解析式，∴解得：（舍去）∴(7，)；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形與全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；專題09二次函數(shù)中的將軍飲馬1．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PC，請(qǐng)直接寫出使值最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OC＝3．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)D（2，2）是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交與點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，9），且經(jīng)過(guò)D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求的面積；（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象過(guò)點(diǎn)A(?1，0)、點(diǎn)B(0，3)．（1）該二次函數(shù)的頂點(diǎn)是；（2）點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線y=mx+n經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，滿足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范圍是．（3）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使取得最大值，求出此時(shí)M的坐標(biāo)．9．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值．10．如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，拋物線與直線分別相交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，且此拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出這個(gè)周長(zhǎng)的最小值．12．已知拋物線的圖象如圖所示，它與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式及與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)取何值時(shí)，？（3）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，求的值最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)．13．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)使得△QAC的周長(zhǎng)最?。?4．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明為直角三角形；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否還存在一點(diǎn)P，使的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑是2，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線BC與⊙A交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B（﹣3，0）．(1)求證：BC是⊙A的切線；(2)若拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)在直線BC上，與x軸的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)E、F，求拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ECM的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．專題09二次函數(shù)中的將軍飲馬1．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，）【分析】（1）利用二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)時(shí)，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，圖像與y軸相交，x=0，帶入可以求出y值，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）有題可知本問(wèn)考查的是“兩定一動(dòng)”，故需要利用“將軍飲馬”的方法進(jìn)行解題，B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為A點(diǎn)，連接AC，AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，求出AC所在直線解析式，之后求出與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．設(shè)直線AC為y＝kx+b，則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝-2＝，∴P（，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)，以及“兩定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)中的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)m=4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)(2)P(2，3)【分析】（1）將點(diǎn)(5，0)，代入，得其解析式，從而求出m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用“將軍飲馬”思路，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)是點(diǎn)B，進(jìn)而解決問(wèn)題．（1）將點(diǎn)（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得，0=﹣25+5m+5，m=4，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）；（2）如下圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B是關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，根據(jù)其性質(zhì)有，PA+PC=PC+PB，當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)P、點(diǎn)B共線時(shí)，PC+PB=BC為最小值，即為PA+PC的最小值，由拋物線解析式為，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，0)，對(duì)稱軸l為x=2，設(shè)直線BC的解釋為y=kx+b，將點(diǎn)C(0，5)，點(diǎn)B(5，0)，代入y=kx+b得，，解得，∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，聯(lián)立方程，，解得，∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)和最短路徑問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PC，請(qǐng)直接寫出使值最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，將代入，再待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得拋物線的對(duì)稱軸為，再根據(jù)題意，求得為與直線的交點(diǎn)，進(jìn)而求得直線的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，令，則，即設(shè)拋物線解析式為，將代入，得解得（2）拋物線的對(duì)稱軸為根據(jù)對(duì)稱性，關(guān)于對(duì)稱，連接，交于點(diǎn)則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，此時(shí)為與直線的交點(diǎn)設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，得：解得直線的解析式為在上，則當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最值問(wèn)題，理解題意掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=9+3m+3，即可求解；（2）點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，即可求解；【詳解】解：（1）由題意得：，解得：，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）連接BC交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，則此時(shí)的值最小，設(shè)直線BC的解析式為：，由題意得：，解得，∴直線BC的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，涉及到最短路徑等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線進(jìn)行解題．5．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OC＝3．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)D（2，2）是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）P坐標(biāo)為（，）．【分析】（1）由OA與OC的長(zhǎng)確定出A與C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出b與c的值，即可確定出解析式；（2）連接AD，與拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線AD解析式為y=mx+n，把A與D坐標(biāo)代入求出m與n的值，確定出直線AD解析式，求出拋物線對(duì)稱軸確定出P橫坐標(biāo)，將P橫坐標(biāo)代入求出y的值，即可確定出P坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（-2，0），C（0，3），代入拋物線解析式得：，解得：b=，c=3，則拋物線解析式為y=-x2+x+3；（2）連接AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線AD解析式為y=mx+n（m≠0），把A（-2，0），D（2，2）代入得：，解得：m=，n=1，∴直線AD解析式為y=x+1，對(duì)稱軸為直線x=，當(dāng)x=時(shí)，y=，則P坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一次函數(shù)解析式，以及對(duì)稱軸-最短線路問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交與點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，9），且經(jīng)過(guò)D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）15；（3）M（2，6）【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入即可得；（2）求出A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求解；（3）先求出點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)，從而可得BM＋DM＝BM＋D'M，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)B，D'，M在一條直線上時(shí)，BM＋D'M最短，然后利用待定系數(shù)法求出直線BD'的函數(shù)解析式，最后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入即可得．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x?2）2＋9，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（3，8），∴（3?2）2?a＋9＝8，解得a＝?1，∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝?（x?2）2＋9；（2）令y＝?（x?2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A（-1，0），B（5，0），令x=0，則y=?（0?2）2＋9=5∴C（0，5）∴S△ABC===15；（3）存在，求解過(guò)程如下：∵二次函數(shù)y＝?（x?2）2＋9的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴A（?1，0），B（5，0），∵點(diǎn)D（3，8）關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為D'（1，8），由對(duì)稱性得：DM＝D'M，則BM＋DM＝BM＋D'M，如圖，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B，D'，M在一條直線上時(shí)，BM＋DM最短，設(shè)直線BD'的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把（5，0），（1，8）代入y＝kx＋b，得：，解得，∴y＝?2x＋10，取x＝2，則?2×2＋10＝6，∴M（2，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求的面積；（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由見解析．【分析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可確定函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由對(duì)稱軸及軸，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，據(jù)此得出，，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可得點(diǎn)P為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AC的解析式為，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后聯(lián)合對(duì)稱軸求解即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將代入中，得：，解得：拋物線的解析式：；當(dāng)時(shí)，，∴，由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸：，∵軸，∴點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則，，，；（3）如圖所示：點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AC的解析式為，代入、，得：，解得，直線：；點(diǎn)P為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，∴，解得，．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)及二次函數(shù)的基本性質(zhì)等，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象過(guò)點(diǎn)A(?1，0)、點(diǎn)B(0，3)．（1）該二次函數(shù)的頂點(diǎn)是；（2）點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線y=mx+n經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，滿足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范圍是．（3）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使取得最大值，求出此時(shí)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（1，4），（2）-1＜x＜2．（3）（1，6）；【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出滿足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍．（3）連接AB與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，此時(shí)，最大，求出直線AB解析式，再求M的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵y＝-x2+2x+3＝-（x﹣1）2+4，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），故答案為：（1，4），（2）由（1）得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，B（0，3），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C（2，3），由圖象可知，不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍：-1＜x＜2．故答案為：-1＜x＜2．（3）函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖所示，|AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB，連接AB與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，此時(shí)|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|＝AB，∴|AM﹣MC|的最大值為AB；設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴，得，∴直線AB解析式為y＝3x+3，把x＝1代入得，y＝3×1+3=6，∴M的坐標(biāo)為（1，6）；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式組、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得該拋物線的解析式；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，，解得，．（2）連接，交于點(diǎn)，連接，,如圖，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)最小值為由，令，解得，即在中即的周長(zhǎng)最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】P(1，－2)．【分析】根據(jù)“將軍飲馬”問(wèn)題，將A點(diǎn)沿對(duì)稱軸對(duì)稱至B點(diǎn)，連接BC，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，從而結(jié)合圖形性質(zhì)求解即可．【詳解】如下左圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱，連結(jié)BC，那么在△PBC中，PB＋PC總是大于BC的．如下右圖，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)也最?。蓎＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，∴A（-1,0），B（3,0），對(duì)稱軸為直線x=1，∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，∴DB＝DP＝2，∴P(1，－2)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱性以及最短路徑問(wèn)題，理解常見的求最短路徑的模型是解題關(guān)鍵．11．如圖，拋物線與直線分別相交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，且此拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出這個(gè)周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用的解析式求解的坐標(biāo)，把，代入，利用待定系數(shù)法列方程組，解方程組可得答案；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，求解的坐標(biāo)，線段的長(zhǎng)度，如圖，要使的周長(zhǎng)最小，則最小，設(shè)二次函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸為：點(diǎn)，連接交對(duì)稱軸于，此時(shí)，最小，再利用勾股定理求解，從而可得答案．【詳解】.解：（1）拋物線與直線交于軸上一點(diǎn)，令則點(diǎn)把，代入得：，解得：，拋物線的解析式是；（2）將直線與二次函數(shù)聯(lián)立得方程組：解得：或，，如圖，要使的周長(zhǎng)最小，則最小，設(shè)二次函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸為：點(diǎn)，連接交對(duì)稱軸于，此時(shí)，最小，此時(shí)：，的周長(zhǎng)最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解三角形的周長(zhǎng)的最小值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．已知拋物線的圖象如圖所示，它與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式及與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)取何值時(shí)，？（3）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，求的值最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）＜＜；（3）【分析】（1）把代入：，利用待定系數(shù)法求解，再求解點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到答案；（2）由，可得拋物線的圖像在軸的下方，結(jié)合圖像可得的取值范圍，從而可得答案；（3）由關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可得與對(duì)稱軸的交點(diǎn)滿足最小，從而可得答案．【詳解】解：（1）把代入：，，解得：所以拋物線的解析式為：，由（2）拋物線與軸交于，拋物線的圖像在軸的下方，結(jié)合圖像可得：＜＜（3）∵∴對(duì)稱軸是直線x=1．如圖，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB的值最小，此時(shí)點(diǎn)P是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，即P（1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解兩條線段和的最小值，利用拋物線的圖像解一元二次不等式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)使得△QAC的周長(zhǎng)最?。敬鸢浮浚?）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）點(diǎn)B為點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，即可求解．【詳解】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）拋物線的對(duì)稱軸為：x＝﹣，點(diǎn)B為點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，點(diǎn)C（0，4），將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+m得：，解得：，故直線BC的